史晓春

解三角形问题侧重于考查正余弦定理，和差倍角公式，以及三角函数的定义、性质.通过研究近几年的高考题可以发现，解三角形中的最值问题往往具有较强的综合性，且命题形式多变，需利用函数的性质、基本不等式等知识来求解.下面结合实例，探讨一下如何通过构造函数来求解解三角形中的最值问题.

一、构造三角函数

解三角形中的最值问题往往是与三角形的边、角有关的问题，我们可以根据正余弦定理进行边角互化，用角的三角函数表示出各条边的长以及目标式，这样便可将目标式化为三角函数式，构造出三角函数模型，将问题转化为关于某个角的三角函数问题，通过研究该三角函数的单调性、有界性、图象，来求得最值.

例1.

解：

我们先根据三角形的内角和定理和正弦定理，用角 A、C 的三角函数表示出各条边、三角形的面积；再通过三角恒等变换，将目标式转化为关于角A的三角函数式，这样便构造出三角函数模型.最后根据正弦函数的有界性，即可求得三角形面积的最值.

例2.

解：

结合正弦定理，将三角形的周长用角的三角函数表示出来，从而构造出三角函数.再通过三角恒等变换将三角函数式化简，便可根据角B 的范围和正弦函数的单调性求得周长的最值.

二、构造二次函数

有些解三角形中的最值问题涉及了倍角、半角，此时需运用同角三角函数的平方关系sin?A+cos?A=1， 余弦的二倍角公式 cos2A=cos?A-sin?A=2cos?A-1=1-2sin?A， 将角统一，得到的目标式为关于某个角的三角函数的二次式，此时可根据该式的特征构造出二次函数，利用二次函数的性质求目标式的最值.

例3.

解：

该题涉及了倍角2A，需根据余弦的二倍角公式 cos2A=1-2sin?A， 将目标式化简，得到关于sinA 的二次函数式.再通过换元，令t=sinA， 便可构造出关于 t 的二次函数，即可根据二次函数的单调性求得最值.

例4.

解：

题目中直接给出了条件A=2C， 需根据诱导公式和二倍角公式进行转化，用cosC 表示出三角形的周长a+b+c=4cos?C+2cosC. 而该式为二次式，需构造出二次函数，利用二次函数的性质求最值.在求最值时，往往要注意根据三角函数的有界性求得角的三角函数值的取值范围，并将其视为二次函数的定义域，作为求二次函数最值的重要条件.

三、构造分式函数

有些解三角形中的最值问题涉及了分式，且利用正余弦定理进行边角互化，往往会得到分式，此时需根据已知条件和目标式的特点，构造出分式函数.再利用简单基本函数的性质、对勾函数的性质和基本不等式来求分式函数的最值.

例5.

解：

由于已知關系式为分式，所以需构造出分式函数.显然该函数是由和y=tanC 构成的复合函数，需根据幂函数、正切函数的性质，以及"同增异减"原则，判断出分式函数的单调性，进而根据其单调性求三角形面积的最值.

例6.

解：

我们先根据已知条件求得目标式;然后通过换元，令t=cos?B， 将目标式化为关于t的分式函数 ，利用基本不等式即可快速求得最值.

构造函数法是解答解三角形中最值问题的重要方法，而解题的关键在于构造出合适的函数模型.无论是构造三角函数模型、二次函数模型，还是构造分式函数模型，都需先根据正余弦定理、和差倍角公式、同角三角函数的基本关系、三角形内角和定理等将目标式转化，使变量统一，以构造出关于某个角或某个角的三角函数的函数模型，根据函数的性质顺利求得最值.

（作者单位：山东省日照市日照实验高级中学）