⦿海南省昌江黎族自治县昌江中学 廖明艳 林瑞记 ⦿浙江杭州优才教育科技有限公司 李红庆

1 高考试题呈现

(2022年全国新高考数学Ⅱ卷第22题)已知函数f(x)=xeax-ex.

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；

此题第(1)问难度较小易求解.笔者重点阐述第(2)(3)问的解题方法与逻辑分析.这两问考查学生证明不等式的综合能力，证明过程中会用到相关函数的性质，甚至需要学生自行构造新的函数，再推导题目中的不等式成立.

2 第(2)问的解法探析

针对第(2)问，具体解答思考过程的思维导图如图1所示：

图1

解法1:探求充分性，证明必要性.

设φ(x)=ax+1-e(1-a)x，则有φ(0)=0，φ′(x)=a-(1-a)e(1-a)x.

(iii)当a≥1时，存在x0=1，使得h(1)=ea-e+1>0，也不符合题意.

令φ(x)=(x-2)ex+x+2，则φ′(x)=(x-1)·ex+1，从而φ″(x)=xex>0，故φ′(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以，当x>0时，φ′(x)>φ′(0)=0，即φ(x)在(0,+∞)上单调递增，则φ(x)>φ(0)=0，即h′(x)>0，从而h(x)在(0,+∞)上单调递增.

因此，当x>0时，h(x)>h(0)=0.

(iii)当a≥1时，存在x0=1，使得h(x0)=ln(e-1)-ln 1-a<0，不符合题意.

解法3：令t=ex>1，则x=lnt.当x>0时，f(x)<-1等价于当t>1时，f(lnt)<-1.

设h(t)=talnt-t+1<0.注意到h(1)=0，下面探求充分性.

(iii)当a≥1时，由t>1易知h′(t)>0，所以h(t)在(1,+∞)上单调递增，故存在t>1，使得h(t)>h(1)=0.

3 第(3)问的解法探析

针对第(3)问通过对不等式的整理与变换，将证明不等式恒成立的问题转化为两个数列求和比较的问题.具体解答思考过程的思维导图如图2所示：

图2

方法一：巧用赋值，化繁为简.

故所证不等式成立.

方法二：应用换元的方法，将问题简化求解.

综上可知，所证不等式恒成立.证毕.

方法三：应用对数均值不等式切入巧解秒杀.

故原不等式得证.

2022年的全国新高考数学试卷突破了模拟试题的套路，试题呈现方式与解法都有创新.广大数学教师要真正聚焦课堂教学，让行之有效的学法、教法落实到位，继续加强对命题及解题方法与策略的研究.