邓昌滨，顾广林

（江苏省兴化市教师发展中心；江苏省泰州市九龙实验学校）

“数学活动”指对于蕴含数学模型的真实情境或者似真情境，学生通过操作、探索等活动经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程，进而获得“四基”、发展“四能”、培养科学态度的学习活动.将“数学活动”界定为数学应用活动，是对常规数学教学的补充，这样的“数学活动”的教学内容和形式更加丰富和鲜活，使学生有更广阔的发展空间.按照活动内容的特征，可以将“数学活动”分为设计、测量、调查和实验四类.其中，设计类“数学活动”不只是简单的操作，而是需要通过作品展示、交流评价等活动进行理性思考，优化原有的设计方案.这种实践和思维活动能够促进学生的计划能力、审美能力、创新意识与理性精神等素养的提升，彰显设计类“数学活动”的育人价值.本文以苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册第一章“一元二次方程”中的“数学活动 矩形绿地中的花圃设计”的教学为例，简要叙述设计类“数学活动”的教学结构.

一、设计类“数学活动”的教学结构

课堂教学结构是教学过程中教师、学生、时间等各教学要素在同时空内的有序组合.设计类“数学活动”是一种体验式学习，需要学生动手操作、交流展示、思维碰撞、理性概括和逻辑验证，不断优化设计方案.其教学思路一般是通过似真情境引导学生提出问题，然后设计出合适的解决问题的方案，最后拓展与延伸，据此归纳出如图1所示的教学结构图.

图1

二、设计类“数学活动”的教学实践

“数学活动 矩形绿地中的花圃设计”是在学生已有的几何与方程相关知识的基础上展开的，要求学生对限定条件的花圃图案进行开放性设计，以激发学生的创新思维和审美情趣，体现数学的应用价值.本节课的主要活动过程如下.

1.问题情境，激发兴趣

导入：我们在生活中会看到很多奇特、漂亮的建筑物、广场、花圃等，它们是设计师们的创新设计，倾注着设计师们的辛勤付出，是时代特征和文化的一种体现.下面，让我们一起去领略一下设计师们的作品.

教师通过多媒体呈现如图2～4所示的一系列相关图片.

图2

图3

图4

【教学分析】在活动准备阶段，为学生提供生活化、开放性的材料，尽可能地提出让学生感兴趣的问题情境，从而激发学生的求知欲望和数学思考.

2.提出问题，开放探究

问题1：在一块长是32 m、宽是24 m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半.你能给出设计方案吗？

【教学分析】学生需要基于问题思考，“数学活动”的价值就在于它是基于问题的.因此，活动中应该重视提出问题的环节.教学中，让学生通过观察、操作、猜想等数学活动，从情境中提出有价值的数学问题，这也是创新的基础.如果学生感到有难度，教师要引导学生生成问题.

3.设计方案，展示作品

活动1：将问题1中设计的花圃在已知矩形中用阴影表示出来.

活动探究：学生在小组合作、讨论交流后，每组选派代表到黑板前展示，逐步形成如图5～16所示的方案.

图5 方案1

图6 方案2

图7 方案3

图8 方案4

图9 方案5

图10 方案6

图11 方案7

图12 方案8

图13 方案9

图14 方案10

图15 方案11

图16 方案12

【教学分析】对数学问题进行意义建构，让学生感知数学，体验数学美.再在理解问题本质的基础上，鼓励学生独立或合作设计花圃的开放性方案，激发学生的发散思维、创新思维和审美情趣，体现数学的应用价值.

4.解决问题，优化方案

活动2：上述方案中，对照设计要求，都符合要求吗？

通过交流，学生认为设计后的花圃应是一个整体，故方案8不符合要求；通过计算，方案6中的花圃面积是已知矩形面积的，故方案6不符合要求；方案1～方案5，方案7、方案9、方案12符合要求；方案10、方案11条件欠完整，需要进一步补充条件才可行.

活动3：在问题1中，若要围出一个矩形或圆形花圃，如方案6、方案10，是否可行？

方案10中，若设计的圆形花圃的面积是矩形面积的一半，则圆的面积为×32×24=384，通过计算可得圆的半径为≈11.06（m）.

同理，可得方案11中的四个扇形半径也为11.06 m，则方案10、方案11都可行.

【教学分析】以学生体验为主线，通过分析、尝试、计算、验证等数学活动，放手让学生进行多样化、开放性的体验活动，使学生经历提出假设、辨析、优化（含简化）等过程.其中，关键步骤要尽量留给学生自己去做，让学生在活动中尝试解决问题.

5.抽象概括，理性提升

问题2：上述可行方案中，有什么共性特点？你还能设计出哪些方案？

上述可行方案中，设计的花圃有矩形、菱形、正方形、等腰三角形、圆形等形状，分界线主要有线段与圆（弧）两种.其中，方案10、方案11是以圆（弧）为分界线，体现曲线美；方案1、方案4、方案5都是以一条线段为分界线，体现简洁美，这些分界线都经过矩形的中心.因此，只要将此线绕中心任意旋转，就可以得到无数不同的图形；方案7中，左右平移三角形的上方顶点，根据三角形的面积不变性，可以得到更多形状不同的三角形；方案3、方案9、方案12中，将这两条分界线分别绕两个矩形的中心适当旋转，也可以得到许多不同的图形；方案6、方案10中的矩形与圆形花圃在矩形区域内适当平移后，还可以得到更多可行方案.

问题3：在一块长为32 m、宽为24 m的矩形绿地内设计一个矩形花圃，使四周的绿地等宽，花圃的面积与绿地的面积相等，并计算绿地的宽.

设花圃四周绿地的宽为x m，由花圃面积为矩形面积的一半，建立方程（32-2x）（24-2x）=384.解得x=24（舍去），或x=4.

也可由四周绿地面积和为矩形面积的一半建立方程，鼓励学生从不同的角度建立方程求解.

【教学分析】数学活动的核心要素是理性思维，要尝试从不同视角对活动进行反思、归纳和总结.活动中要及时引导学生验证所设计方案的合理性与准确性，体验平移、翻折、旋转等图形变换在设计类活动中的作用，还要认识到数学运算、建立方程模型等的重要功能，这种有思维深度的数学活动，有利于学生将感性认识上升为理性认识，逐步使解决问题的策略形成一个整体结构，进而获得处理复杂问题的研究方法与手段.

6.实践应用，提升能力

练习1：为了方便游客观赏，决定在一块长为32 m、宽为24 m的矩形绿地中开辟横竖两条宽为2 m的小路，然后在剩余的绿地上开辟花圃，使花圃的面积等于剩余面积的一半.试画出设计草图，并计算花圃的面积.

练习2：某单位准备在一块长为30 m、宽为20 m的矩形空地中修两条纵向平行和一条横向弯曲的小道，剩余的地方种植花草.如图17，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的宽度均相等.）

图17

【教学分析】练习题的设计旨在使学生将以上活动中形成的经验在新情境中迁移应用，从小课堂拓展到社会的大课堂，挑战新问题，向更高点迈步，从而提高学生的创新意识、实践能力和应用能力.

三、设计类“数学活动”的育人价值

1.提升学生的计划能力

凡事预则立，不预则废.活动前应先通盘规划.例如，“矩形绿地中的花圃设计”的活动目的是什么？规划设计的花圃可以是哪些形状？如何规范而清晰地表达设计方案？如何从可行性、艺术性、可操作性等视角对诸多方案进行评价？规划设计时应该遵循怎样的步骤？设计类“数学活动”给学生提供了机会，使学生在综合多方因素和充分权衡后，设计、辨析并不断优化方案，使方案合理可行，使学生养成提前计划的良好习惯，从而提升学生的计划能力，提高他们解决问题的效率.

2.发展学生的审美能力

审美能力是指人以审美方式把握世界的一种特殊能力，是人类认识美、评价美的能力，包含审美感受力、判断力、想象力、创造力等.在学生设计的花圃图案中，有三角形、四边形、圆等形状，体现了对称美.运用几何画板软件将已有方案中的图形进行适当旋转、平移等变换时，就可以得到更多方案，体现了数学中的动态美.方案6与方案10中，将矩形或圆形花圃的中心左右平移到黄金分割点处时，既实用又好看，体现了艺术美.在对诸多方案的共性归纳及其变式拓展中，学生将在生活中发现的规律用数学语言表达出来，体现了数学知识结构的统一和谐美和数学语言美.当然，审美能力的形成不是一蹴而就的，而是在系列数学活动中逐步培养的.

3.培养学生的创新意识

创新意识是对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和指出问题，从而进行探索和研究.活动初期，教师通过似真情境引导学生提出问题，要求学生在一块已知矩形绿地内，设计一个符合限定条件的花圃，激发学生的探究欲望，推动学生从被动创新走向乐于创新.活动中，要求学生独立思考、学会思考，鼓励学生到黑板前呈现自己的设计作品，发表自己的见解，这是激发学生创新思维的核心.接着，让学生对已有方案进行验证，归纳概括得到的猜想与规律，这是创新的重要方法.在整个活动过程中，学生亲自参与设计花圃的全过程，提高了发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力，以及抽象能力、概括能力，创新意识也就随之不断形成与发展.

4.培养学生的理性精神

面对一个新问题，尤其是突发问题，人的思考更多源于直觉.反思直觉，研究直觉，即为理性.数学活动不只是动手操作，活动中更有数学思维含量.以本节课为例，“数学活动 矩形绿地中的花圃设计”中，通常需要经历如下过程：（1）最初的花圃设计方案是从哪里开始的？（2）为什么这样设计？怎样验证？（3）还有其他方法吗？有何规律？（4）如何寻找更好的方法或更简洁的表达？活动中，对于具有共性特征的设计方案，学生自觉运用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，用数学的语言去表达，打通了知识间的联系，提高了综合应用知识的能力，则理性精神已在其中.同时，数学活动的问题解决需要学生充分的交往互动，在合作交流中培养了学生的信息处理能力、表达能力和团队精神，感受分享与创造的乐趣，这也是学生未来发展需要具备的素养.