刘丹丹,刘洪燕,蒋 敏

(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵阳 550025)

0 引言

在免疫学理论中,著名的May-Nowak微分方程模型很好地描述了病毒感染模型的动力学基本特征。首先,回顾一下May-Nowak常微分方程模型[1]:

(1)

其中,β1、k、r、d1、d2、d3为非负常数;函数u=u(t)、v=v(t)、w=w(t)分别表示t时刻未感染细胞、受感染细胞、病毒颗粒的数量;r代表健康细胞u的产生速率;ut、vt、wt分别表示u、v、w在时间上的变化。通过对模型进行深入的定性分析[1-3],知道基本再生数R0在研究系统的大时间行为过程中起到非常关键的作用,其生物意义表示在传染病发病初期(即所有人均未感染时),1个感染者在其平均患病时间内可传染的人数[4]。而系统(1)的基本再生数为R0=β1kr/(d1d2d3),当R0≤1时,病毒颗粒无法传播,系统恢复到无感染状态;当R0>1时,病毒颗粒进行传播,系统将收敛到平衡态,相关结果可参考文献[2,5-6]。

但是,系统(1)没有考虑空间效应,因此受到经典的Keller-Segel趋化模型启发,Hu等[7]提出了如下模型:

(2)

其中,∇·((u/(1+u)α)∇v)表示交叉扩散项。研究人员证明了当n=1,α>2/3和当2≤n≤4,α>(1/2)+(n2/(6n+4))以及当n≥5,α>n/4(n表示空间维数)时解的全局有界性。Winkler[8]优化了参数α的取值,得到了当n=1,α>-1和当n={2,3},α>(n-2)/(n-1)时解的有界性。黄金凤[9]证明了当(n-1)/n<α<1,且初始值(u0,v0,w0)足够光滑时解的全局有界性。接着,Bellomo等[10]考虑了如下模型:

(3)

受到文献[7,10]的启发,研究具有Beddington-DeAngelis型功能反应函数的模型,如下所示:

(4)

(5)

其中,

Du,Dv,Dw,a,α,di(i=1,2,3),β(x),h(x)>0,b≥0,

(6)

趋化敏感函数为

f(s)=(1+s)-α,s,α>0,

(7)

转化项函数满足

g(s)=βs/(1+as+bw),a,b,s,β>0,

(8)

基本再生数为

R0=βh/(ad2d3)。

(9)

研究模型(4)解的全局有界性和渐近行为,得到的结果如下:

定理1设Ω⊂n(n≥1)为光滑有界域,条件(6)成立,初值(u0,v0,w0)满足

(10)

并且

α>max{n/4,1/2+(n(n+2)/(6n+8))},

(11)

模型(4)具有1个全局经典解

且存在常数C>0使得对所有t>0,有

后文中C均表示大于0的常数,但在不同公式中取值各不相同,省去下标。