●吴智敏，姜远航，周先华

一、UbD模式下的学习活动设计的基本内涵

（一）理解为先

UbD，即Understanding by Design——理解为先。它是由美国当代教育改革专家格兰特·威金斯（Grant Wiggins）和杰伊·麦克泰(Jay Mc Tige)提出的。UbD理论认为，当教师的教学旨在使学习者理解可迁移的概念和过程，给其提供更多机会将理解的内容应用到有意义（即真实情境）的情境时，才更可能获得长期的成就[1]。

“理解为先”是落实《普通高中数学课程标准（2017年版）》中“学生发展为本”这个基本理念的实践模式，为学生核心素养的提升提供了实践思路。

（二）学习活动

1.学习活动的内涵

活动，即“为某种目的而行动”。马克思说，活动是“人对外部世界的一种特殊的对待方式”，它包括认识、实践和交往活动。“生命在于运动”，人的一切发展均在于活动。从心理学角度来看，活动是个体认知发展、个性发展的基础；从哲学角度来看，活动是人的存在方式和发展方式；从教育学角度来看，“人的活动是社会及其他全部价值存在与发展的本原，是人生命以及人作为个性的发展与形成的源泉，教育学离开了活动就不可能解决任何一项教育、教学、发展的任务”[2]。

2.学习活动的基础

教学就是一系列的活动，学习活动是学生发展的基础，是教学目标实现的基本单元，教学设计的核心就是学习活动的设计。这里特别强调学习活动与学生发展之间的关系。作为人的社会存在方式，学习活动就是学生作为主体在一定的教学关系中借助各种工具，与学习环境之间的相互作用过程。其中，学习环境包括三个方面：学习客体（主要包括知识等）、其他主体（教师及其他学生）和学生主体自身。因此，学习活动自然就包括三个基本向度：主体-客体向度、主体-主体向度和主体-自身向度[3]。这三种向度分别指向了学习活动的基础。

主体-客体向度，是指学生主体和学习客体之间不断进行双向建构，根据数学学习活动的形式，可以形成四种基本的学习活动方式：

（1）以学生有意识地改造数学知识等客体为主的实践活动；

（2）以学生感受、认知数学知识为主的认识活动；

（3）以学生领会并享受数学之美为主的审美活动；

（4）以学生检测数学知识为主的评价活动。

在这四种形式的活动过程中，一方面学生主体对数学知识进行自觉的认识、实践、审美和评价，同时学生主体自身的结构和形式也被改造，导致学生主体的数学感悟与收获得以不同层次的提升与发展，这就构成了数学学习活动的物质基础。

主体-主体向度，是指在学习活动中，学生与教师、学生与其他学生之间通过不断的交流、交往、合作，形成师生之间的认识与被认识。这样，学生主体既要把自己纳入到一定的社会关系中，提高自己的主体性，同时，这种交往活动又使学生从狭隘的个体中融入社会，实现其社会意义，从而构成数学学习活动的社会基础。

主体-自身向度，是随着学生主体与数学知识之间和学生之间的相互作用的不断深入，必然导致学生主体的自我意识、自我反思和自我评价的自然开展，从而形成学生的自我，发展其自我独特的个性（例如不同的数学感悟与数学成就等），从而构成数学学习活动的心理基础。

3.学习活动的历程

学习活动的类型很多。其中较为典型的是美国数字化学习领域专家威廉·霍顿提出的类型，他根据学习活动的历程和复杂程度把学习活动分成三类：吸收的学习活动、做的学习活动、联结的学习活动[4]。其中，吸收型活动是指向学生提供信息，学生吸收信息的活动。在吸收型学习活动中，信息从其载体流向学生，是一种单向、无互动的学习活动，是学习活动复杂程度最低的一种活动；而做的学习活动是指对吸收到的信息进行提取的活动，例如简单的模仿练习、对数学原理或数学概念的产生等进行的数学探究与发现活动等；而联结的学习活动是指学生把所学知识、技能甚至数学思想等运用在新的问题情境中解决新的问题的学习活动。实际上，联结的学习活动就是UbD模式中的“理解”过程—学习迁移的过程。联结的学习活动是最高阶的学习活动。

苏联教育家斯托利亚尔把数学学习活动划分为三个阶段（层次），即“经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织和数学理论的应用，这三个阶段构成了数学学习者的学习活动的完整过程”[5]。显然，这三个阶段与威廉·霍顿的三种分类是完全对应的：在“经验材料的数学组织化”阶段，可通过数学阅读或观察、简单的训练等方式对数学材料进行直观感知；接着通过数学实验或数学探究（包括类似于等差数列到等比数列性质的整体类比、完全或不完全归纳推理，或结合运算求解的演绎推理、变式递进、空间想象、数据处理、抽象概括等）对数学材料进行逻辑组织后进入第三阶段——数学理论的运用，即通过数学建模实现学习迁移。

（三）UbD模式下的学习活动的设计

实现UbD模式的“理解为先”的教学，本质是对斯托利亚尔的上述三个阶段的完美经历，UbD设计了通过三个阶段的“逆向设计”方法，即明确预期学习结果、确定可接受的证据和规划相应的学习活动。前两个阶段当然是为第三个阶段做好充足的铺垫。通俗地说，我们的学习活动设计是在先充分考虑学习目标及其已实现的可“见”证据条件下来进行相应的设计。这样的学习活动至少要体现：

（1）学生个体的差异性，例如不同学生的能力水平、兴趣爱好和学习风格等方面的差异。

（2）活动形式的多样性，要提供多种任务和方法，而且学生可以自由选择，例如既可以单独作业，也可以团队合作。

（3）情绪调动的主动性，即通过精心设计的学习活动，鼓励学生主动学习，并积累经验，从而理解复杂的学习内容。

（4）活动探究的反复性，可通过“示范—尝试—反思—调整”的循环模式来开展学习。

二、UbD模式下的学习活动设计实践案例——以“正弦定理“为例

（一）“正弦定理”学习活动设计缘由

本节内容出自人教A版（2007年版）必修5第一章第一节。课程安排在必修四“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，也是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的延续和拓展，同时更是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。学生在初中已经学过平面几何的相关知识，有一定的观察分析能力和解决问题的能力，但是在前后知识的串联上会有一定的难度。本节课的教学重点为正弦定理的发现、探究、证明，而教学难点就是正弦定理的发现和运用向量作为工具进行推导的过程。为了突破难点，有必要设置思维引导点，并通过多样的学习活动，以提高学习积极性。本节课设计了小组合作学习和自主探究，完成正弦定理的发现、证明。在探究问题的处理上，更加注重前后知识的串联，用已有知识（解直角三角形）解决新问题（一般三角形），并得到新知识。

（二）“正弦定理”学习活动设计

基于理解为先的宗旨，同时将信息技术与数学课堂教学深度融合，设计了课前、课中、课后活动。

1.课前

将教学任务前置，老师录制课前任务。通过直角三角形、正三角形、等腰三角形等特殊的三角形的边角的数量关系，再结合几何画板作图发现无论三角形形状如何变化，边与所对角的正弦的比值没有发生改变，因此大胆地猜测在任意三角形中数量关系也成立。学生在微课学习中体会从特殊到一般的数学思想。结论的猜测不能作为定理的证明，因此让学生通过查阅资料自主探究证明方法，并通过问卷星收集学生在自主学习探究过程中出现的困惑，便于充分了解学情并调整教学设计。课前还设计了学生针对自主探究学习中出现的问题拍成视频的活动，作为课前引入。

2.课中

学生将他们自主探究的正弦定理的各种证明方法进行分享展示，展示过程既要分享怎么证明还要分享为什么会想到这种方法，以及如何突破难点的。再通过师生讨论以完善证明过程，反思几种方法的共同之处，从而得出正弦定理和其推论，总结出证明过程蕴含的数学思想方法。接着解决引例中的问题，完成练习，进一步引出解三角形的概念，并进行为加深正弦定理理解的简单的应用训练和正弦定理的推导方法的迁移应用。

3.课后

课后主要是学生对“正弦定理”的理解、简单应用，以及针对正弦定理推导方法的更进一步的迁移应用。

（三）教学片段展示

片段1 问题导引

提出问题：在三角形中有大边对大角、小边对小角的边角关系，那么我们是否可以得到这个边、角关系准确量化的表示呢？

播放视频：为了测量不可达到的两点间的距离，以测量学校操场对角线长度为例，小组同学得到数据。ΔABC中，AB=10m，∠CAB=40°,∠CBA=135°,如何求AC的长？

设计意图：学生在学校研究性学习活动中选了数学学科，他们在测量问题中出现了困难，于是拍下了整个过程。该学习活动以熟悉的场景引入，进一步阐释本节课的核心问题，整节课就由这样一个整合了教材的能驱动学生活动的核心问题来驱动教学活动。

片段2 活动探究

展示问卷星出现的问题，学生证明方法主要有作高法、面积法、向量法、外接圆法。学生的困惑主要体现在不知道如何想到各种方法，入手点不清楚。

学生展示他们的研究成果。

学生甲展示作高法：

当ΔABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有CD=asinB,CD=bsinA，得，同理可得，故有。

图1

同理在钝角三角形中也成立。

学生乙展示面积法：

设AD、BE、CF分别是ΔABC的三条高。则有AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，CF=asin∠ABC。

学生丙展示外接圆法：

作ΔABC的外接圆O，过点C连接圆心与圆交于点D,连接AD，设圆的半径为R，∠A=∠D。

图2

设计意图：学生对作高法、面积法较熟悉，也是最容易想到的，转化为初中的直角三角函数解决。根据问卷星反映的问题，然后重点展示向量法证明正弦定理。

问题1：怎样利用向量数量积来证明bsinC=csinB？

问题2：怎样利用向量的投影来证明bsinC=csinB？

同理可得asinB=bsinA,asinC=csinA，故证明了正弦定理。

设计意图：学生刚刚结束平面向量的学习（新教材中正弦定理是作为第六章“平面向量及其应用”的一节内容），平面向量数量积可以解决与长度、角度等相关的问题。因此利用向量的工具性证明正弦定理是容易联想到的，但是需要教师引导，特别是利用投影来证明。

片段3 反思建构

问题3：通过前面大家对正弦定理证明方法的分析，回顾与反思：

（1）正弦定理：在三角形ΔABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，则各边与它所对角的正弦的比相等，即。

推论：由外接圆法可得：

由面积法可得：

（2）以上所有方法有什么共同之处？

（3）以上证明过程体现了哪些数学思想？

设计意图：让学生明确正弦定理的所有证明方法都指向一点：构造直角三角形，作高、面积、外接圆、向量都有直角，利用直角三角形中锐角的三角函数的定义。在整个学习活动中，让学生体会化未知为已知，用已有知识去解决新问题。同时感悟在整个过程中渗透了化归、数形结合、分类讨论等数学思想。

片段4 运用反馈

问题4：ΔABC中，AB=10m，∠CAB=40°,∠CBA=135°,如何求AC的长？

设计意图：解决“问题引导”中的问题，让前面的学习活动更有意义，体会正弦定理的价值。

片段5 课堂练习

A.30°B.45°C.60°D.90°

A.15°B.105°C.15°或105°D.45°

（4）利用向量证明：

①平行四边形ABCD中，AD2+BC2=2（AB2+BC2）；

②ΔABC中，a，b，c所对应的角分别为A，B，C，则a2=b2+c2-2bccosA。

比较这两个问题的证明过程，你能总结利用向量解决平面几何问题的一般思路吗？

设计意图：课堂练习第（1）题和第（2）题都是已知两边及一边所对角，但是第（2）题存在一题多解的情况，为下一课时（正弦定理的应用）作好铺垫。第（3）题的设置就是对正弦定理推论的直接应用，第（4）题将正弦定理的推导方法迁移到新的问题情境中，也是UbD模式教学核心的体现。

三、实践反思与启示

在本节课的设计及实际教学中我们发现，学习活动与学生的个体发展之间存在非常紧密的对应关系。

（一）发展目标与学习活动的对应

根据不同的发展目标来设计相应的学习活动，这既是UbD模式的基本思想，也是为了实现真正的理解而进行教学的必要条件。例如，要培养学生的数学知识获取能力，就必须通过数学阅读活动来实现：通过数学阅读，理解数学的文本与数学符号，客观而全面地获取相关的信息。要培养实践操作能力，就必须通过数学实验、数据处理或动手操作、数学语言表达等活动来完成；要培养学生的社会适应性，就必须为学生展开全面、充分的交往关系和交往形式；要培养学生的情感、态度与价值观，就必须以体验活动、审美活动和评价活动为基础。

（二）全面发展与活动方式的对应

《普通高中数学课程标准（2017年版）》的基本理念之首即“学生发展为本，立德树人，提升素养”。它至少包括两层含义：高中数学教学要面向全体学生，人人都能得到发展；同时，追求人的全面发展。要实现学生全面、生动、活泼的发展，就必须为学生设计出完整、丰富和灵活多样的学习活动。例如直观感知与抽象概括活动、空间想象与演绎证明、数学阅读与数学探究的结合等。

当然，在丰富的学习活动中，要充分考虑学习活动的整体性。学习活动是一个系统，它包括多个要素：主体、客体、共同体、工具、任务与规则等。在学习活动设计中，要考虑不同形式的学习活动之间的整合以及学习活动内部各要素之间的整合。从而让不同的学习活动之间的连贯性、联系性表现较为协调，形成合力以促进学生高效的全面发展。

（三）个体建构与社会建构的结合

数学学科具有独特的思维魅力。一方面具有“高度的抽象性”和“严密的逻辑性”，以及“应用的广泛性”和“结论的精确性”，另一方面，数学思维还具有类似于自然科学思维的“观察、实验、类比、归纳”的特点，甚至有类似于社会科学的“猜测、反驳、想象、直觉、美感”等特点。数学思维是个体建构与社会建构的统一，数学学习活动的设计也要兼顾个体建构与社会建构的需求，设计出具有融合两方面功能的学习活动，即通过小组合作的学习活动，为学生提供交流、分享机会，促进学生数学思维的社会建构；同时，通过自主思考等自主学习，促进学生数学思维的个体建构。

（四）问题情境与学习活动的对应

将“所学内容迁移应用于有意义的问题情境”是UbD模式教学的核心。而数学素养的提升本身也需要适宜的情境。要尽量设计联系实际生活，或者创设恰当的数学学习情境，增强学生在学习时的体验感、沉浸感，从而提升学习活动的效果。