王伟

［摘 要］课堂教学是培养学生科学精神、提升学生核心素养的主要途径。“实数”是初中数学对数系的第二次扩充，数系的扩充蕴含着丰富的文化元素，有着厚重的文化积淀。在溯源过程中，学生感受到数系的扩充在数学发展中的重要作用，体验知识的发生、发展，从而培育数学科学精神，提升核心素养，彰显数学文化的育人价值。

［关键词］数学文化；科学精神；实数

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）05-0007-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提出：“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。”“实数”作为初中代数的核心概念之一，是学生后续学习方程、函数等内容的基础。教师在教学中应让学生感受到数系的扩充在数学发展中的重要作用，帮助学生了解数学知识的发生、发展过程，体验数学家的思考过程，领悟数学思想方法，体会数学家的创新精神，形成“数学式”的理性思维，养成严谨求真、实事求是、锲而不舍的科学精神，自觉接受数学文化的熏陶，感受数学的无穷魅力。本文以人教版数学教材七年级下册第六章第3节“实数”的教学为例，谈谈在数学教学中如何引导学生感悟数学文化，培养科学精神，提升核心素养。

一、内容和内容解析

（一）内容

无理数与实数的概念；实数和数轴上的点的一一对应关系。

（二）内容解析

“实数”一课在学生学习了有理数、平方根、立方根的基础上引进无理数的概念，并将数的范围从有理数扩充到实数。本节课既是二次根式、一元二次方程、锐角三角函数等后续知识学习的基础，又是高中阶段学习函数、不等式等知识的基础。

学生通过本章前两节的学习，已经掌握了正有理数的算术平方根与无限不循环小数的关系意义，即绝大多数的正有理数的算术平方根属于无限不循环小数。对此，教师可首先整合有限小数、无限不循环小数，再与有理数进行对比，探讨有理数与无理数的关系；同时在无理数的基础上引入实数，进而扩充数的范围，即有理数→实数；然后采用类比法，将有理数表示为数轴上的点，并指出实数与数轴上的每个点的一一对应关系。基于以上分析，本节课的教学重点是让学生了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。

二、目标和目标解析

（一）目标

（1）了解无理数和实数的概念。

（2）知道实数与数轴上的点具有一一對应关系，初步体会数形结合、分类、逐步逼近、转化、由特殊到一般等数学思想。

（二）目标解析

达成目标（1）的标志是学生会从一些数中辨析出哪些是有理数、哪些是无理数，并能自己举例说明。

达成目标（2）的标志是学生能在数轴上找到[π]、[2]这样的无理数对应的点；知道实数和数轴上的点的一一对应关系。

三、教学问题诊断分析

无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，具有极高的抽象性。而初中生正处于由感性思维到理性思维的转折点，对无理数几乎没有任何感性认识，因此认识无理数就成了初中数学学习中的一个难点。为了突破此难点，就要从学生熟悉的有理数入手，通过厘清有理数和无理数的联系与区别，引入无理数的概念。

基于以上分析，本节课的教学难点是对无理数的认识。

四、教学支持条件分析

学生可以自主动手折叠图形，借助图形寻找数轴上的点，教师可借助希沃助手投屏学生的活动场景。

五、教学过程设计

（一）展示数学史——无理数的诞生，引入课题

1. 《九章算术》中的开方术

问题：今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？（译文：现有正方形田，面积为55225平方步，那么其边长是多少？）

教师播放视频展示《九章算术》中的开方术求边长，其中“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”，“面”是指开方开不尽的无理数，对一个正数使用开方术时“开方开不尽”将得到无理数，这样不仅突出无理数独有的特征，而且还提供得到无理数的常用办法。让学生了解《九章算术》中的开方术和现代数学开方的方法在数学思想方面是紧密相连的，后者在符号和形式上都有变化。

设计意图：通过《九章算术》中的开方术让学生感受到我国古代数学在世界上处于遥遥领先的地位，帮助学生了解和感悟中华民族独特的数学智慧，提高学生的文化自信，增强学生的民族自豪感。

2.数学史大事件——[2]的由来

学生查阅资料，教师课前做好PPT讲解，介绍第一次数学危机。毕达哥拉斯学派的基本观点为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数之比来表示，即一切量都可以用有理数来表示，毕达哥拉斯的弟子希伯索斯发现正方形的对角线与其一边的长度之比不能用两个整数的比表示，[2]也无法用分数表示（不可比数），对此有理数不够用了，于是引发了第一次数学危机。

设计意图：让学生体悟这种敢于质疑权威的精神，同时认识到数学知识对自身发展的重要性；让学生理解数学知识的生成不是臆想出来的，它源于生活，又高于生活，最终转化为生产力作用于生活，从而引导学生理解数学。

（二）复习提升，温故知新

问题1：能否举例我们学过哪些不同类型的数？

学生可能会提出有理数、整数、分数、小数等，教师指出需要列举不同类型的数。在教师的引导下学生举出不同类型的数，教师将学生列举的数按正有理数、0、负有理数以及正无理数和负无理数的顺序整理排序，具体如下。

思考：你能将这些数都写成小数的形式吗？你还有什么发现？

教师可根据学生的课堂生成情况做进一步引导，将整数视为小数点后是0的小数，那么任何一个数都可以把它写成有限小数或是无限循环小数的形式；反过来，任何有限小数或无限循环小数都可以当作是同一类数，即有理数。

设计意图：让学生举例已经学过的数，一方面能帮助学生复习旧知识，另一方面能通过探究活动驱动学生思考有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，为本节课数的分类做好铺垫。

思考：依据学生列举的数，类似[2]、[π]、0.101001…（有规律但不循环）、[-3]、[-53]，它们是什么小数？

学生基于问题1的铺垫容易回答“无限不循环小数”，教师顺势引出無理数和实数的概念，由学生列举的数自然生成实数的第一种分类，具体如下。

[实数有理数（有限小数或无限循环小数）正有理数0负有理数无理数（无限不循环小数）正无理数负无理数]

问题2：你能否类比正有理数、负有理数、正无理数、负无理数，引出实数分类？

师生互动，在类比有理数分类的基础上，共同讨论实数的分类原则，总结实数的分类，具体如下。

[实数正实数正有理数正无理数0负实数负有理数负无理数]

设计意图：通过组内讨论，引导学生进一步把握无理数和实数的分类及整体性。

（三）合作探究，活动领悟

探究1：数轴上的点可以表示数，你能在数轴上找到表示[π]的点吗？

教师引导学生探究直径为1个单位长度的圆，从原点A沿数轴向右滚动一周到达点B， 点B对应的数就是[π]（如图1）。

教师参与并巡堂指导学生进行实际操作，借助希沃助手投屏，让学生理解无理数[π]可以用数轴上的点表示出来，-[π]也一样。

设计意图：通过在数轴上滚动直径为1个单位长度的圆，让学生感受无理数也可以在数轴上表示。

探究2：借助边长为1个单位长度的正方形在数轴上找到表示[2]的数。

学生发现边长为1个单位长度的正方形的对角线长为[2]，将正方形对角线的一个顶点和原点重合，借助旋转或直接尺规作图的办法，可知正方形对角线的另外一个顶点对应数轴上的点为[2]，教师直接给出“实数与数轴上的点是一一对应的”这一结论。实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每个点都对应表示一个实数。

设计意图：通过具体操作，让学生体会到无理数也可以在数轴上表示。

（四）师生互动，变式深化

1.把下列各数分别填入相应的集合内。

设计意图：对实数的概念及分类、实数与数轴上的点一一对应进行考查，检测学生对相关知识的掌握程度。

（五）尝试练习，巩固提升

下列说法正确的是（）。

（1）不存在绝对值最小的实数；（2）不存在与本身的算术平方根相等的数；（3）比正实数小的数都为负实数；（4）非负实数中最小的数为0。

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

设计意图：对实数的概念及分类进行更深层次的考查，加深学生对本节课知识的理解。

（六）适时小结，兴趣延伸

教师：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、思想方法等方面谈一谈。

知识方面：无理数与实数的概念及其分类；实数与数轴上的点一一对应；对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。

思想方面：类比思想、数形结合思想、分类思想等。

课后作业：

1.习题6.3和复习巩固1、2、7题。

2.复习题6第6题。

3.利用如图2所示的4×4方格，你能画出几种面积不同的正方形？哪几种正方形的边长是无理数？（一张4×4方格中仅画一种正方形）

六、教学反思

（一）引领新思考，导入课题内容

教师通过让学生尝试列举所学过的不同类型的数，提前设定学生可能会提出有理数、整数、分数、小数等。教师引导学生对列举的数进行分类，再思考能否将这些数都写成小数的形式。教师根据课堂生成情况进一步引导，可以将整数看成小数点后是0的小数形式，那么任何一个数都可以把它写成有限小数或是无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以当作是相同种类的数，即有理数。基于学生对问题的回答，教师顺势引出无理数和实数的概念，由学生列举的数自然生成实数的第一种分类，让学生带着问题深入思考，体会学习本课知识的必要性。

（二）关联数学史，培养质疑意识

数学史不仅蕴含着数学学科的发展脉络，而且揭示了数学思想方法的丰富含义。刘徽在《九章算术注》中指出以面命之的方法（如何求无理数），即用有理数逼近无理数。学生通过观看视频，了解中国古代数学家在代数方面的研究，感受到我国古代数学在世界上处于遥遥领先的地位，感悟中华民族独特的数学智慧，从而提高文化自信，增强学生的民族自豪感。

再者，教师介绍毕达哥拉斯学派的基本观点——“万物皆数”，即一切量都是可以用整数或整数之比来表示的（一切量都可以用有理数来表示），而希伯索斯发现[2]无法用分数表示，有理数不够用，由此引发了第一次数学危机。学生在学习过程中感悟这种敢于质疑权威的科学精神，感受文化的熏陶，从而叩问数学之真、触摸数学灵魂。

（三）活动再领悟，发展理性思维

无理数是从现实世界中抽象出来的数，教师在教学中直接给出无限不循环小数是无理数，[2]为什么是个无限不循环小数？无限不循环是怎么样得到的？这需要用到集合、对应、极限等知识，七年级还没有涉及这些知识，学生只能进行感性认识。为此，教师带领学生思考、操作，借助旋转或直接尺规作图的办法，在数轴上找到表示[π]、[2]的点，让学生直观地理解无理数也可以在数轴上表示。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］  刘祖希，陈飞.HPM与MM教育方式的耦合初探：兼谈当代中国数学教育流派［J］.数学通报，2020（11）：31-34，49.

［3］  李雪娇. 渗透数学文化 彰显数学魅力：以“归纳——猜想——论证”教学为例［J］.中小学数学（高中版），2020 （11）：26-29.

［4］  张炜. 呼唤真实的教学情境［J］.湖南教育（B版），2022（7）： 68.

［5］  罗增儒. “实数”课例的现场研修［J］.中学数学教学参考， 2022 （32）： 21-27.

（责任编辑 黄桂坚）