摘 要：不等式知识应用范围广，涉及到的题型更是复杂多变，文章通过举例详细剖析了不等式的反证解题技巧、不等式的换元解题技巧、不等式的性质解题技巧和线性规划题的解题技巧等.

关键词：高中数学;不等式;解题技巧

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）22-0046-03

不等式是用符号大于、小于、大于等于、小于等于等表示大小关系的一类式子.在高中数学中，涉及题型比较广泛，包括选择题、填空题与计算题等，假如学生没有透彻理解不等式知识，难以熟练掌握解题技巧，他们就无法很好地解题.高中数学教师应高度重视不等式解题技巧的思考，利用各种常见的题型组织学生进行集中训练，使其结合具体题目使用相应的技巧分析和解答，不断提高他们的解题水平，反过来辅助对理论知识的深化理解.

1 不等式的反证解题技巧

不等式作为高中数学教学中比较重要的一部分内容，通常以各种题型出现在平常练习与考试当中.解答有关不等式的题目时往往要用到各种技巧，其中反证方式应用的较为广泛，这是以正难则反为基础形成的，在证明类的问题中使用有着不错的效果.对此，高中数学教师可指导学生在处理不等式证明类题目时采用反证法，使其将整个证明过程变得更为便捷与简单，将不等式证明问题的解答变得更为高效，帮助他们掌握不等式证明题的解题技巧[1].

例1 已知a＋b＋c＞0，ab+bc+ac>0，abc>0，请结合以上条件证明a＞0，b＞0，c＞0.

解析 根据题干中提供的条件abc＞0，能够得出a，b，c均不可能是0，这里要用到反证的方式.

假设a＜0，則bc＜0，又因为a＋b＋c＞0，所以b＋c＞-a，由此可以得到a（b＋c）＜0.

所以a（b＋c）＋bc＜0.

不过这一式子明显同题干中提供的信息相冲突，所以说这个假设是无法成立的，也就是表明a＞0，b＞0，c＞0.

2 不等式的换元解题技巧

处理部分数学问题时，把其中一个式子当作一个整体来看待，且运用一个变量进行替换，从而将问题变得更为简单，这就是常用的换元法，广泛适用于方程、函数、不等式等解题实践中，根本思想是转化，关键在于构建“元”与设置“元”.在高中数学不等式解题训练中，教师可以引导学生采用换元解题技巧，把研究对象进行变换，问题转移至新对象上面，目的是让非标准的问题变得标准化，复杂问题变得简单化，最终让他们轻松解答不等式问题[2].

例2 已知a，b，c∈R+，请证明abc≥（b＋c-a）（c＋a-b）（a＋b-c）.

解析

使用换元法假设x＝b＋c-a，y＝c＋a-b，z＝a＋b-c，这时可以转变为证明

（x＋y）（y＋z）（x＋z）≥8xyz.

由于x＝b＋c-a，y＝c＋a-b，z＝a＋b-c，

则a＝12（y＋z），b＝12（x＋z），c＝12（x＋y）.

因为a，b，c∈R+，所以当xyz＜0时，可以得到（x＋y）（y＋z）（x＋z）≥8xyz.

当xyz＞0时，有x，y，z∈R+，假如x，y，z三者当中有任意两个比0小，那么c≤0与c＞0是相矛盾的，由此得到

x＋y≥2xy＞0，

y＋z≥2yz＞0，

x＋z≥2xz＞0.

则（x＋y）（y＋z）（x＋z）≥8xyz.

然后把x，y，z代入到原式中可以得到

abc≥（b＋c-a）（c＋a-b）（a＋b-c）.

3 用不等式性质解题技巧

在高中数学不等式解题教学中，教师应关注学生对不等式基本性质的合理运用，这是一项最基础的解题方式与技巧，可以应用至各种类型的不等式试题中，不少题目都要用到不等式的基本性质.如：不等式具有传递性，也就是如果a＞b，b＞c，则a＞c；不等式还有可加性特点，假如a＞b，就表明a＋c＞b＋c，c＞0时，ac＞bc.所以，学生可以利用不等式的基本性质进行解题，能够快速找到解题的切入口，继而提高他们解题的准确率[3].

例3 平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，每三个圆都不相交于同一个点，请证明n个圆将平面分成f（n）＝n2-n＋2个部分.

解析

（1）归纳法，当n＝1时，一个圆可以把平面分成两个部分，即f（1）=12-1＋2＝2，故命题成立.

（2）假设n＝k，该命题成立，也就是说k个圆将平面分成f（k）＝k2-k＋2个部分，则设第k＋1个圆的圆心为O，根据题意可知它与k个圆中每个圆相交于两个点，又无三个圆相交于同一点，那么与其它k个圆相交于2k个点，以此结合题目中提供的条件有效证明出命题的结论，这是对不等式基本性质的充分运用.

4 线性规划题的解题技巧

不等式与线性规划结合到一起也是高中数学中一类比较常见的题目，与其它题型相比解题难度稍大，主要求解的是目标最大值与最小值，但是学生在处理这类试题时十分容易出现错误，教师需给予格外关注，帮助他们扫除解题障碍，使其掌握相应的解题技巧.具体来说，处理不等式与线性规划结合类的题目时，学生应当精准掌握求解面积与定义域的相关知识，了解不等式性质与线性规划两者之间的内在联系，从而帮助他们学会准确解答此类试题[4-5].

例4 已知a＞0，参数x，y会满足以下三个条件，x＋y≤3，x≥1，y≥a（x-3），如果z＝2x＋y的最小值为1，那么a的值是什么？

解析

可以根据题意画出图1所示的坐标轴示意区，当所求的目标函数经过A区域时，点A坐标是（1，-2a），然后把函数的目标值代入就能求出

a＝12.

5 用数形结合解不等式题

数形结合指的是“数”与“形”之间的有机结合，这是数学思想方法中最为常用的一种，不仅可以用来解答不等式相关的试题，还能够运用至其它数学试题的解答中，与其它解题技巧相比，数形结合能够将题目变得更为形象与直观，有助于学生快速找到解题思路，让他们高效解题.当运用数形结合思想解决不等式类题目时，高中生要注重“以形助数”的应用，将“数”由“形”的形式呈现出来，使其找到更简便的解题方法，锻炼他们的解题技巧[6].

例5 已知关于x的不等式x2≤4-|2x＋m|，如果至少存在一个x≥0使得该不等式成立，那么m的取值范围是什么？

解析 对原不等式进行整理后得到|2x+m|≤-x2+4，将不等式的左右两边均看作成函数，即为y＝|2x+m|与y＝-x2+4，这里要从反面思考问题，即：如果对于任意的x≥0，均有|2x+m|＞-x2+4，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数图象，如图2所示，根据图片信息能发现当m的值发生变化时，函数y＝|2x+m|的图象将会沿着x轴进行运动，图2中两个临界条件，分别对应于m＞4，或者m＜-5，由此表明要想满足题意m的取值范围应该是[-5，4].

6 不等式高次题解题技巧

在高中数学不等式相关内容教学中，高次不等式问题不仅属于一项重要教学内容，还是一大难点，处理此类不等式问题时，最经常出现错误的地方就是划分区域时容易混乱，无法准确判断出特殊的区域或者特殊点.对此，高中数学教师可以结合高次不等式开展专题训练，指引学生采用因式分解的方法进行解题，借此把高次不等式转变为低次不等式，复杂问题作简化处理，将问题变得更为清晰明了，使其极易找到解题的切入点，继而掌握解题技巧[7].

例6 求解不等式（x-1）（x-2）（x-3）＞0.

解析 结合题目中给出的三次不等式方式能夠画出如图3所示的图象，第一步，画出一个坐标轴，在坐标轴上面标出1，2，3三个点的位置，由此将坐标轴划分为4个区间；第二步，把靠近右边区间看作为正，其它的看作为正负相间，在各个区间内标出正负号；第三步，用“+”表示不等式大于0，用“-”表示不等式小于0，这样能更为形象地观察到不等式的区域，可明显得出x的取值范围是1＜x＜2或者x＞3.

图3 不等式曲线图使用“穿根法”进行解题时，应先画出一个坐标轴，再在坐标轴上面绘制出不等式的情况，结合所画坐标轴及穿线顺序判断不等式的大小情况，这一解题技巧显得简单、直观，解题难度有所降低.

总而言之，在高中数学教学活动中，解题训练是相当关键的构成部分，是学生运用所学知识处理问题的主要途径与渠道，尤其是在不等式教学实践中，教师要充分考虑到不等式知识的广泛运用，精心设计多种多样的题型展开不等式解题训练，使其通过亲身实践掌握大量的不等式解题技巧，逐渐树立起学习数学的自信心，全面提升他们的数学解题水平.

参考文献：

［1］ 鲁亚萍.核心素养下高中数学不等式的解题思路研究[J].中学课程辅导，2022（17）：9-11.

[2] 李光星.基于高中数学基本不等式解题技巧分析[J].数理化解题研究，2021（19）：16-17.

[3] 古智良.高中数学不等式易错题型及解题技巧分析[J].考试周刊，2021（52）：75-76.

[4] 陈大祥.浅析新课改下高中数学基本不等式解题技巧[J].数理化解题研究，2021（12）：48-49.

[5] 黄细盈.高中数学不等式难点有效解题方法分析[J].数学大世界（上旬），2021（02）：81.

[6] 祝永华.高中数学不等式易错题型解题技巧分析[J].中学教学参考，2020（35）：29-30.

[7] 丁晓军.数学思想在高中不等式解题教学中的应用[J].数理化解题研究，2020（30）：12-13.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者简介：沈子儒（1987.9-），男，安徽省亳州人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.