◇信阳师范学院数学与统计学院 周学勇

分析师范类专业认证背景下常微分方程课程教学存在的问题，根据师范类专业认证理念以及数学与应用数学专业（师范类）培养目标，对微分方程课程的教学内容、教学方法、课程评价方式等方面的改革进行了探究。注重常微分方程与初等数学的融合、案例分析融入课程教学、“课程思政”融入课堂，采用线上线下混合式教学，改革对学生学习的评价方式，以提高师范生的综合素质，达到培养骨干教师的目标。

1 引言

2017年10月，教育部印发了《普通高等学校师范类专业认证实施办法（暂行）》，发布国家认证标准，分级分类开展师范类专业认证。师范类专业认证以“学生中心、产出导向、持续改进”为基本理念[1]。师范类专业认证（中学教育第二级）围绕“培养目标”“毕业要求”“课程与教学”“合作与实践”“师资队伍”“支持条件”“质量保障”“学生发展”等8个一级指标和39个二级指标开展。师范类专业认证对任课教师提出了新的要求[2]：要参与任教专业培养目标的制定，能够熟知专业培养目标与毕业要求；基于毕业要求，了解本专业课程设置和结构，熟练掌握课程目标对毕业要求的支撑关系；根据毕业要求设定自己所承担课程的课程目标及其对毕业要求的支撑；根据设定的课程目标，确立课程内容和教学环节；根据课程特点、课程目标、学情、教学内容等灵活设立有针对性的课程考核方式；在教学实施中，坚持过程性评价和结果性评价相统一且指向课程目标的达成；有具体可行的、基于课程评价的课程持续改进方案并实施等。

常微分方程是数学与应用数学专业（师范类）（以下简称数学师范专业）的必修课程，也是专业核心课程。常微分方程表述自然科学和社会科学中各种基本规律的根本工具之一，也是数学与实际问题建立联系的重要手段之一。根据常微分方程课程内容、在数学师范专业中的地位作用、培养目标、毕业要求与师范类专业认证理念、学生学情等要素，确定信阳师范学院数学师范专业常微分方程课程的课程目标。根据常微分方程课程内容、课程目标和信阳师范学院数学师范专业毕业要求指标点的内涵，确定课程目标对毕业要求指标点的对应支撑关系。

2 《常微分方程》课程教学中存在的问题

以学生发展为中心的认证标准要求要求教学模式要从以“教”为中心向以“学”为中心转变，要求遵循师范生成才成长规律，要求专业把培养目标和全体学生的毕业要求达成情况作为评价的核心。基于产出导向的教育（Outcome Based Education，英文缩写OBE）关注师范生“学到了什么”和“能做什么”。因此，在面向基础教育改革发展需求方面，数学师范生的人才培养需要按照数学师范专业毕业要求科学合理设置课程体系和教学内容，构建起全新的课堂教学模式。然而原来的常微分方程课程并不能满足这些要求，主要存在以下几个方面的问题。

2.1 课程教学内容没有考虑与中学数学教学内容的衔接

2020年版普通高中数学课程标准注重数学本质，提升数学素养，培养学生逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面数学核心素养[3]。培养中学生逻辑推理、数学建模等素养需要数学教师具备较强的逻辑推理能力、理性思考和问题解决能力等，这要求在数学师范生培养中要潜移默化地将数学核心素养融入课程教学。《常微分方程》课程在培养师范生的逻辑推理、数学建模等素养方面发挥重要作用。然而，目前数学师范专业《常微分方程》课程使用的教材和课堂教学中并未体现该特点，课程一开始就直接进入微分方程的定义教学，并没有把中学所学的代数方程的定义及其解决问题的方法作为切入点进行引入，与中学数学教学的脱节问题凸显。另外，教师在《常微分方程》课程授课过程中也没有注意课程内容与中学数学教学内容的衔接。

2.2 教学内容比较陈旧，教学模式相对单一

由于学时限制，在《常微分方程》教学中，教师过多重视一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程组的解法、一阶微分方程的解的存在定理和非线性微分方程稳定性等理论的教学，很少将常微分方程在自然科学和社会科学中应用的最新成果引入课堂，教学内容比较陈旧。在课堂教学中，大多数任课教师仍旧照本宣科，采用传统的填鸭式教学，学生对知识还是被动的接受者，而不是积极主动的学习者、思考者、探究者，这与师范类专业认证中的“学生中心”理念相违背。

2.3 课程考核和评价方式较单一

专业认证前，《常微分方程》课程虽然采用平时成绩（占30%）+期末考试成绩（占70%）的方式进行评价，但是平时成绩占比较少，仅采用作业、考勤等方式，方式单一，不注重“学生中心、产出导向”，轻视过程性考核。试卷分析仅针对考试情况进行分析，缺少课程目标达成情况分析。另外，为了开展师范专业认证工作，认证前专业对课程教学大纲进行了重新修订。但是新修订的课程大纲在实施中，课程体系合理性和课程目标达成度的定期评价方面尚未开展起来，有的评价中虽然有学生的参与，但学生的主体性发挥并不到位，评价与修订过程利益相关方参与不够，影响课程评价的效果。

3 常微分方程教学改革与实践

以信阳师范学院数学师范专业《常微分方程》课程为具体实施对象，以师范类专业认证理念为抓手来推动数学师范专业课堂教学改革，将师范类专业认证理念和标准落实到日常教学活动中，不断改进教学内容及教学方法，持续提高课堂教学质量，培养师范生的逻辑推理、数学建模等素养，具体教学改革措施如下。

3.1 教学内容注重与中学数学的融合，体现与师范认证要求的统一

方程是中学数学中最重要的内容，包括代数方程（整式方程、分式方程和根式方程）、函数方程等。常微分方程也是方程，是代数方程、函数方程的自然引伸和发展。它与代数方程、函数方程联系密切，传承了中学代数方程的一些本质特征，在研究内容、方法上有许多相似之处。但同时它们之间又存在着许多本质上的差异。在《常微分方程》课程教学过程中，应当紧紧地抓住这个特点，从提出问题、分析问题、解决问题、归纳问题等方面始终注意与中学数学中的方程进行联系和比较。

例如水池注水问题：一个水池，装有一个进水管和一个放水管。单开进水管3小时可将空水池注满，单开放水管4小时可将水池排空。现两管同时放、进水，问多少小时才能把水池注满？

我们可以利用初等数学思想和微分方程思想分别对该问题进行解答。

微分方程思想解法：实际上，进水量可以是衡定的，而排水量会随水位下降不断减少。首先给出模型假设：注水速度是匀速的、水从池底大小一定的出水孔流出。设水池高度为水位高度为，则可建立如下微分方程：

利用微分方程解决水池注水问题不仅能直接解答特殊问题，还能通过对一般问题的解决最终解释事物的本质，加强了学生对代数方程和常微分方程间的内在联系的认识。

用常微分方程定义初等函数能比较直接地反映出该函数所描述的运动过程的某种本质属性。如一阶微分方程初值问题的解定义指数函数可以从整体上揭示出指数函数反映的是物质运动的位移在时刻的变化率与该时刻的量成正比的变化规律。这比中学数学教材中的指数函数的定义更具有优越性，也建立了中学数学与常微分方程的联系，促进了数学师范生学习数学的兴趣。

3.2 案例分析融入课程教学，培养师范生合作交流与实践动手能力

在传统教学中，我们往往注重微分方程（组）的解法、解的存唯一性定理、解的延拓定理等理论部分的教学，而微分方程在实际生活中的应用鲜有涉足。这使得课堂枯燥、无趣，让学生觉得理论知识与实际相距甚远，从而挫败了学生的学习积极性。我们知道，常微分方程在生物、物理、化学、医学、经济学等领域都有着广泛的应用。将教材中经典的“探照灯镜面形状问题”“降落伞下降问题”“人造卫星发射速度问题”[4]以及热点的“传染病传播”“生态-流行病”“化学反应”“经济”等问题作为案例，培养学生的数学建模思想。课后，让学生建立相关常微分方程模型并利用数学软件求解微分方程来解决实际问题，培养师范生的合作交流与实践动手能力，培养师范生从数学的角度描述社会和自然现象能力，体会数学的奥秘。

3.3 思政元素融入专业教学课堂，培养师范生的教育情怀

《常微分方程》课程中蕴含大量思政元素，为培养师范生的教育情怀，建议教师深挖课程中的“思政元素”，将课程中丰富的思政元素与课程内容有机融合。例如，在绪论中讲解微分方程的产生和发展史，教育学生要有科学探索，勇于钻研的奋进。通过讲解牛顿、莱布尼兹、伯努利、黎卡提等科学家的故事，培养学生的数学情感、端正学习态度和树立正确的数学价值观。在讲绪论和第六章时，笔者引入新冠肺炎传播的微分方程模型[5]。介绍该模型的动力学性质和在疫情防控方面的作用，让学生领略微分方程建模在新冠肺炎疫情防控中的作用，激发学生的学习兴趣。

3.4 以学生发展为中心，开展线上线下混合式教学

线上线下混合式教学模式是利用现代信息技术把传统课堂教学的优势和网络在线教学的优势结合起来的教学方法。为了从时间和空间上延展教学，发挥学生学习自主性，实现以学生发展为中心的目标，常微分方程课程构建了“两角色（教师、学生）三阶段（课前、课中、课后）”的线上线下混合式教学模式。

（1）课前准备阶段。利用超星学习通平台建设课程，为学生自主学习提供重要的途径。开课前做好常微分方程课程整体设计，在学习通课程平台上搭建课程整体框架。选用北京师范大学袁荣的《常微分方程》MOOC视频或录制的视频作为线上资源。每次上课前，提前两周将课件、课程视频、电子教材、讨论问题等上传到平台，将学习任务及讨论的问题提前发给学生。学生带着问题自主观看学习视频，并分组讨论线上学习所产生的问题，培养自主学习能力。

（2）课堂教学阶段。课堂教学采用线下授课，教师重点讲解学生前期观看课程视频时遇到的问题及相应的知识点，采用随机提问、分组讨论、学生上台讲解等方式，实施“问题解决式”的翻转教学模式，锻炼学生课堂教学能力。

（3）课后提升阶段。课堂教学结束后，教师在学习通发布作业，限定同学提交作业时间，并在同学提交后认真批改，通过批改作业，能掌握学生们对课堂知识的理解程度。在讨论区发布优秀同学作业，方便同学参照修改。同时主题讨论完区发布问题，同学们有问题也可以在问答区提问，教师进行在线答疑。

3.5 建立促进学生全面发展的学业评价体系，持续改进教学

积极探索课程考试方式改革，在考试内容和形式上努力做到与课程“高阶性”“创新性”和“挑战度”相匹配，强化“结果”+“过程”多元性评价与“个体”+“小组”过程性评价相结合，实施全过程学业评价考核（见图1）。线上线下各类测试有区分度、难易适度，能科学考评学生自主学习与个性化学习效果，同时将学生的学习行为规范纳入到平时考核中，引导学生诚实自主学习。

（1）“结果”+“过程”多元性评价。综合评价由“结果性评价”和“过程性评价”组成。将个体、小组和教师融为一体，充分体现评价主体的多元化，提高学生学习积极性，具体组成如图1所示。

图1 《常微分方程》课程评价考核方式

（2）“个体”+“小组”过程性评价。过程性评价由“个体”+“小组”评价相结合。在观看视频、章节检测、作业及作业互评等进行“个体”单独评价。在主题讨论、小组研课、数学建模、课堂互动进行“小组”整体评价，将小组成员融为一体，互助学习，提高学习积极性。

4 结束语

本文以数学与应用数学专业（师范类）的专业基础课常微分方程为例，分析了《常微分方程》课程教学存在的问题，基于师范类专业认证，在常微分方程与初等数学的融合、案例分析融入课程教学、“课程思政”融入课堂、线上线下混合式教学、学生学习的评价方式等方面对《常微分方程》课程教学进行改革。希望通过教学改革增强学生的学习积极性，改善教学效果，提高师范生的综合素质，达到培养“四有”好教师的目的。