王沿朝，谢惠祥，郭剑峰，杜海霞

（火箭军工程大学 基础部，陕西 西安 710025）

“理论力学”是大学工科专业非常重要的专业基础课程，其架起了大学基础课与专业课之间的桥梁［1-3］。“理论力学”主要研究的是物体机械运动的一般规律，其内容包含静力学、运动学及动力学三个部分［4-5］。点的加速度合成定理是运动学篇章中的重点及难点内容之一，也是后续动力学内容的基础。然而，在教学过程中，学员普遍反映该部分内容不易理解，尤其是对于牵连运动包含转动时点的加速度定理，需要很长时间才能真正领悟其中的奥义。究其原因，主要是因为学员对牵连速度和牵连加速度的定义性质理解不透彻及教材中所给出的牵连速度的导数与牵连加速度之间的理论关系不清晰所致［6-8］。鉴于此，本文将从牵连速度与牵连加速度的基本定义出发，并以具体案例为牵引，着重阐述牵连速度的导数与牵连加速度之间的本质差异，并进一步建立牵连速度与牵连加速度间的统一关系。通过本文的研究，以期能在课堂教学中更好地引导学员理解和掌握点的加速度合成定理的内容，为学员学习后续专业课程打下坚实的基础，并在此过程中逐步培养学员的力学思维与科学探索精神。

一、牵连速度与牵连加速度的定义性质

在研究点的加速度合成定理时，一般将动点的绝对运动分解为其相对于动参考系（固定在相对于地球运动的参考体上的参考系）的相对运动及随着动参考系的牵连运动［9-10］。在研究点的加速度合成定理时，所涉及的基本概念较多，其中主要包括动点、定参考系、动参考系、相对运动、绝对运动、牵连运动、相对速度、绝对速度、牵连速度、相对加速度、绝对加速度和牵连加速度等。其中，相对运动和绝对运动所研究的是动点，相关的物理量物理意义明确，研究起来相对较为简单。而牵连运动的研究对象是刚体，对于牵连速度和牵连加速度的求解还需要引入牵连点的概念，因此就使得相关问题的研究变得复杂起来。下面，本节将着重对其中的牵连速度和牵连加速度进行阐述和剖析，以期引导学员厘清牵连速度与牵连加速度的本质差异。

在教材中，将动参考系上与动点相重合的那一点（即牵连点）的速度和加速度分别定义为动点的牵连速度和牵连加速度［4］。由于动点的牵连速度与牵连加速度都是相对于定参考系而言的，因此，对于这二者的定义，笔者及所在教学组在教学过程中发现很多学员都会误认为牵连速度对时间求导即可得到牵连加速度，并因此对教材中的推导过程产生了一系列的疑问与困惑。下面我们以具体案例为出发点，来探究牵连速度与牵连加速度的本质关系。

如图1（a）所示，在直杆AB上有一动点沿杆运动，杆同时绕着A轴做匀速转动。其中动参考系与杆AB固连。假设在初始时刻t0，动点位于杆上的M处，其牵连速度为，相对速度为。在经过一个很短的时间间隔Δt之后，直杆AB绕着A轴转动到新的位置AB′，此时，动点沿着直杆运动到M′位置处，这时，动点的牵连速度为，相对速度为。因此，根据教材中的定义，牵连速度对时间求导可得［4］：

图1 运动分析示例图

对于上式，需要提醒学员注意的是，在初始时刻t0和末时刻t0+Δt，动参考系上与动点相重合的点并不是同一个点。也就是说，由于相对运动的存在，在t0时刻和t0+Δt时刻，牵连点已经发生了改变，在t0时刻的牵连点经过时间Δt之后运动到了M1处，见图1（b）所示，而实际上，在t0+Δt时刻，新的牵连点位于M′位置处，见图1（a）所示。因此，牵连速度对时间的导数表示的是两个不同的牵连点的速度相对于时间的变化率。

若动点与杆AB之间无相对运动，则动点将由M运动至M1处，见图1（b），此时动点的牵连速度应为。因此，根据定义，动点的牵连加速度可表示为：

上式的物理意义即为某瞬时该牵连点的速度对时间的变化率，其所研究的对象即为同一牵连点。因此，由上文的分析可知，和所表示的物理意义并不相同。其中，表达式中隐含了由于牵连点随动点运动改变而引起的牵连速度的变化，该点是学员最容易忽视并引起混淆的地方，教员在授课过程中应当着重予以说明。实际上，对式（1）进一步分解可得：

通过引导学员观察上式并与式（2）进行对比可以发现，式（3）中等式右边第二项即为牵连加速度的表达式，而第一项则反映了牵连点随动点发生改变而导致的牵连速度的变化情况。

二、牵连速度与牵连加速度关系的统一推导

由前面的分析可以知道，动点的牵连速度与牵连加速度之间的关系较为复杂，因此，本节将从点的运动学中的基本知识点出发，来推导动点的牵连速度与牵连加速度之间的统一关系。

由“理论力学”运动学知识可知，当牵连运动包含转动时，动点的牵连速度可表示为：

因此，式（1）也同样可以表示为：

将式（6）代入式（5）进一步整理可得：

基于牵连加速度的定义和运动学知识，可将动点的牵连加速度表示为：

通过前述推导，式（9）即给出了牵连速度与牵连加速度之间的关系，且该式对牵连运动为任意形式的运动均适用。由式（9）可以发现，当牵连运动为平移时，式中动参考系转动的角速度的大小为0，表明此时牵连速度的导数与牵连加速度是相等的。而当牵连运动包含转动时，牵连速度的导数与牵连加速度不再相等，其中，反应为科氏加速度的一部分［12-13］。

此外，通过进一步对比式（9）和式（3）还可以得到如下表达式：

式（10）即表明牵连点随动点改变而引起的牵连速度的变化等于动参考系转动的角速度与相对速度的叉乘。对于式（10），我们同样可以通过以下过程予以证明。

因此有：

结语

点的加速度合成定理是“理论力学”运动学中的重点与难点内容之一，然而，鉴于其中涉及基本概念多，公式推导复杂，且低年级学员对刚体复杂空间运动的理解和想象能力较差等因素的制约，使得学员在学习这部分内容时容易产生理解上的偏差，并对这部分内容的掌握不够牢固。因此，本文从动点的牵连速度和牵连加速度的定义性质出发，并以实际案例为牵引，着重分析了牵连速度的导数与牵连加速度的概念性质之间的差异。在此基础上，从运动学的基本知识出发，进一步推导了牵连速度与牵连加速度之间的统一关系，明确了牵连点随动点发生改变而导致的牵连速度的变化对牵连速度导数的影响。笔者及所在教学组将本文研究内容应用于课堂教学实践后，在“理论力学”课程中点的加速度合成定理内容的教学效果有明显提升。学员普遍反映更容易理解和掌握该节的知识要点，尤其是对其中牵连速度的导数和牵连加速度的内在含义更加明晰。此外，本文的研究也可让学员意识到对力学重要概念的理解和探索要从源头出发，有助于培养学员缜密的逻辑思维能力与创新思维能力。