李明树 王晓峰

摘  要：在厘清数学探究学习内涵的基础上，建构基于HPM的数学探究学习教学设计流程，并以“确定圆的条件”的教学为例进行说明，同时指出基于HPM的数学探究学习教学设计应该注重的三个方面，即设置以素养为导向的学习目标、经历以育人为目标的探索过程、凸显以学生为主体的教学评价.

关键词：数学探究学习；HPM；教学设计流程；教学案例；实践思考

基金项目：2022年中国教育学会义务教育数学课程标准研究（初中）专项课题——初中数学应用意识与创新意识素养行为表现及其教学案例研究（22ZS101411ZB）．

作者简介：李明树（1977— ），男，高级教师，主要从事中学数学课堂教学研究；

王晓峰（1970— ），男，正高级教师，江苏省特级教师，主要从事中学数学教学、命题和评价研究．

数学史与数学教育之间的关系（HPM）可追溯数学知识的起点、发展的过程及研究的进展. 数学探究学习是目前国内外数学教育领域的热点问题，它的本质是一种基于素养导向的数学学习活动，旨在让数学探究学习自然且真正地发生在学生身上.《义务教育课程方案（2022年版）》在“课程实施”中提到：“强化学科实践. 注重‘做中学，引导学生参与学科探究活动，经历发现问题、解决问题、建构知识、运用知识的过程，体会学科思想方法.”《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）在“课程理念”中指出：“学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式.”其中，“学科探究活动”和“主动的过程”都强调以学生为主体的数学学习活动，而数学知识的理解与掌握则需要在探究学习中实现. 汪晓勤和邹佳晨在文献［3］中指出：“数学史在形成理性思维、激发积极情感、树立正确信念、培养优秀品质等方面都起着独特的作用.”

通过上述分析，笔者认为基于HPM的数学探究学习建构可以让数学学习自然且真正地发生在学生身上，可有效落实《标准》的要求. 本文试图剖析数学探究学习的内涵，并结合“确定圆的条件”一课的课堂教学案例，探索基于HPM的数学探究学习教学设计流程，为将HPM融入数学探究学习提供一定的参考.

一、数学探究学习的内涵

1. 数学探究学习的本质

从杜威提出五步探究教学法到施瓦布首次提出探究学习理论，在之后的世界各国的课程改革中，探究学习成为教育领域不可回避的问题. 靳玉乐博士在《探究学习》一书中指出，探究学习是指学生在教师引导下，为获得科学素养以类似或者模拟科学探究的方式所进行的学习活动. 数学探究学习需注意三个基本要素：以素养为导向、以科学探究为方式、以学生为主体.

基于此，笔者认为，数学探究学习是以素养为导向、以问题为驱动，引导学生运用类似科学探究的方式，通过观察、提问、实验、类比、验证、推理、概括、表达、运用等活动，实现对数学知识发生发展的理解，以及对数学知识的运用和迁移. 探究、科学探究、探究学习和数学探究学习之间的关系如图1所示.

2. 探究学习的模式

探究学习的模式是联系探究学习理论与实践的关键，具有自身的结构和功能. 国内外常用的探究学习模式有“5E”探究学习模式、探究训练模式、生物科学探究模式、社会探究模式等，涵盖了理论、目标、程序、条件等基本要素. 数学探究学习是学生学习水平层级发展的过程性模型. 学生在数学探究学习的过程中，往往会经历问题提出、操作探究、归纳总结、应用知识、拓展迁移五个维度（如图2）. 此教学设计流程体现了学生学习数学过程中数学水平和素养水平的进阶状态. 由于学生的数学水平存在差异性，因此师生在进行数学探究学习的过程中应遵循过程性、阶段性、一致性、文化性的原则，以促进不同的学生在数学上获得不同的发展.

二、基于HPM的数学探究学习教学实践

1. 教学内容分析

所授内容为苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册（以下统称“教材”）“2.3 确定圆的条件”. 学生此前已经认识了直线形几何图形的性质. 教材中呈现了“操作与思考”和“尝试与交流”两个部分，引导学生通过分别过一个点、两个点、三个点作圆的探究活动，得到“不在同一直线上的三点确定一个圆”的结论，运用尺规作图作任意三角形的外接圆并发现三角形的外心的位置特征.

2. 学情分析

九年级学生的知识储备和思维水平趋于完备和成熟，已经具备了丰富的研究几何图形的经验，掌握了尺规作图的基本方法和技能.

3. 教学目标

经历对“不在同一条直线上的三点确定一个圆”这一结论的探索过程，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念；利用尺规，过不在同一直线上的三点画出一个圆；理解类比、转化的数学思想，发展推理能力.

4. 教学过程

环节1：问题提出（联想、类比问题）.

问题1：已知平面内一点A，你能联想到的与之有关的几何图形有哪些？

问题2：平面内，经过点A可以画几条直线？几个点可以确定一条直线？

问题3：平面内，经过几个点可以确定一个圆呢？你知道圆的定义吗？

【设计意图】问题1旨在让學生回顾几何图形的研究是沿着“点—线—面—体”的思路进行的，形成图形结构. 问题2可以帮助学生回顾已学的“两点确定一条直线”的基本事实，加深学生对“确定”的理解，激发学生的学习兴趣. 对于问题3，学生已经熟知圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，引导学生通过联想，类比直线形几何图形研究的方法和路径尝试研究曲线形几何图形.

师生活动：教师利用PPT播放相关图片（略），配合文字讲解为学生介绍如下数学史料. ① 旧石器时代山顶洞人制作的项链和骨针；② 圆，一中同长也；③ 环矩以为圆；④ 中国近代著名数学家李俨和梁宗臣认为，直角三角形固定弦，其直角顶点的轨迹便是圆.

【设计意图】通过介绍与圆相关的数学史料，帮助学生了解和领悟中华民族独特的数学智慧，激发学生的探究欲望，同时增强学生的文化自信和民族自豪感.

环节2：操作探究（分析、解决问题）.

（1）动手操作.

操作1：经过平面内一点A可以作多少个圆？

操作2：同时经过平面内两点A，B可以作多少个圆？

思考：为什么经过平面内一点和同时经过平面内两点都可以作无数个圆？圆心有什么特征？

师生活动：学生利用尺规作图并说理后，教师利用几何画板软件依次呈现图3和图4，引导学生思辨因圆心和半径均不确定，导致圆的不确定.

操作3：经过平面内A，B，C三点可以作多少个圆？

思考：在图5和图6中，l1，l2分别为线段AC，AB的垂直平分线. 图5中的A，B，C三点有什么特征？点O具有怎样的特性？图6中的方法为什么无法确定一个圆？

师生活动：学生利用交集法说明图5中圆的存在性和唯一性，利用反证法说明用图6中的方法无法确定圆. 教师利用几何画板软件拖动点C，实现图5和图6的动态转换，进一步引导学生理解确定圆的条件.

【设计意图】引导学生经历观察、操作、探索、猜想、推理的认知过程，帮助学生从存在性和唯一性两个方面理解“确定”一词的含义，促进学生形成科学、能动地认识世界的良好品质，同时强化了合情推理和演绎推理的融合，以及信息技术与数学教学的深度融合.

（2）介绍数学史料.

师生活动：教师利用PPT播放相关图片（略），配合文字讲解为学生介绍如下数学史料. ① 圆者中规，方者中矩；② 规用来画圆，矩用来画方；③ 轮匠执其规矩，以度天下之方圆；④ 离娄之明，公输子之巧，不以规矩，不能成方圆.

【设计意图】旨在让学生理解数学中知识的发生发展是按照某种规则进行的，在让学生感叹古人智慧的同时，进行德育渗透.

（3）例题教学.

例1  已知，点A（2，1），B（-1，-2）.

① 若点C（5，4），试判断A，B，C三点是否可以确定一个圆，并说明理由.

② 若点C（m，n），且A，B，C三点可以确定一个圆，试探究m，n的数量关系.

【设计意图】引导学生运用一次函数或三角形三边关系来解决问题，加深学生对“不在同一直线上的三点确定一个圆”的理解.

环节3：归纳总结（提炼、升华模型）.

（1）概念提炼.

既然可以将“不共线的三点”视作“三角形的三个顶点”，那么也可以将“三角形的三个顶点”视作“不共线的三点”，即连接图5中的线段BC可以发现：① ⊙O位于△ABC的外部，同时三个顶点A，B，C均在圆上，故称⊙O是△ABC的外接圆；② △ABC位于⊙O的内部，同时三个顶点A，B，C均在圆上，故称△ABC是⊙O的内接三角形；③ 点O是△ABC的外心.

归纳概念后，教师运用几何画板软件的动画功能使A，B，C三点在圆上运动，师生进一步得出结论：不在同一直线上的三点确定一个圆；圆的内接三角形有无数个.

（2）模型升华.

例2  利用尺规作图分别作锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆.

师生活动：在学生完成作图后，教师利用几何画板软件的自动吸附网格功能拖动图5中的点C，改变△ABC的形状，学生发现直角三角形外心为斜边的中点、锐角三角形的外心在三角形内部、钝角三角形的外心在三角形的外部.

【设计意图】帮助学生巩固三角形外心的作法，进一步发展学生的几何直观和演绎推理能力.

环节4：应用知识（应用、内化原理）.

（1）试确定圆形纸片的圆心，说说你的想法.

（2）草原上有不在同一直线上的三个牧羊点，要建一个牧民居住所，使居住所到三个牧羊点的距离相等，你打算将牧民居住所建在何处？

（3）教师展示一根有13个结的绳子，每两个相邻的结之间的距离相等，第1名学生将第1个和第13个结固定在一起，第2名学生捏住第4个结，第3名学生捏住第9个结，拉紧绳子，试求出绳子所围成的三角形的外接圆的半径. 若第3名学生捏住第8个结并拉紧绳子，其余两名学生的位置不变，你还会求吗？

【设计意图】学生解决第（1）题的方法大致为：折纸；在圆上任取三点，利用尺规作图作两条弦的垂直平分线；等等. 第（2）题则是将生活问题数学化. 第 （3）题的“勾股绳”是古埃及人用来研究直角三角形的工具，此问题的设计具有开放性，让学生经历动手实验、抽象建模、逻辑推理的学习过程，感受人类在科学探究的道路上取得的光辉成绩. 亦可让学生随意拉紧绳子，改变三角形的形状，加深对本节课所学知识的深度理解与应用.

环节5：拓展迁移（延学、建构关联）.

（1）课堂小结.

① 本节课你学习了哪些知识？

② 获得了哪些方法？

③ 感悟了哪些数学思想？

④ 你还有什么疑惑？

（2）延学迁移.

① 自主探究平面内任意四点是否可以确定一个圆？如果可以，由这四点确定的四边形应该满足怎样的条件？

② 已知，在△ABC中，點A（2，1），B（-1，-2），C（m，n）. 若△ABC的外心在△ABC的某条边上，试探究m，n应满足的数量关系. 若外心在△ABC的内（外）部呢？

③ 课后查阅资料，搜集、整理有关圆的数学史料，以“我心中的圆”为题撰写数学论文，展开一次穿越千年的数学文化旅程.

【设计意图】培养学生形成对数学知识整体性、系统性、结构性的认识与理解，鼓励学生运用类似的方法和思路开展生长式的自主探究活动，从而发展学生的代数推理和几何直观. 穿越千年的数学文化巡礼可以从更高层次提升学生数学探究学习的深度和广度，实现运用HPM育人的目的.

三、基于HPM数学探究学习教学设计的思考

常态化的课堂教学过程中，师生大多直面单一的知识和枯燥的习题，往往缺乏对知识的溯源，缺少对知识的发生发展过程的探究和解读. 鉴于此，笔者结合具体的学习内容，认为基于HPM的数学探究学习教学设计应该注重以下三个方面.

1. 以素养为导向

数学探究学习和HPM均指向学生内需的学习目标，每一个特定的学习内容都具有培养相关数学核心素养的作用. 教师要处理好数学核心素养与“四基”“四能”的关系，加强学习目标对学习过程的指导，使学生在实现知识进阶的同时，完成核心素养的进阶. 数学史料在教学过程中的全程渗透可以帮助学生追溯知识的起点、发展的过程和研究的现状等. 例如，“确定圆的条件”一课的教学实践是以素养导向的学习目标为统领、数学探究学习为手段、HPM为支架的学习过程，很好地促进了学生推理能力的提升.

2. 以育人为目标

第一，教师可以引导学生用数学家的方式从数学的外部或内部发现、提出课堂中需要探究的问题，明确学习目标，激活并调用旧知关联新知，从而初步形成探究问题的思路. 第二，教师在教学设计时要注重情境的多样化，让学生感受数学在现实世界的广泛应用，体会数学的价值. 第三，通过联想、类比可以激发学生思考，通过体验操作、观察、猜想、验证等数学活动，可以促进学生对数学知识的理解和掌握. 第四，在数学思想方法的指引下，总结、提炼数学模型，并对数学模型的本質、结构、特点进行剖析，进而达成让学生理解数学知识的本质和原理的目标. “确定圆的条件”一课的教学在注重让学生经历主动探究的过程的同时，实现了落实“四基”、发展“四能”的数学学科育人的目标.

3. 以学生为主体

数学教育承载着立德树人的根本任务. 在数学教学中，HPM的运用能够帮助学生在了解数学家贡献的同时深切感受到人类在科学探究过程中的光辉时刻. 学生以主体身份进行数学探究学习时，教师要注意评价方式的多样性，改变评价的维度，综合运用评价主体，以定性和定量相结合的方式呈现并运用评价的结果. 教师的教学实践过程应凸显学生独立思考、合作交流、文化习得的探究学习过程，以实现“教—学—评”的一致性.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育课程方案（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］汪晓勤，邹佳晨. 基于数学史的数学学科德育内涵课例分析［J］. 数学通报，2020，59（3）：7-12，19.

［4］靳玉乐. 探究学习［M］. 成都：四川教育出版社，2005.