⦿中央民族大学附属中学呼和浩特分校 李雪峰

1 试题呈现

(2022年高考数学全国乙卷第21题)已知函数f(x)=ln (1+x)+axe-x.

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围.

2 试题解析

本题的第(1)问不多赘述，下面给出第(2)问的几种不同的思考角度和解题方法.

2.1 思路一及解法

2.1.1 解题思路一的形成

因为题中所给条件是函数零点问题，所以我们先观察函数值的正负情况以及何时为零.

当a≥0时，若x>0,则f(x)=ln (1+x)+axe-x>0恒成立,与题意不符.因此，下面只讨论a<0时的情形.

通过观察易知f(0)=0，当x→-1时，f(x)→-∞；当x→+∞时，f(x)→+∞.要使f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，则可以猜测f(x)的图象大致如图1所示.

图1

由图1可知，f′(0)=a+1<0显然为其必要条件，即a<-1.下面需要说明：①当a≥-1时，不符合题意；② 当a<-1时，讨论函数f(x)的单调性，再根据零点存在定理说明在区间 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一个零点.

思路一的思维导图如图2所示.

图2

2.1.2 具体解法

设g(x)=ex+a(1-x2).

当-1≤a<0时，在区间(0,+∞)上，有

g(x)=ex+a(1-x2)=(ex+a)-ax2>0.

所以，在区间(0,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，则f(x)>f(0)=0，这与题意不符.

当a<-1时，g′(x)=ex-2ax，因为g″(x)=ex-2a>0，所以g′(x)在区间(-1,+∞)上单调递增.

又因为g′(-1)=e-1+2a<0,g′(0)=1>0,所以存在唯一x0∈(-1,0)，使g′(x0)=0.

因此，当x∈(-1,x0)时，g′(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(x0，+∞)时，g′(x)>0,g(x)单调递增.

(为直观起见，下面分别画出函数g′(x),g(x),f(x)的大致图象，如图3～5所示.)

图3

图4

图5

当x∈(-1,x1)时，g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(x1,x2)时，g(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(x2,+∞)时，g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增.同时可知f(x1)>f(0)=0,f(x2)

(至此，利用隐零点求出了函数f(x)的单调区间.下面利用放缩法进行区间卡根，根据零点存在定理说明在区间 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一个零点.)

当-1-e(证明略)，所以

f(x)=ln (1+x)+axe-x

由ln (x+1)-ea<0,得x

所以，当a<-1时，函数f(x)区间 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一个零点.

综上所述，a的取值范围是(-∞,-1).

解法2:当a≥0时，在区间(0,+∞)上，f(x)=ln (1+x)+axe-x>0,与题意不符.下面只讨论a<0时的情形.

(为直观起见，给出g(x)的图象，如图6所示.)

图6

(为直观起见，给出g(x),f(x)的图象，如图7.)

下面找点说明f(x) 在区间 (-1,0),(0,+∞) 上有零点.

由ln (1+x)-ae=0，解得x=eea-1.所以可得

f(eae-1)

所以f(x) 在区间 (-1,0),(0,+∞) 上各恰有一个零点.

综上所述，a的取值范围是(-∞,-1).

点评：解法1和解法2的基本思路一样，都是按照一定的标准对参数a进行分类讨论，然后借助隐零点将函数的定义域分成若干个单调区间，最后在每个单调区间上卡根，根据零点存在定理说明函数零点的情况.

解法2在求导后将导函数等价变形，使再求导后只需解一个不含参的二次不等式，简化了运算.

解题一般是按照由易到难的顺序进行思考，即先观察、猜想，再分析、思辨，最后论证、求解.题目越复杂越要注意细节，细节往往是打通解题思路的关键.

2.2 思路二及解法

2.2.1 解题思路二的形成

函数零点的问题往往可以转化为两个函数图象交点问题，因此该题可以考虑参变分离，将函数零点的问题转化为直线与另一个函数图象交点问题，同时还可以避免参数讨论带来的麻烦.

思路二的思维导图，如图8所示.

图8

2.2.2 具体解法

解法3:因为f(0)=0,所以f(x)=0等价于

令g(x)=(x2-1)ln (1+x)+x，则

g′(x)=x[1+2ln (1+x)].

(注意到g(0)=0，所以先讨论g(x)在x>0时的正负情况.)

当x>0时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，g(x)>g(0)=0，从而当x>0时，F′(x)>0，F(x)在(0,+∞)单调递增.

由导数定义，得

=1.

(为直观起见，下面给出F(x)的图象.)

图9

如图9所示，要使直线y=a与F(x)图象在y轴右侧恰有一个交点，则必然有-a>1，即a<-1.

(为直观起见，给出g(x)，F(x)的图象，如图10.)

综上所述，当a<-1时，f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点.

点评:解法3的好处在于对F(x)求导后避免了参数的讨论；难点在于当x趋于0时F(x)的极限值不易求出，虽然可用洛必达法则，但是超出了高中所学.该解法绕开了洛必达法则，利用导数的定义求出F(x)在x=0处的极限，比较巧妙，不易想到.

3 试题链接

下面给出两道高考真题，供读者练习.

试题1(2017年全国Ⅰ卷理科)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

试题2(2018年全国Ⅱ卷理科)已知函数f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a.

4 总结

函数零点问题是高考的常考内容，数形并用、合理分类是解题的关键.区间探点是一个难点，常常可以用放缩法解决.上述方法都是解决此类问题的典型方法，由于方法3中的极限值不易求出，考试中绝大多数考生选择了方法1和方法2.

该题对学生的逻辑推理能力和运算能力要求较高，解题时要求学生注意细节、大胆猜想、合理分类、准确计算，这样才能将问题顺利解决.