⦿新疆塔城市塔城地区第一高级中学 孙金霞

1 引言

概率统计中的开放性问题，是一类借助数学思维来科学决策现实生活中的应用创新问题．此类开放性问题，从现实生活中加以抽象与概括，形成数据信息，结合大数据，借助数据所对应的图表或数据所确定的数学要素，从数学角度进行科学创新与判断，为决策提供理论支持．

2 与统计相关的开放性问题

例1在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手甲、乙打分，结果如下(用小组A、小组B分别代表两个打分组)：

小组A：

甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5

乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5

小组B：

甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0

乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.0

(1)选择一个可以度量打分的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组A与小组B哪个更专业；

(2)根据(1)的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；

(3)如果用专业评委打分的数据，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8名评委评分的平均分，那么这两位选手的最后得分是多少?若直接用10名专业评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名会有变化吗?你认为哪种评分办法更好(只判断不说明)?(以上计算结果保留两位小数.)

分析：(1)根据题目条件，分别计算各组数据的平均分与方差，利用计算结果，在平均分均差0.01的情况下分析方差的差距大小来分析与判断小组A的打分更专业；(2)结合(1)的计算结果，得到专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；(3)通过专业评委的数据，去掉一个最高分和一个最低分后计算参赛选手甲、乙的平均分，并结合(2)中的数据情况加以分析并作出自己的判断．

由以上数据可得，在平均分均差0.01的情况下，小组B的打分方差差距较大，所以小组A的打分更专业.

(3)由专业评委的数据，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙的平均分分别为

去掉一个最低分和一个最高分之后，乙的平均分高于甲.

若按照10个数据计算，则甲的平均分高于乙，因此排名有所变化.

故去掉一个最低分和一个最高分的评分方法更好．

点评：借助统计的相关知识来科学决策现实生活中的开放性问题，关键是借助统计中的图表信息、数据信息等，通过图表直观数形结合、数据样本数学运算，结合不同的实际问题，合理比较，科学决策．

3 与概率有关的开放性问题

例2甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8 000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p(0

分析：(1)根据题目条件，由甲乙输赢的情况确定甲获得奖金的可能取值，求出其对应的概率，列出分布列即可；(2)设比赛继续进行Y场乙赢得全部奖金，则最后一场必然乙赢，分Y=3，Y=4，求出其对应的概率，得到乙赢得全部奖金的概率，然后利用导数求解最值即可得到答案．

解析：(1)5场比赛中甲、乙的输赢有甲嬴4场、乙赢1场，甲赢3场、乙嬴2场，甲赢2场、乙赢3场，甲赢1场、乙赢4场四种情况：

设甲可能获得的奖金为X元，则X的所有可能取值为8 000，6 000，2 000，0.

所以，甲获得奖金数的分布列如表1所示.

表1 甲获得奖金的分布列

(2)设比赛继续进行Y场乙赢得全部奖金，则最后1场必然乙赢，Y的所有可能取值为3，4.

当Y=3时，乙以4∶2赢得比赛，P(Y=3)=(1-p)3；

所以，乙赢得全部奖金的概率为

P=(1-p)3+3p(1-p)3=(1+3p)(1-p)3.

设函数f(p)=(1+3p)(1-p)3，则求导可得f′(p)=-12p(1-p)2.

故事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件.

所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金．

点评：借助概率相关知识来科学决策现实生活中的开放性问题，关键是根据不同事件的概率的求解，通过数学运算与数据对比，利用概率的现实意义以及概率大小的分析比较，综合现实实际问题对概率大小的需求差异，合理判断，科学决策．

4 结论

关于概率统计中的开放性问题，一般要做到：一是用数据说话，即要有相应的数据支撑，在陈述数据时，要计算事件发生的概率或者计算样本数据的均值等，不能只说结论；二是表达要到位，理由陈述不要偏离主旨，要正确看待小概率事件发生的情况，不要从抽样数据太少、实验次数太少等样本出发．借助概率统计知识来解决日常生活、社会活动和经济活动中的开放性应用问题，增强创新意识，学以致用，要用数据说话，进行科学决策，体现创新应用精神，提升数学能力，培养数学核心素养．