刘 静

数学思维在学生的成长与发展中,有着举足轻重的地位。它有助于学生数学学习能力的培养,亦是提升学生数学核心素养的关键。有序思维意指按照一定的规则、顺序循序渐进,推动任务直至完成,进而实现目标的思维过程。教育部2022年新颁布的数学课程标准中明确提出,学生要“能进行有条理的思考”,也凸显出培养数学有序思维的必要性和重要性。在数学学习中建构有序思维有助于学生掌握数学学习方法,进一步发展数学高阶思维,通过分析、推理、鉴别等活动,逐步解决更复杂的数学问题,真正把握数学学习本质,学会学习。

一、存在的问题

小学阶段的学生,由于心理年龄尚低,认知水平低下,且正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期,思考问题时存在随意性和无序性,在数学思维的培养中显现出以下亟待解决的问题。

(一)懂而不用

如今的课堂教学,大多还是传统的教师讲、学生听的模式,这就使得部分学生“知其然”而“不知其所以然”,更不用说进一步地理解应用了。老师在讲题的时候,能听懂,等老师放手,反而自己不会走路了,对老师的依赖性过大,特别是对一些重难点,老师讲过之后,学生自己练习时逻辑混乱、不会思考。出现以上问题,一方面是由于教师备课时,没有按照学生思维发展的逻辑顺序有序备课,有序讲解,使学生抓不到扶手;另一方面,是教师在授课时,没有给学生充分思考的时间,没有让学生体味有序思考的过程,进而导致学生对所学知识懵懂而不会应用。

(二)知而不答

语言是思维的外显,很多学生会做题,呈现在答案上没问题,一旦让学生对题目进行讲解,反而语无伦次,越讲越乱,一定程度上也反映出学生对题目掌握的灵活性、深入性不够,逻辑混乱。说明孩子有思维上存在盲区或者在学习时有知识漏洞,不求甚解,简单题目直接能做出来,但是稍复杂的问题就举步维艰,无法讲明白知识点。也反映出在课堂教学中,教师没有给学生足够的表述问题的机会,学生缺乏相应的讲解练习。

(三)思不同步

现行的班级上课形式是面对全体学生,大家齐步走,因此很难照顾到个别学生的特点进行因材施教。每个学生都是独立的个体,有自己的精神世界,特别是在思维过程中,学习的程度不同,思维方式也不同,就使得集体教学中,总会出现学困生,跟不上老师的解题节奏,长此以往,养成了学习的惰性,思维也受限,不能实现个人的发展。若教师在教学时,未做到循序渐进,点拨、引导不到位,学生无法融入课堂,更是限制了学生的思维发展。

二、培养途径

新课标中提出,数学课程要培养学生三方面核心素养:会用数学的眼光观察现实世界;会用数学的思维思考现实世界;会用数学的语言表达现实世界。学生有序思维的培养,应以这三方面为切入点,培养学生有序观察的能力、有序思考的能力、有序表达的能力及有序操作的能力,让学生观之有序、思之有序、言之有序、行之有序,促进学生掌握知识、习得技能、发展核心素养,获得终身发展的能力。

(一)观之有序

观察是我们认识世界最简单最直接的方法,通过有序的观察,可以对知识进行反复感知,形成感性认识后进一步加工,让我们对知识进行结构化、层次化的处理,从而推动思维的发展,同时为解决更复杂的问题奠定了基础。

例如在一年级上册第六单元《11～20的认识》主题图中,散乱放置了学生熟悉的水果卡片和学具,目的是让学生能够数出数量10个以上的学具,得到数据后为下面的教学提供话题,培养学生数数的能力,同时发展学生的数感。教学时,可以先让学生选择一类卡片,尝试数一数,发现学生数的数量不同,集体讨论如何才能不重复、不遗漏,得出数数时要按照从上往下的顺序或者从左往右的顺序来进行比较好,同时每数完一类卡片,就用铅笔划掉。获得方法指导后,再让学生尝试重新有序地数一数,数完后再让学生上台展示数的过程,教师加以辅助引导,通过这样层次不同的互动交流,使学生经历认知冲突,然后习得方法,进行方法尝试,最后再进行演示模仿,不断强化有序观察的方法,从而发展学生有序观察的能力。

有序观察还包括比较观察。在四年级上册《大数的认识》这一单元中,学生学习亿以上数的读法。在此之前,学生已经掌握了亿以内数的读法及亿以上数位的认识,通过题目700000读作七十万进行导入,让学生回顾亿以内读数的方法,然后接着出示7000000000这个数,让学生思考如何读。两个数上下放在一起后,学生通过比较观察,很容易发现两个数的位数不同,分级后第一个数最高数级是万级,读作七十万,另一个数最高数级是亿级,仿照之前的读数方法,读作七十亿。这样,通过两个数的对比,根据以往学习经验进行方法类推,最后获得新的学习技能与方法,在这个过程中,对比观察起着不可或缺的作用。

(二)思之有序

数学知识的形成不是一蹴而就的,它是一个由易到难、由浅入深、由具体到抽象的循序渐进的过程,这就提醒我们平时教学中要注重培养学生有序思考问题的能力。在具体问题情境中让学生经历有序思考的过程,教师关键处予以点拨,进而使学生感知到有序思维的价值,激发学生的学习兴趣。

例如在教学五年级下册“长方体的表面积”时,不要直接对学生讲解公式,先引导学生对长方体进行直观有序的观察,得出长方体各个面的特征后,在此基础上再有序思考:

①何为表面积?

②长方体表面积包括哪几部分?

③这几部分间有何联系?

④如何求长方体的表面积?

第一个问题,目的是使学生明确要求的量是表面积,而非棱长和或体积,也提醒学生在解决类似问题时,找好方向。第二个问题是为了让学生明确具体求长方体的哪几个面,特别是在解决实际问题时,如求长方体玻璃鱼缸或长方体衣橱罩等问题时,并不是求长方体所有的面,意在培养学生具体问题具体分析的能力。第三个问题,旨在让学生思考要求的面的联系,做一个思维的简化,即相对的面相同,可以直接求一个面乘2,让学生感受数学的简洁美,通过上面三个问题,最后解决求长方体的表面积。整个过程循序渐进,帮助学生经历了求长方体表面积的思维过程,也能进一步习得类似问题的学习经验,如学习正方体的表面积,同样的思考方法,即可解决。

再如,近几年由浙江省特级教师顾志能老师带头研究推广的生问课堂教学模式,一定程度上也是对学生有序思维的培养。学生每一个问题提出的背后,都蕴含着曾经经历过的思维经验。在《用字母表示数》这节课中,上课伊始,便是直接揭示课题,让学生发问:有哪些字母?怎么表示?表示什么数?有什么用?通过几个问题,把本节课的重点难点直接凸显出来,学生知道了学什么,才能进一步知道怎么学。获得了这样的有序思考的经验,在今后的学习中,学生更容易把握问题的研究方向,进而能够快速地展开对问题的有效研究,更是推动了有序思维的发展。

(三)言之有序

语言是思维的外壳,而小学生的语言表达能力尚不完整,特别是数学学习中词不达意,表述不完整现象时时发生,这也侧面反映出学生思维的无序性,因此,训练学生的数学语言表达能力亦是提升学生有序思维能力的途径。作为教师,要重视学生表达能力的培养,面对新的问题,让学生进行充分的有序观察和思考,而后,教师可以创设轻松的交流环境氛围,使不同学生充分表达出自己不同的想法,在课上尽可能多地给学生提供说题的机会,实现思维火花的碰撞。

在四年级下册学习《商不变的性质》这节课后,要利用它来解决问题,如120÷15,放手让学生进行尝试解决,然后呈现出了好几种答案。

答案一: 120÷15

=(120÷5)÷(15÷5)

=24÷3

=8

答案二: 120÷15

=(120÷3)÷(15÷3)

=40÷5

=8

答案三: 120÷15

=(120÷15)÷(15÷15)

=8÷1

=8

答案四: 120÷15

=(120×2)÷(15×2)

=240÷30

=8

答案五: 120÷15

=(120×4)÷(15×4)

=480÷60

=8

展示学生的不同做法进行讨论,学生畅所欲言。

生1:我认为第一种和第二种方法较好,因为都把原式变小了,原本只能笔算的算式,现在可以口算出来了。

生2:第三种方法也是把除数是两位数的除法转化成了除数是一位数的除法算式,为什么不行呢?

生1:因为第三种是被除数与除数同时除以15了,虽然最后一步可以口算,但是第二步不能口算,计算过程还是难一点。

生3:我认为第四、第五种方法也不难,虽然把数变大了,但是出现了0,我们也能简便计算。

生4:我同意他们的说法,我觉得以后计算可以把被除数和除数同时除以一个数,或者有5的时候,凑个0,这样再算就简单多了。

通过以上的讨论,学生既比较出了几种方法的不同与优劣,又能总结出以后解决此类问题的方法,同时,在这个过程中,学生的有序思维也得到了更好的发展。让学生去说,不仅局限在问题讨论上,习题课讲解时,也可以尝试让学生做小老师,讲题中学生思维外显,如果能把题目讲明白讲透彻了,无形中也提升了思维能力,教师要注重培养学生的讲题能力。

(四)行之有序

操作是思维的起点,又是思维的终点,思维的发展离不开操作,而操作也是学生发展思维的重要推手,由此,教师要发挥引导作用,指导学生进行有计划、有步骤地展开操作活动,并以此生成明晰的解题思路,有助于提升学生的操作认识能力,实现有序思维的稳步提升。

在《三角形的认识》这节课中,需要学生画出三角形的高,我把操作顺序总结为4个字:合、移、画、标。具体在操作行为上体现为:用三角板的一条直角边与底边重合,然后平移三角板,直至另一条直角边通过与三角形底边对应的顶点,从顶点向底边画垂线,注意要用虚线,最后标上直角符号。把整个操作过程明晰化,使学生能够更牢固地把握基本的操作技能,在此基础上,引导学生思考,如果三角形的底在上面,如何画底边上的高?重新回顾这四个步骤,学生发现底边在上面时可以转一下三角板或者转一下三角形,进而完成作高。继续引导学生观察操作,如果是以直角三角形的一条直角边为底时,它的高在哪里?学生移动完三角板后,发现直角边上的高正巧与它的另一条直角边重合,得出结论:直角三角形的两条直角边互为底和高。以致最后画钝角三角形的高,会发现它的两条高在三角形外面,需要相应延伸。以上发现,都是以基本的操作步骤为基础,在不断操作中使学生对三角形的高有更深入的认识与理解,而且还培养了学生的有序思维。

总之,培养学生的有序思维,是一个较为缓慢且需要不断探索的过程。新课标背景下,教师在教学中,要始终树立有序思维的意识,让学生从小体验有序思维、内化有序思维、累积有序思维,最终形成解决问题的有序思维。