刘金英

（天津市教育科学研究院）

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准（2022年版）》）提出理解和掌握尺规作图的基本原理和方法，倡导基于图形的性质或关系作图，优化了对尺规作图的要求.尺规作图作为初中阶段“图形与几何”领域的内容，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）中是集中呈现的，主要包括“能用尺规作图完成基本作图”“会利用基本作图作三角形”“会利用基本作图完成与圆有关的作图”“了解作图的道理”；而在《标准（2022年版）》中是分散安排的，与基本图形的基本性质密切相关，承载了丰富的思想内涵.

应如何体现尺规作图的思想性？尺规作图起源于古希腊的数学课题，是指只使用无刻度的直尺和圆规，并且只使用有限次，来完成不同的平面几何图形的作图.欧几里得《几何原本》中给出的五个公设中，前三个都是关于几何作图的：第一，由任意一点到另外任意一点可以画直线；第二，一条有限直线可以继续延长；第三，以任意点为心及任意的距离可以画圆.史宁中教授在文献［3］中提到：用几何解释代数的基本理论工具是几何作图；几何作图实质上蕴含着几何证明，几何作图对于培养几何直观是非常有利的；希望更多地利用圆来讨论问题.基于这样的理解，本文在评析2022年全国各地区中考试卷中典型试题的基础之上，提出“起于思、展有序、收到位”的教学建议，旨在从中感悟尺规作图的育人价值.

一、2022年中考尺规作图试题评析

2022年中考是《标准（2022年版）》颁布后的首次中考，各地区中考试卷中对尺规作图专题的设计更加注重操作性、生成性和思想性，力求将尺规作图的“想法、作法和道理”融为一体.这对落实新课程理念，开展相关的教学研究，起到了积极的作用.“能理解尺规作图的操作过程，根据作图后所形成的图形各要素之间的关系解决问题；并能进一步利用尺规作图完成新的作图，了解其中的数学依据，强化作图的基本原理与方法”已在2022年全国各地中考试题中有所体现.

1.能理解尺规作图生成的新图形

（1）通过给出的操作过程，识别新图形中要素之间的关系.

图1

此题给出了“作一条线段的垂直平分线”的操作过程.能理解得到的直线MN是线段BC的垂直平分线，并识别所生成的新图形中点E的“属性”是解题的关键.这里的点E是边AB与线段BC的垂直平分线的交点，当∠B=45°时，又成为新生成的等腰直角三角形BCE的直角顶点.若AC=5，BE=4，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，可得AB的长为7.

类似地，辽宁沈阳卷第19题也是给出尺规作图的操作过程，通过先判断所生成的直线MN是线段AD的垂直平分线，进而判断新生成的四边形AEDF是菱形.同样地，江苏苏州卷第14题、广西百色卷第9题、湖北宜昌卷第6题、湖北荆州卷第14题、湖南湘潭卷第12题、湖南衡阳卷第16题、四川广元卷第8题、四川达州卷第12题等，都是通过呈现“作一条线段的垂直平分线”的操作过程，研究所生成的新图形中要素之间的位置关系和数量关系.

海南卷第10题是基于“作一个角的平分线”的操作过程，识别新图形中要素之间的关系，进而解决与角有关的问题.

（2）按要求先完成基本作图，再解决与新图形有关的问题.

例2（山西卷）如图2，在矩形ABCD中，AC是对角线.

图2

（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母.）

（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明.

此题以矩形为依托，需要先利用尺规作图画出对角线AC的垂直平分线，再根据新图形中线段之间的位置关系，进一步猜想并证明线段之间的数量关系，得到AE=CF.此题主要考查了用尺规“作一条线段的垂直平分线”的画法、矩形的性质，以及全等三角形的判定和性质.

同样地，湖南永州卷第23题以平行四边形为依托，先用尺规作图生成新的图形，再猜想并证明新的图形是平行四边形.所不同的，这里的尺规作图是“作一个角的平分线”.

《标准（2011年版）》中，“作一条线段的垂直平分线”“作一个角的平分线”属于基本作图.尺规作图与图形的性质和判定有着密切联系.作图过程中所生成的图形要素之间新的位置关系和数量关系，为研究新图形提供了重要的事实和依据，是理解尺规作图的关键.因此，建立在图形要素“线段”和“角”的概念及基本事实的基础之上，能作出一条线段的垂直平分线和一个角的平分线，是尺规作图的基本要求，为众多命题者所采用.

2.能利用尺规作图完成新的作图

（1）依托基本图形的基本性质，先确认原图形中要素之间的关系.

例3（浙江·台州卷）如图3，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD.

图3

（1）求证：BD=CD；

（2）若⊙O与AC相切，求∠B的度数；

（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.（不写作法，保留作图痕迹.）

此题从基本图形△ABC和⊙O出发，第（1）小题，先由△ABC的边AB是⊙O的直径，根据等腰三角形“三线合一”的性质，易得BD=CD.第（2）小题，通过△ABC的边AC与⊙O相切的位置关系，根据切线的性质得到∠BAC=90°，进一步可得∠B=45°.第（3）小题，要求用尺规“作出劣弧AD的中点E”，由点E的属性是“平分”，可以联想到垂径定理，只要作出线段AD的垂直平分线即可（如图4），还可以联想到劣弧AD所对应的圆周角或者圆心角，只要作出∠ABD（如图5）或者∠AOD（如图6）的平分线即可.

图4

图5

图6

此题由原图形中的点、线段、角相互之间的关系，特别是其自身的多重属性进行联想与确认.例如，AB既是△ABC的边，又是⊙O的直径；∠ABD既是△ABD的一个内角，又是⊙O的圆周角；等等.这样的联想与确认，为完成新的作图奠定了基础，自然流畅、科学合理，完美地实现了“想法”与“作法”的统一，成为此题鲜明的特色.

例4（江苏·扬州卷）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？

【初步尝试】如图7，已知扇形OAB，试用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；

图7

【问题联想】如图8，已知线段MN，试用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；

图8

【问题再解】如图9，已知扇形OAB，试用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.

图9

（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹.）

此题以问题解决的方式，设置了“问题提出—初步尝试—问题联想—问题再解”，主要涉及等腰直角三角形、圆、扇形的面积等相关知识，以及能用尺规“作一条线段的垂直平分线”和“作一个角的平分线”.

图10

图11

图12

这样的设计合情合理、层层递进、水到渠成.一方面，通过设置“问题提出—初步尝试—问题联想—问题再解”呈现思考问题的方式，帮助学生学会分析问题和解决问题的一般方法；另一方面，更加注重依据图形自身的特征和基本性质完成作图，让学生感受到尺规作图的基本原理，很好地回答了尺规作图的过程“是如何想到的”.

（2）想象作图后新图形的特点，强化尺规作图的基本原理与方法.

例5（天津卷）如图13，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上.

图13

（1）线段EF的长等于__________ ；

（2）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN=90°，且BM=BN.试用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的.（不要求证明.）

此题以网格为背景，在给定圆的基础上，主要考查了勾股定理、圆的基本性质、等腰三角形的判定、正方形的判定和性质、三角形全等的判定和性质等.

图14

图15

可见，解决此题的关键是确定圆心O和正方形BQEF的边EQ的位置，只要将图14的“想法”放置在网格中，借助网格线之间平行、垂直的位置关系，以及连接网格点所形成的线段之间的数量关系即可.这里，先通过想象、证明确认彼此之间的内在联系，再实施操作画出图形，很好地实现了史宁中教授提出的“几何作图实质上蕴含着几何证明”.当然，由于此题的定位是难题，点P的位置设计为“悬空点”，若改变∠DPF的顶点P或两条射线PD，PF的位置，如P为格点或PD经过格点等，可以有更多、更特殊的构造正方形的作法，还可以建立平面直角坐标系，通过计算予以解答.

此题的求解重点，是能结合图形的性质，联想作图后生成的新图形的特点，理解作图的基本原理，明确作图的“道理”.借助网格，将作图的“想法、作法和道理”有机融合，是此题的特色；基于“道理”，把握“想法”的核心，适当改编，让“作法”更加丰富、收放自如，是此题服务于教学的初衷.

二、开展尺规作图专题教学的实施建议

1.起于思，明确尺规作图的课程目标

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.从21世纪开始的课程改革来看，关于几何内容的设计，经历了“空间观念”到“空间观念和几何直观”，再到“直观想象”的过程.《标准（2022年版）》对于尺规作图的学业要求是：经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理和方法，发展空间观念和空间想象力.可见，当前尺规作图的课程目标，更加指向操作、想象、原理和方法.如果说直观和变化是研究基本图形基本性质的重要方法，那么尺规作图就是加以适当描述或刻画的“数学工具”之一.

在尺规作图专题的教学中，教师应“起”于基本图形基本性质的思考，帮助学生展开联想，并通过想象确认图形中各要素之间的关系，再使用尺规进行具体操作.

2.展有序，设计尺规作图的呈现方式

在与《标准（2011年版）》配套的人教版《义务教育教科书·数学》中，关于尺规作图内容的呈现是分散的.例如，“作一个角的平分线”，既有“4.3.2角的比较与运算”中通过折纸作角平分线的动手操作和直观确认，又有“12.2三角形全等的判定”中所依据的基本事实和逻辑推理.再如，“作一条线段的垂直平分线”，与“13.1.2线段的垂直平分线的性质”内容息息相关，还与“13.3.1等腰三角形”“24.2.1点和圆的位置关系”“24.2.2直线和圆的位置关系”“24.3正多边形和圆”等内容联系紧密.这样分散式的安排，更加注重了“作图的道理”，为尺规作图教学提供了重要的参考和丰富的资源.

在尺规作图专题的教学中，教师应“展”于有逻辑的任务群组.例如，由给定的作图方法探究基本事实或依据，由具体的操作过程想象或推理新的结论，由图形中的基本事实或关系实施新的作图.这样的设计，可以是独立的问题，也可以是逐层递进的系列问题，但其中的关键一定是自然有序，且合情合理.

3.收到位，感悟尺规作图的育人价值

初中阶段“图形与几何”领域所涉及的研究对象——点、线、角、三角形、四边形、圆，或者由它们组成的图形，均可以用无刻度的直尺和圆规作出.事实上，我们所遇到的关于几何图形的问题主要有两个：一是建立在对于现实问题的抽象的基础之上，给定满足某种条件（主要是位置关系）的图形，研究其中要素之间的数量关系，会产生一系列的计算或证明等问题；二是给定某种条件，要求画出的图形满足这些条件，自然需要利用无刻度的直尺和圆规来实现.而且，在欧几里得公理体系中，最基本的假设也决定了作图只限于使用无刻度的直尺和圆规.可见，尺规作图在研究基本图形的基本性质，培养学生的空间观念、几何直观和推理能力的过程中发挥着重要的作用.

在尺规作图教学中，教师应“收”于想法、作法和道理的内在关联与相互统一，围绕“你是如何想到的？”帮助学生感受到像几何证明一样，作图也需要做到基于事实、有理有据、融会贯通，进而养成良好的观察、思考和表达现实世界的习惯.

综上所述，尺规作图试题中承载着丰富的思想内涵.2022年全国各地中考试卷中呈现的许多优秀案例，也势必会对尺规作图专题的教学产生积极影响.数学教学的目的不是解释这个多彩的世界，而是更好地描述这个多彩的世界.用好尺规作图，画出数学的精彩！