［摘  要］ 高考数学试题题目新，信息量大，指导性强.对高考试题的研究有利于指导中学数学教学，在日常教学中除了强调对基础知识全面深刻理解和融会贯通运用外，还应关注解题方法和解题过程的优化，不断提高学生分析问题和解决问题的能力.

［关键词］ 数列；观察探究；“四基四能”

作者简介：张彬政（1976—），高级教师，四川省教书育人名师、四川省模范教师、四川省骨干教师、四川省鼎兴名师工作室成员，受省政府、市政府、县政府三级表彰，市委、市人民政府授予 “优秀教师”称号. 在《数学教学通讯》《中小学数学》《数理化学习》《数理化解题研究》《语数外学习》《中学生数理化》《数学大世界》《中学生理科月刊》《招生考试报》等刊物上发表过论文35篇.

观察是人们对周围世界的客观事物和现象，在自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法， 是一种很重要的思维活动.数学观察则是对数学问题，在客观情境下考察其数量关系及图形性质的一种方法.通过观察来搜集新材料，发现新事实，探索对象的本质，洞察出隐在深处的数量关系和图象的性质以及问题间的内在联系. 通过观察来认识数学问题的本质、揭示数学规律、发现数学思想和方法. 数学观察能开阔学生的思路，发展学生思维的灵活性，使数学知识结构和学生原有的数学认知结构建立起联系，培养学生思维的灵活性、广阔性与深刻性.

试题呈现

（2020年高考全国Ⅲ卷理数第17题）设数列｛ａ｝满足a=3，a=3a－4n．

（1）计算a，a，猜想｛ａ｝的通项公式并加以证明；

（2）求数列｛2nan｝的前n项和S．

分析 第（1）问主要考查数列通项模型的简单应用，属于基础题. 第（2）问是一个等差数列和等比数列之积求和的数学问题，可利用错位相减法求解，属于中档题. 考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力. 体现了新课标对“知识了解”考查的要求：对知识有初步、感性认识，知道它是什么，按照一定程序和步骤进行模仿，在相关问题中能识别和认识它并加以应用.

观察问题特征、直击问题本质、优化思维定式

大千世界，千变万化，数学问题亦如此，想凭借一种固定的方案，快速且准确地解决各种问题，肯定行不通. 这就要求学习者要有一双善于发现问题的慧眼，能洞察问题的本质，并利用思维的敏捷性来举一反三达到融会贯通的效果［1］. 从心理学的角度来看，认识一件事物的最初形式是感觉与知觉，观察属于知觉的高级形式. 观察是集目的性、计划性与持久性于一体的心理活动过程. 因此，加强新事物的观察，是建构新知的最基本途径，也是学生产生疑问并释疑的基本前提. 数学观察应根据学生的基础、认知水平点拨思维.数学观察探究什么？数学观察探究的方向是什么？数学观察探究的途径是什么？怎样做好数学观察探究方法的收集与处理？学生在教师的引领下，以自己的方式、习惯、情感和认知规律去探索、去研究、去发现、去感悟、去理解，得出合理的结论和思考的方法，提高解题能力，提升学科素养.

由题目第（1）问可得2nan=（2n+1）2n，涉及数列求和. 数列求和常见的方法有分组转化法、裂项相消法、错位相减法. 分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个数列通项的和或差；裂项相消法的基本思路是将通项拆分，产生相互抵消的项；错位相减法主要用于求｛ａｎｂｎ｝的前ｎ项和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分别为等差数列和等比数列．

题目第（2）问归类为求｛ａｎｂｎ｝的前n项和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分别为等差数列和等比数列，是典型的用错位相减法求和例题. 但如果｛ｂ｝为等比数列，｛ａ｝不是等差数列呢？可先观察探究以下问题，认识数学问题的本质，揭示数学规律，发现数学思想和方法，提升“四基”“四能”.

观察探究1  求数列的前n项和.

观察到分母为积这一特点，这是数列求和中的“积求和”典型例子，可采用裂项相消法将通项拆分，快速得出S=1－. 有人认为“积求和”，可以取对数求解，但是取对数对此题行不通. 这里为什么要裂项？观察到分母是两个相邻自然数的乘积，只有通过裂项，才能相消求和.这题通过观察式子的结构特征得出的基本经验是“积求和，裂项相消”，那么“积求和，裂项相消”对“求｛ａｎｂｎ｝的前n项和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分别为等差数列和等比数列”这类题是否行得通呢？这可以通过裂项相消法达到目的，但不是所有的数列“积求和”都行，比如“求数列｛ｓｉｎ（ａｎｂｎ）｝的前ｎ项和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分别为等差数列和等比数列”．

观察探究2  继续求解题目第（2）问——求｛（2n+1）2n｝的前n项和.

结束语

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》规定数学的课程目标是：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；提高從数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力. 因此，教师在教学中要教会学生通过观察认识事物的本质以及知识间的相互关联，把握数学本质，启发思考，改进教学，让学生树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神，不断提高实践能力，提升创新意识，利于“四基”强化和“四能”提升［4］.

参考文献：

［1］ 张彬政. 学科核心素养理念下提升高中学生数学思维品质的教学策略［J］. 数学教学通讯，2022（04）：38-39.

［2］ 中华人民共和国教育部考试中心.《中国高考评价体系》［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 中华人民共和国教育部考试中心.《中国高考评价体系说明》［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考［J］. 课程·教材·教法，2016，36（07）：44-49.