熊海金 吴梓俊 黎燕琪 覃丽英 杨立英

［摘 要］文章基于《利用“抛物线与三角形”增进投篮动作之初探》一文的研究，在“投球”动作三角形模型与篮球运动轨迹“抛物线”模型的整体模型中新增篮球运动轨迹最高点模型，通过模型分析与求解，推算一定身高、肩高、臂长的未成年男子的投篮速度范围、投篮角度范围以及篮球最高点的范围，同时增添未成年人人体尺寸数据，研究年龄带来的手臂变化对“举球”动作的影响。

［关键词］抛物线；三角形；投篮动作；模型

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）02-0031-05

一、绪论

篮球运动对人体健康具有积极的促进作用，规范的投篮动作可以促进篮球运动的发展。因此，规范的投篮动作值得深入探究。发表在中文国际期刊《国际应用数学进展》中的《利用“抛物线与三角形”增进投篮动作之初探》（简称《初探》）一文，在篮球运动轨迹“抛物线”模型的基础上，以数理分析法与函数分析法建立投篮动作“三角形”模型，对单手肩上投篮动作的“投球”和“举球”两个要点进行初步探索［1］。在投篮动作模型的研究中，关于球员的肩高、前臂和上臂数据选自2021年修改的标准编号为20200842-T-469的《中国成年人人体尺寸》（征求意见稿），并采用取中位数的方法从中选择了百分位数P50数据，最终通过模型推导得出如下结论：

第一，投篮距离不等于球员与篮筐的距离，投篮距离与球员的手臂长度相关；球员的身高不等于投篮的高度，投篮高度与球员肩部高度和手臂长度相关。

第二，“投球”动作结束时，手臂与水平地面的夹角[α]与出手后篮球获得的初速度方向与水平地面的夹角[θ]（即投篮角度）不相等。当投篮高度[H0]一定时（球员的手臂长度不变，手臂与水平地面的夹角[α]也不变），投篮角度[θ]的最直接的影响因素是投篮距离。

第三，肩高[138.9 cm]、手臂长[79.7 cm]的成年男子进行中远距离投篮时，投篮角度越小，投篮速度越大，其中，投篮角度的最佳范围是[53.87°<θ<61.32°]，投篮速度的最佳范围是[5.86 m/s

第四，随着年龄的增长，中国成年人单手肩上投篮动作中的“举球”动作会受到年龄带来的手臂变化的影响。成年男子的影响范围在[0.0107]～[0.0472]，成年女子的影响范围在[0.00183]～[0.00851]，相比之下，成年男子受到年龄的影响略大于成年女子，但总体而言影响较小。

第五，“举球”动作中的发力角[β]与球员的前臂和上臂长度相关，而在由前臂与上臂构成的直角三角形中发力的投篮效果优于在前臂与上臂构成的锐角三角形和钝角三角形中。

基于此，我们试在《初探》一文的基础上，细化模型求解的过程，填补模型中没有求解的投篮抛物线的最高点以及增加《中国未成年人人体尺寸》的数据，比较未成年人和成年人的投篮动作与肩高、前臂和上臂的相关性。我们试建立如图1所示的工作模型。

我们在通过《初探》中的文献综述可知，很多学者热衷于篮球运动轨迹的研究，对于投篮动作的研究大多以教师为主，且均是从生物力学角度进行研究。在篮球运动轨迹的研究中，就目前查阅到的文献来看，1984年，籍传翔是首个以“抛物线曲线方程”模型对篮球运动轨迹进行分析的学者，他认为出手速度与投篮高度、投篮距离相关，出手角度的范围在45°左右［2］。此后的数十年间，诸如王浩羽、李霏雯、张鹤扬等不少学者在籍传翔的“抛物线曲线方程”模型的基础上对投篮角度、篮球运动轨迹、篮球入射的角度、篮球运动轨迹高度、后旋球投篮以及投篮命中率等问题进行了研究，虽然取得了一定的研究成果，但是研究跨度时间较长，而且较为散乱。2021年，在前人的研究基础上，刘旭光、赵汝卿、张雅男以篮球受到的重力、空气阻力和玛格努斯力三种力为基础建立“三力”模型，利用仿真求解篮球的飞行轨迹，通过命中率得到投篮时的最佳出手状态［3］。至此，刘旭光、赵汝卿、张雅男的研究开始涉及投篮动作。总体而言，在之前的研究中，学者们均是将“投篮动作”和“篮球运动轨迹”脱离开来，对于将投篮动作与篮球运动轨迹高度相结合的模型研究基本空白。为此，我们尝试在《初探》中所論述的模型中增补篮球运动轨迹的最高点，从而细化模型，并对前期模型求解过程的细则进行补充。另外，增补《中国未成年人人体尺寸》的数据，以比较未成年人与成年人之间的差异。

四、研究讨论与结果

本研究模型中，关于未成年人的肩高、前臂和上臂数据，均采用全国标准信息公共服务平台2011年7月1日的标准号为GB/T 26158-2010的《中国未成年人人体尺寸》中的数据。其中人体尺寸用百分位数表示，称为人体尺寸百分位数，并分别给出了人体基础尺寸数据11个百分位数统计值，分别为P1、P2.5、P5、P10、P25、P50、P75、P90、P95、P97.5、P99。本研究采用取中位数的方法选择了百分位数P50数据，如表2所示［4］。

根据表2中的数据，结合“投球”动作三角形模型与篮球运动轨迹“抛物线”模型的整体模型，假定一个未成年男子在11岁至12岁之间，其身高为[146.6 cm]、肩高为[116.9 cm]、臂长为[47.4 cm]，若该男子进行中距离（三分线内三秒区外）投篮，实际测量其投篮出手点为[H0=157 cm]，可求得[sinα≈0.84599]，[cosα≈0.28430]，反解得[α≈1.00842]，将其转化为角度制得[α≈57.77°]。当该男子进行中距离投篮时，[2.75 m≤J<6.75 m]；当[J=2.75 m]时，投篮角度的范围为[61.06°<θ<79.33°]便可进球，此时投篮速度的范围是[5.24 m/s

将表2中的数据代入“举球”动作三角形模型方程（方程（1））可得未成年人手臂变化对“举球”动作的影响数据，再将其与《初探》一文中成年人手臂变化对“举球”动作的影响数据进行比较，结果如表3所示。

通过以上模型推导得出如下结论：

第一，身高为[146.6 cm]、肩高为[116.9 cm]、臂长為[47.4 cm]的未成年男子，进行中距离投篮，即[2.75 m≤J<6.75 m]时，投篮角度越小，投篮速度越大，则该男子的中距离投篮由远到近的最佳投篮角度为[52.76°<θ<60.74°]，最佳出手速度由近到远的范围是[5.33 m/s

第二，身高为[146.6 cm]、肩高为[116.9 cm]、臂长为[47.4 cm]的未成年男子，进行中距离投篮时，篮球运动轨迹的最高点竖直方向上距离地面在[3.112]～[3.204 m]，水平方向上距离篮筐在[1.026]～[3.366 m]，这样的情况下投篮命中率较高。

第三，未成年人随着年龄的变化，肩上单手投篮的“举球”动作会受到年龄带来的手臂变化的影响，未成年男子的影响范围为[0.01071]～[0.04717]，未成年女子的影响范围为[0.0065]～[0.5822]，总体来说未成年女子受到年龄的影响略大于未成年男子，但总体而言影响较小。

第四，成年人“举球”动作中的发力角[β]大于未成年人，近乎是未成年人的2倍。

［   参   考   文   献   ］

［1］  宋方珺，熊海金，林宜甲，等.利用“抛物线与三角形”增进投篮动作之初探［J］.国际应用数学进展，2022（1）：16-24.

［2］  籍传翔.投篮模型［J］.数学的实践与认识，1984（1）：60-62.

［3］  刘旭光，赵汝卿，张雅男.“三力”模型下篮球投篮最佳角度的实验研究［J］.四川体育科学，2021（5）：57-61.

［4］  全国标准信息公共服务平台.中国未成年人人体尺寸：GB/T 26158-2010［S/OL］.［2011-07-01］http：//std.samr.gov.cn/gb.

（责任编辑 黄春香）