周太平，朱 哲

（浙江省嘉兴市秀洲区教育研究和培训中心；浙江师范大学教育学院）

数轴是体现数形结合思想的重要工具，能够直观反映数的大小、顺序、正负信息等，是建立坐标系的基础.在初中数学教学中，教师帮助学生正确理解数轴的概念是很有必要的.实际教学中，教师是如何理解数轴的？如何处理教材中的数轴知识呢？我们又应该对数轴教学有怎样的分析和改进呢？本文对此进行探讨.

一、教学中存在的认识数轴的误区

对于数轴，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，其中，原点、正方向和单位长度是数轴的三要素.据此，教师在教学过程中往往会给出如下画数轴的方法：（1）画直线，取原点；（2）标正方向；（3）选取单位长度再标数.从而画出如图1所示的比较标准的数轴．

图1

对于图2，根据数轴的表述，有很多教师认为它不是数轴，因为没有标明原点和单位长度.对于图3也一样，理由是没有标明原点和正方向.还有教师认为，数轴一定是水平方向的，竖直方向的、斜方向的不是数轴．产生这些误区的原因，主要在于这些教师对建立数轴的必要性、数轴三要素和数轴抽象的理解不到位.在七年级教学中，教师要求学生画数轴时必须画出三要素，这种要求在学生初学数轴时是必要的.但是教师对数轴的理解不能这样片面.对于数轴，它的三要素缺一不可，但并不是必须画出来.如图3所示的图形，从数字的排列看，右边一定是正方向，1左边一个单位的位置就一定是原点，因此这个图形已经给出了数轴的三要素，应该是数轴．规定正方向，并不要求一定向右或者必须画出箭头来，因此可以间接规定而不画出来．

图2

图3

厘清这些认识，教师需要先明确数轴的作用，正确理解数轴的三要素和数轴概念的本质，结合学生现有的心理发展水平和知识结构，根据概念形成教学的理解，基于理解数学、理解学生和理解教学来思考如何设计数轴的教学过程.解决好这些问题，我们就能很好地实施数轴概念的教学．

二、从“三个理解”角度对数轴概念教学进行再认识

从理解数学、理解学生、理解教学的角度对数轴概念教学进行再认识，从而优化教学设计，促进学生对数轴概念的掌握和理解.

1.正确理解数轴

数轴是数学的核心概念之一，不仅是学习相反数、绝对值等知识的重要工具，也是学习不等式解法、函数等内容的必要知识基础.理解数轴，需要体会数轴的作用、数轴的三要素规定的必要性和合理性.

（1）明确数轴的作用.

数轴是我们研究数的性质的重要工具，因此要以合理使用为主要目的.利用数轴，我们可以从整体上认识数的概念，包括数的大小，实数的有序性和稠密性，无理数的存在性，数与点的对应关系，坐标，等等.数轴的作用主要体现在以下几方面.

①数轴体现了数与点的对应关系.

直线是连续的，实数集也具备相应的连续性，把每个点都对应唯一一个实数的直线称为数轴，这样实数就和数轴上的点一一对应了.在初中阶段，我们应该理解实数与数轴上的点的一一对应关系.

②数轴反映了数的大小与点的顺序关系.

利用这种关系能够比较两个数的大小，也可以说明不同点在数轴上的位置不同.这里需要强调原点的分界作用，给解不等式提供了一定的经验基础.在理解数的大小的基础上，还要强化数可以根据数轴进行排序，可以按从小到大排序，也可以按从大到小排序，可以等间距排序，也可以变间距排序，为数列的学习提供经验基础．

③数轴有助于理解数学概念.

很多数学概念可以通过数轴帮助理解，这里可以提出一些创新性的概念，也可以直观地理解旧概念.例如，理解平均数时，可以把这些数表示在数轴上，再看这些数的位置与平均数的位置之间的关系.从平均数对应的点所处的具体位置来理解什么时候需要求平均数；还可以用平均数解释一组数据的其他性质，定义对称数、等距数等新概念，为绝对值等概念的学习提供经验基础．

④数轴可以解决一些实际问题的表述.

将实际问题表述到数轴上，建立已知和未知的联系，从而达到解决实际问题的目的.小学阶段，实际问题的线段图表述的是定量水平，若将线段改成数轴，可以用“数形结合”方法来解决一些实际问题，也可以解决一些抽象的数学问题．

例如，如图4，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A，B，C，D，E，F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20（单位：km），而村庄G正好是AF的中点.现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，探索活动中心的建造位置.

图4

假设以城市处为原点，向右为正方向，点P为活动中心，则点A，B，G，C，D，E，F，P分别表示数4，10，12，15，17，19，20，x，于是这7个村庄到活动中心的距离之和就可以表示为：|x-4|+|x-10|+|x-12|+|x-15|+|x-17|+|x-19|+|x-20|，经过直观分析可以得到：当x取15时，这7个村庄到活动中心的距离之和最小.

（2）正确理解数轴的三要素.

数轴的三要素——原点、单位长度和正方向是规定一个确定数轴的必要条件.这里用的词是“规定”，所以这种规定是有必要性的.没有明确的规定，数与直线上的点就不会出现一一对应的关系，规定了三要素就可以用点的位置关系直观地描述数的大小关系．

①原点.

原点是基准点，画数轴时，我们在直线上任意取一个点确定为原点，这个点把这条直线分成两条射线.原点表示的数是“0”，“0”表示起点，是正负数的分界点，由射线的方向可以体会从原点往左或往右时数的大小变化趋势.在教学中，教师需要让学生充分地从数和形两个方面感知原点的确定对数轴上的数的表示的影响，体会数与形之间的联系.

②正方向.

正方向是指实数从小到大的方向.我们一般要求向右为正方向，但这不能让学生理解为正方向只能是向右.直线在平面上是任意方向的，因此数轴的方向可以指向任意方向，而不是左右两个方向，更不是只有向右的方向才是正方向.但基于现实问题情境和后续平面直角坐标系等知识学习的需要，我们通常规定从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向.

③单位长度.

单位长度是规定了表示1的点与原点的距离.规定了0和1，就可以唯一确定2，3，4，…，在反方向上，可以唯一确定-1，-2，-3，….这样就确定了每一个实数的唯一位置，它体现了数系扩充的思想．我们强调的单位长度，是抽象的单位1，把谁看作单位1，要看具体的实际问题.它不仅包括物理中的长度单位，还应该包括任意长度.

2.正确理解学生

学生在小学阶段就学过数轴，数（整数、小数、分数）可以用数轴上的点来表示，应用数轴可以比较数的大小，等等.有了小学阶段这些初步的数轴知识，到初中阶段就应该提升学生对数轴的理性认识和对数域扩充的理解.由于学生对刚刚学习的正负数概念的理解还不深刻，加上数轴和数之间对应的抽象性，造成了学生理解上存在困难.

学生对数轴的直观认知容易与生活中直线方向上物体的位置、温度计等相联系，学生也比较容易理解将有理数用数轴上的点表示.但学生比较难理解数轴上的点与实数的一一对应关系，这就需要教师强化引入过程，突出几何直观.将数轴的学习过程通过由温度计、行程路线图等提炼出数轴的一般结构，建立有理数与直线上点的对应关系.在这个提炼过程中，强化将数直观地表示在直线上的经历，同时强调在直线上可以具体地研究数的性质，使得学生能够主动建构数轴的概念，解决理解上的难点.

3.正确理解数轴教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于第四学段中对“数轴”相关的描述是这样的：理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，了解实数与数轴上的点一一对应.因此，教学中，“数轴”第1课时的课堂教学目标可以设定为：（1）通过对温度计等生活中的实物进行观察和思考，抽象出数轴的三要素；（2）能够根据数轴的三要素正确画出数轴；（3）能借助实例探索有理数与实数上的点的对应关系，并在“点与数的对应”过程中体会数形结合思想.对于数轴，教学的重点和难点应该是通过一系列的感知活动使学生理解建立数轴的必要性，并抽象出数轴的概念，体会原点作为数轴基准点的特殊地位，以及正方向、单位长度对数的对应关系的作用及数形结合思想．

三、基于“三个理解”的数轴概念教学案例及分析

数轴概念教学中的理解数学，即理解数轴，也就是要正确理解数轴的概念.而数轴概念的核心就是“三要素”的内涵：原点是区分方向的基准，单位长度是一个统一标准的度量线段单位，正方向需要结合现实中的“相反意义的量”和“相反方向”来理解.在此基础上设置教学目标，体现以“概念形成”的方式设计教学的基本环节，通过设计适当的问题情境来引导学生体会数形结合思想.

1.教学案例

下面以浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册“1.2数轴”中对数轴概念的引入和对“三要素”理解的教学过程为例进行阐述.

观察：仔细观察温度计的示数，它有什么特点？你会读温度计上的示数吗？

生1：有均匀的刻度，有数字，有零刻度.

生2：零刻度以上是零上温度，零刻度以下是零下温度.

生3：它有方向，上正下负.零刻度以上用正数表示，如零上20°C记作+20°C；零刻度以下用负数表示，如零下5°C记作-5°C.

……

【设计意图】学生通过观察温度计的示数，分析温度计的示数结构，讨论并直观感受温度计上的三要素（零刻度线、均匀刻度值、温度高低方向），经历第一次抽象，将温度计的刻度、零刻度线、温度的高低抽象出数轴的三个要素（原点、单位长度、正方向）.

操作：在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和6m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3m和4m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

师生活动：学生画图、讨论、交流.

生4：用一条直线将汽车站牌、柳树、杨树、槐树和电线杆串起来，把它们分别看成一个个点表示在这条直线上.

生5：在直线的右端标上箭头，规定向右为东.

师：规定的目的是什么？这与我们前面学过的知识有联系吗？

生5：是为了能区分东边和西边，它和前面表示相反意义的量有关.

生6：把最东边的和最西边的两棵树之间的距离平均分为5份，每个单位长度为2 m.

师：画图时，用什么长度作为一个单位呢？

生7：用1cm可以，1.5 cm也可以，只要是相等的距离而且能表示这些点就可以了.

生8：把汽车站牌作为基准点，以2 cm为单位长度，基准点右边距离汽车站牌1.5个单位、3个单位的点分别是柳树和杨树，基准点左边距离汽车站牌1.5个单位、2个单位的点分别是槐树和电线杆.

师：基准点这个说法很好！能不能以其他点为基准点呢？

(4) 施工工艺与质量。盾构施工不可避免地将扰动土体，如盾构施工状况、施工管理、衬砌背后同步注浆等都会使土体结构的应力应变状态发生较大变化。

生8：用其他点作为基准点也可以，表示是不是会复杂一点？

师：基准点是参考，是作为确定其他数据位置的“参照”，是为了更加简洁、方便地表示它们的位置，大家可以尝试一下不同的基准点的选取方法.

【设计意图】学生将问题场景中的情况进行作图分析，作图的分析过程中涉及原点的选择、刻度的设置、正方向的设定等问题，思考的过程就是对数轴三要素理解和再认识的过程.学生在作图中思考、感悟数轴三要素的必要性，在抽象过程中强化对数轴概念中三要素的理解.

合作：教师展示部分学生的作图情况，并组织大家讨论图5～8的图形都能清楚地表示题目中的这个情境吗？（规定：单位长度为1m，向右为东边.）

图5

图6

图7

生9：图5、图6没有基准点，好像不可以？……

生9在犹豫.

生10反驳：图5、图6是可以的.虽然没有标基准点，但很显然图5中站牌的位置就是0的位置，图6中电线杆左边一个单位处就是基准点.

生11：我也同意生10的说法，因为已经规定了向右为正方向，所以这几个图都可以很清楚地表示它们之间的相对位置.就像图8中虽然没有标箭头，但我们看趋势就知道向右为正方向.

图8

……

师：上面四个图形清晰地表示了题目中的情境，生10和生11对三要素的理解也是正确的.但图5和图6是不完整的数轴画法，作图时我们还是需要像图8一样标出原点、单位长度和正方向.

【设计意图】学生怎样画数轴，怎样把数表示在数轴上，怎样把数轴上的点用数表示出来，这些关键点的解决都需要对数形结合的理解，需要建立数与点的对应关系.合作环节中，通过对学生所作图形的展示、辨析，从多角度对三要素进行辨析，使学生强化概念理解，掌握规范作图.

2.案例分析

在这个教学片断中，学生是自主发现“三要素”（基准点、方向和与单位长度）在刻画事物相对位置中的作用的，感悟到用直线上的点来表示数的便利，经历用0表示“基准点”，并借助负数概念引入表示“相反意义的量”的体验.教师在学生经历过这些认知、冲突和思考后，再进行数轴概念的归纳，数轴三要素的必要性和画图规定的要求就水到渠成了，这样的概念理解才会合情合理、自然生成.

理解概念是理解概念教学的前提.概念的理解需要重视概念的自然生长，因需要而定、以变化而成、从解决而用.无论是人教版教材、苏科版教材中的情境“马路上的故事”，还是浙教版教材、北师大版教材中的情境“温度计”，数轴概念的引入都是结合学生的生活实际，从学生已有的知识经验中生长出来，解决用数来刻画位置的问题.数轴概念的教学还需要关注概念引入的合理性，使学生感受用数刻画位置的必要性.弗赖登塔尔认为要将数轴作为一种形象化工具.数轴教学中，教师要引导学生将数轴的这种形象、直观与抽象性结合，引导学生感悟建立数轴的意义和规定三要素的必要性．

理解学生是促进概念教学实施的重要条件.概念的形成或者同化都需要抽象和概括，它是一个数学建模的过程.而现阶段的学生的抽象能力正好处在相对薄弱的时候，创设符合学生认知规律的情境，重视新旧知识之间的联系就很重要和必要.教师在教学设计时，需要在理解学生的基础上理解数轴和数轴教学.这样的教学设计才能够提升学生的数学核心素养，培养学生运用数轴解决各种数学问题的能力．

基于“三个理解”的概念教学需要从“理解”的角度来思考教学定位、确定教学内容、优化教学方法、设计教学流程，不断实践、反思，使概念教学更合理、自然、流畅、有效.