卢芳芳

（浙江省宁波外国语学校）

分类在生活中有着广泛的应用，如垃圾分类、图书分类等.在数学学科中，分类思想因其具有明显的逻辑性、综合性、探索性，在培养学生思维能力上备受重视.教学中，复习课作为重要的课型，却常常落入题目堆积的俗套.若复习课能精于设计、高于立意，则可以达到意想不到的效果和高度.现将一节市级公开课——“基于分类讨论的相似三角形复习课”整理成文，与各位同仁分享.

一、教学背景

“相似三角形”是浙教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第四章的内容，是继全等三角形后研究的两个三角形之间的关系.从全等三角形到相似三角形，从等角又等距到只等角的变换，充分体现了从特殊到一般的思想.从两条线段的等量关系到四条线段的比例关系，相似三角形的学习对于学生思维的训练和推理能力的培养提出了更高的要求.作为中考第一轮复习课，需要通过对相似三角形判定和性质的复习，彰显相似三角形的知识结构.由于对应关系的不确定性，分类讨论在相似三角形的各类问题中有着广泛的应用，本节课的教学就是在这样的背景下形成的.

二、教学过程

1.引入情境

师：同学们，家里产生的果皮、旧报纸、餐巾纸及矿泉水瓶这些垃圾，应该怎样分类投放呢？

生1：果皮是厨余垃圾，旧报纸、矿泉水瓶是可回收垃圾，餐巾纸是其他垃圾.

师：很好！我们都要学会垃圾分类.其实生活中还有很多需要分类的例子.例如，图书馆的图书要进行分类；商店里的商品要进行分类；同样地，我们学习的知识也要进行分类.

【评析】每名学生在日常生活中都应用过一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类、垃圾的分类等，利用学生的这一认知基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，使学生感受分类思想的重要性.同时，从学生身边的实例出发，可以调动学生学习的主动性及学好数学的信心.

2.复习旧知

用分类的方式复习相似三角形的基础知识和基本图形，具体用框架图表示（图略）.

【评析】在中考第一轮复习中，往往需要对知识进行整理，在这一过程中经常会用到分类思想.因为通过分类，可以梳理知识间的关系，帮助学生更好地复习.本节相似三角形的复习课以分类引入，运用分类思想对知识进行梳理，思路清晰自然，既突出了分类的必要性，又对基础知识和基本图形做了有效的复习整理.

3.设计“问题串”

问题1：若在一块三角形材料△ABC中，AD是BC边上的高，并且，BD=3，DC=1，你能告诉我这块三角形材料的形状吗？

教师展示如图1所示的含30°角的直角三角形材料，并问：是这个三角形吗？有没有不同意见？

图1

生2：还有可能是等腰三角形（如图2）.

图2

师：你是怎么想到的？

生2：因为三角形的高可以在形内也可以在形外.高在形外的时候就是为底角为30°的等腰三角形.

师：说得好！遇到三角形高的问题，又没有给出图形的情况下，经常要涉及分类讨论.我们将高的位置分成三类——形内、形上和形外，然后对各种情况进行讨论得出结果，这就是分类讨论.高在形上这种情况是不存在的，故最后有以上两种情况.

师：将问题1的条件改为：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的高，并且AD2=BD·CD，你能说出这个三角形的形状吗？

生3：直角三角形.

师：你是怎么得到的？

生3：利用三角形相似的判定定理.

以此复习三角形相似的判定定理：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.

师：将上面变式中的，将“如图1”这个条件去掉，还能得到此结论吗？

【评析】相似三角形中最典型的分类讨论就是由于相似的对应关系不明确造成的.问题1中的对应边不确定，故将其放在首位.从特殊的三角形引入，让学生明白以下几个问题.

（1）为什么要分类？因为问题的分析到达某一地方时出现转折，会产生多种结果，如果不停下脚步分类讨论，难以继续下去或直接导致错误信息的出现.

（2）怎么分类？用分类讨论的思想解答数学问题，一般进行如下操作：先明确讨论的对象，再确定分类标准，正确进行分类，后逐类进行讨论，最后归纳小结，得出结论.

（3）分类的注意事项是什么？不重复、不遗漏.

此题在复习相似三角形的判定定理的同时，也给出了相似三角形中最为常见的基本图形之一.更重要的是，问题中的三角形材料也将成为整节课的主角，贯穿始终.

问题2：要在图1这块直角三角形的材料中剪出一个内接正方形（顶点在三角形边上），求这个正方形的边长（教师展示问题1中的三角形材料）.

师生活动：教师引导学生进行分类讨论，并提示如何进行分类，分类的标准是什么.

学生板演（过程略），教师阐述这个问题应该如何分类.

师：正方形的四个顶点落在三角形的三条边上，则有两个顶点落在同一条边上，得到如下分类.

（1）当两个顶点落在三角形斜边BC上时，如图3所示；

图3

（2）当两个顶点落在三角形直角边AC上时，易得正方形的一个顶点与点A重合，如图4所示；

图4

（3）当两个顶点落在三角形直角边AB上时，同（2）.

【评析】在原有的三角形材料基础上设计此题，自然流畅.此题同样是一道典型题.因为方案的不确定性，所以需要分类讨论.通过分析得到分类，进一步强化如何分类讨论.另外，两种结果的图形恰好是经常涉及的相似三角形的基本图形，其中也用到了性质——相似三角形对应高的比等于相似比，以达到复习基础知识的目的.当然，学生若是用30°角的三角函数值来解决问题，也应给予赞同，因为三角函数的本质也是相似三角形.

问题3：如图5，将这个含30°角的Rt△ABC和等腰直角三角形DEF各剪一刀，把△ABC和△DEF分别分成两个三角形，使△ABC分成的两个三角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.（教师再给出一个等腰直角三角形材料.）

图5

师生活动：每四人为一组进行合作探究，确定如何分类，探讨分类的依据，最终请小组代表进行汇报.

将两个三角形各剪一刀，分别分成两个三角形，则分割线必须经过三角形的顶点.将△ABC分割，可以分为从顶点出发的三种情况；由于△DEF为等腰直角三角形，顶点E和点F等同，不妨分为两种情况.故以两个三角形的分割线过顶点为标准分为如表1所示的6种情况.

表1

【评析】在原有的含30°角的直角三角形材料的基础上另给出一个等腰直角三角形材料（恰好构成一副三角板），构成一道典型例题.关于这道题的变式有很多，此题中由于角度的特殊性，对学生思维的要求相对低一些.此题之所以分类讨论同样是因为方案的不确定性，可以根据对应角的不同解决问题，但要完整地解决问题，还需要严格的分类讨论.同时，此题也复习了相似三角形最为常见的判定定理——两个角对应相等的两个三角形相似.

图6

若过点D剪得的三角形与△ABC相似，则应确定过点D的直线与原三角形的哪条边相交，从而得到两种情况，再根据相似的对应关系进行分类，如图7所示，具体分类如表2所示.

图7

表2

问题5：问题4中，若点D是三角形边上（不包括顶点）任意一点，过点D剪得的三角形与△ABC相似，则这样的剪法有几种？

师生活动：给学生充足的时间思考，并给予个别指导，结合学生的回答及PPT的动画演示进行解析.

（1）如图8，当点D在AC边上时，剪法有4种.

图8

（2）如图9，当点D在BC边上时，剪法有3种.

图9

（3）当点D在AB边上时.

图10

图11

【评析】此题是中考中常见的以某三个点为顶点的三角形与原三角形相似的问题.由于对学生思维要求很高，故采用了阶梯式设计.问题4较为基础，多数学生都能轻松解决；但问题5要求学生先分三边进行讨论，再对边AB找到临界状态，并加以分类讨论，难度较大，是本节课的高潮.考虑到学生在这个环节上解题会存在困难，教师讲评时应注重启发和引导，让学生充分感受到分类讨论的必要性.

4.梳理小结

在复习相似三角形的同时，总结“分类讨论”的有关内容.

【评析】完成知识复习的同时，对思想方法进行梳理、小结可谓水到渠成.

三、教学反思

中考第一轮复习课必须立足基础，但又不仅仅是简单地“炒冷饭”，而是要把学生学过的知识和方法进行归纳、整理、深化和升华，让学生掌握基础知识的同时，在解题能力、数学思维等数学素养上产生质的飞跃.

相似三角形复习课的设计有很多种，可以先进行基础知识的复习，再进行例题解析，并对例题进行拓展演练.而在设计过程中，教师也会注意到“分类讨论”是相似三角形复习的一大难点，会在课堂中加以强调，以实现知识的突破.不过，以大量的、不同种类的例题或练习题的堆积来达到复习的目的，会让学生倍感压力，其呈现方式很容易程序化，毫无悬念.好的课堂教学，就应该像一段引人入胜的故事，情节紧凑，环环相扣，高潮迭起.本节课从以下两个方面入手，让课堂精彩纷呈的同时，使教学设计有了可操作性和可推广性.

1.以问题为基础，从生长到升华，线索清晰可操作

本节课中，通过问题串的设计突出基本图形的重要作用，使学生在问题解决的过程中感受图形的变化、延伸过程，体会分类讨论的重要性.教学设计中两条线索并行.

线索1：以含30°角的直角三角形材料贯穿始终.

由问题引出含30°角的直角三角形材料，并在此基础上设计各类问题，将丰富的相似三角形复习题，以及“分类讨论”题型串在一起，在分类思想的引导下，解决问题的同时完成相似三角形的各个判定与性质的复习，环环相扣，层层深入，巧妙高效.问题的呈现以活动为主，容易激发学生的学习兴趣，使课堂气氛活跃，并使学生在不知不觉中积累数学活动经验.

线索2：由浅入深地呈现不同形式的分类讨论.

初中阶段的分类讨论问题大多出现在几何问题中，而相似三角形又是很好的媒介，所以抓住机会，从无图到有图，从一个对象到两个对象，从静态到动态，将各种方式的分类一一展现给学生.授课过程中引导学生注重分类的必要性、分类的方法以及注意事项等，让学生对“分类讨论”有了准确的理解和掌握.

2.以知识为载体，以思想为指导，单元设计可推广

本节课将知识和思想方法融合组合成具有教学主线的小单元，进行思维深化和能力提升.这种单元教学既有助于学生建构牢固的知识结构，又能突出核心知识、普适方法和基本数学思想的内化与迁移.

无论是章节复习课还是中考总复习课，都需要用思想方法指引基础知识与基本技能的单元教学.例如，在等腰三角形复习课上实践分类讨论，在圆复习课上的实践分类讨论，在几何动态问题中应用分类讨论，等等.这样的教学倡导关注教学的本质和数学思想的渗透，发展学生的数学核心素养.同时，这样的教学对教师也提出了更高的要求，需要教师对数学知识和结构有较深的认识，并具备一定的教学实践能力和反思意识.

著名数学教育家米山国藏指出，学生对作为知识的数学出校门不到两年可能就忘记了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益.基于分类讨论的相似三角形复习课，在落实基础知识和基本技能的基础上，更加注重基本思想、基本活动经验的获得.而通过数学学习，学生能够应用数学思想解决现实生活中的实际问题，则是教育的根本意义所在.