李一铭,蔡晓霞,雷迎科

(国防科技大学电子对抗学院,安徽 合肥 232007)

时频差已经成为信号处理领域的基本问题。离散网格方法是解决该问题的主要方法,通常采用预设的多重时频差假设,并通过互相关方法对其进行验证。其应用涵盖无源定位[1-2]和GPS系统[3]等许多领域。此外,为了降低时频差提取的计算复杂度,压缩感测(CS)理论[4]利用观测矩阵以低于奈奎斯特速率的采样率获取信号。通常,压缩感知技术由信号压缩和信号重构[5]组成,但信号重构步骤可以简化,基于特定构造的观测矩阵所获取的信号压缩样本可直接进行时频差提取。

在针对实际信号的应用场景中,时频差提取中涉及的时差和频差参数具有一定的耦合度,需要同时考虑时差与频差提取,但在设计时频差提取方法的过程中,往往优先考虑时差提取。首先,对于时差提取来说,观测矩阵的构造对于时差提取精度具有重要影响。从观测矩阵自身构造的角度来看,可以将其分类为:(1)傅立叶基矩阵,(2)随机矩阵,(3)Toeplitz循环矩阵。第一类观测矩阵能够保证其结果在理论上与Nyquist样本估计的结果相符,但其观测矩阵构造苛刻,需要满足正交性和乘积可交换性[6]。第二类观测矩阵,包括高斯型、伯努利型和三元型等,具有更好的构造灵活性[7],但是,此类观测矩阵的随机性过高,导致其时差提取过程中的平均正确率较低[8-9],并且每次提取时需生成高维度的随机矩阵,整体算法运算量较高。与随机矩阵相比,第三类随机循环矩阵具有较低的随机性,降低了生成时所需的计算量[10],并且其具有和第一类观测矩阵接近的时差提取精度[11-13]。其次,对于频差提取来说,在经典互相关[14]和互模糊函数[15]的时频差联合估计中,通常需要信号观测样本与预设频差参数的连续序列做内积。

针对传统方法时频差提取耗时的问题,本文提出一种基于压缩感知的无重构时频差提取方法,设计了一种改进型循环矩阵作为压缩感知的观测矩阵,该改进型循环矩阵是融入了预设频差参数的循环矩阵,基于此类矩阵的压缩时频差参数提取算法不再需要信号重构,降低了运算时间。之后,我们证明了该压缩时频差提取算法的时频差可恢复性。

1 时频差提取方法

1.1 时频差信号模型

首先,对于两路纯净的具有时频差参数的信号,可以表示如下:

S(τ,Δϖ)=S(t-τ)·ej[Δϖ(t-τ)]

(1)

上式中,第一路纯净信号为S,第二路纯净信号为S(τ,Δϖ),τ代表第二路信号具有的时延,Δϖ代表第二路信号具有的频差。

通常来说,时频差提取至少需要由地理位置不同的两路接收机对同一信号进行接收,其两路接收信号的模型可表示如下:

(2)

其中,“。”代表哈德蒙积,接收机1、2接收到的信号分别为x1、x2,其中A1与A2分别代表了两路信号的幅值,n1和n2分别代表了两路信号的接收噪声。

1.2 压缩采样处理

压缩感知技术包括压缩观测和信号重构。首先,压缩观测可以极大地降低信号接收端对于模数转换的性能要求,由于传统的Nyquist定律所要求的信号重构必须满足信号采样速率是其理想低通带宽的两倍以上,而压缩感知技术被证明可以在远低于Nyquist速率的情况下进行采样,那么使用压缩观测即可大幅降低观测样本维度,使得传感器网络或者信号接收机可以采用成本较低并且较为轻便的设备取代传统设备。若使用压缩感知技术,有如下信号观测模型:

y=Φx

(3)

其中Φ代表了压缩观测矩阵,y代表了压缩观测样本。

首先选取循环矩阵Φ0作为时差估计的基本观测矩阵:

(4)

上式中,Φ0矩阵大小为m×n,其中的每一行标记为Φi,i=1,2,…m,φi,i=1,2,…n代表了矩阵中具有n个独立元素,相较于传统的高斯矩阵需要初始化m×n个随机元素,循环矩阵初始化只需要初始化n个随机元素。循环矩阵还具有较好的时差可恢复性,除第一行之外,每一行相较于上一行都具有循环移位,相当于信号与每一行作乘积,较上一行乘积而言,信号在采样时序上延迟了一位,因此循环矩阵的形式可以为时差恢复提供保证。

对于频差提取来说,一般会做如下互模糊函数:

(5)

上式中,对于离散信号而言,e-jΔϖt可看作一串预设频差参数的连续序列f与信号样本作内积进行频差测量,f的具体形式为:

fΔϖ=[e-jΔϖ,e-2jΔϖ,…e-njΔϖ]

(6)

上式中,Δϖ为频差预设量。基于以上的循环矩阵和连续序列,本文提出一种改进型循环矩阵Φ作为压缩感知观测阵,形式如下:

Φ=[(Φ1。f0Δϖ)T,(Φ2。f0Δϖ)T,…

(Φm。f0Δϖ)T,…

(Φ1。fpΔϖ)T,(Φ2。fpΔϖ)T,…(Φm。fpΔϖ)T]T=

(7)

即将原先的循环矩阵Φ0作行数扩展,再对不同的其中,Φ为pm×n大小的矩阵。

1.3 无重构时频差提取方式

时频差提取方法一般需要足够高采样速率下获得的信号样本,以获得高精度的参数提取效果。然而在压缩感知技术中,若考虑对先前压缩观测的信号进行重构后处理,那么后端设备的时频差提取时效性会大幅度下降,这会严重影响到时频差估计的应用效果,比如在高速目标的无源定位中,如果目标的速度为1 km/s,那么时频差提取算法的累积时长每增加0.1 s,定位误差都会增加100 m,这对于实际应用来说,一般是无法接受的。于是我们考虑直接从压缩观测的样本中提取时频差,跳过压缩感知技术中的信号重构步骤,从根本上提升时频差参数提取算法的运算速度。

依据此观测矩阵Φ的行列数目,可以给出压缩观测得到的样本y的一般形式:

y=[y1,y2,…ypm]T

(8)

(9)

图1 时频差提取算法具体操作方式Fig.1 Detailed implementation of the proposed time-frequency difference extraction method

H1=[Iq|0(pm-q)×q]

H2=[0(pm-q)×q|Iq]

(10)

则无重构时频差提取的模糊函数可写作如式(11):

A(τ,Δϖ)=

(11)

图2 时频差提取中的哈德蒙积作法Fig.2 Paradigm of Hadamard product in time-frequency difference extraction implementation

2 实验过程和结果

本节实验主要是为了验证本文所提算法的可行性以及快速性,本文主要采用了10 MHz带宽的BPSK信号进行时频差提取验证。首先作出了基于压缩感知的无重构时频差提取的模糊函数图,之后,与传统时频差提取方法-互模糊函数法(Cross Ambiguation Function,CAF)进行快速性对比,最后,在不同信噪比的条件下与高斯随机矩阵对比了时频差提取精确度。

首先对10 MHz带宽的BPSK信号进行时频差提取,依照本文所提方法做出互模糊函数二维图谱,对所提方法的可行性进行验证,如图3所示。

观察上图可知,本文所提方法相较于经典方法的互模糊函数有一定的精度牺牲。将本文所提方法与传统的互模糊函数计算方法进行计算时长比较,在matlab R2018b的运行环境下,调用软件自带的互模糊函数,可得结果如表1所示。

之后,将本文观测矩阵与高斯随机矩阵进行了时频差提取正确率比较,如图4所示,蓝色为本文所提方法,红色为高斯随机阵的测试结果,可以明显看到,本文所提方法较高斯随机阵具有更加稳定的时频差提取正确率,特别是在信噪比大于0 dB后,本文方法的优势相较于高斯随机阵凸显。

图3 本文方法互模糊函数图谱Fig.3 The spectrum of the cross-ambiguity function in the proposed method.

表1 时频差提取计算时间比较Tab.1 Comparison of computing time cost between different time-frequency difference extraction methods

SNR/dB图4 不同观测阵的时频差提取正确率比较Fig.4 Comparison of the accuracy of time-frequency difference extraction between different observance matrices

3 结论

针对传统时频差提取算法耗时较长,而基于压缩感知的时频差提取算法需要信号重构、耗时也较长的问题,本文提出一种基于压缩感知的无重构时频差提取算法,设计了一种新的改进型循环矩阵作为压缩感知的观测矩阵,依照本文压缩方式观测得到的压缩信号样本可以直接进行时频差提取,无需进行信号重构。本文方法相较于传统方法能够有效降低运算量,减少运算时长。