王伟民 辛存良

（1.安徽省太和县宫集镇中心学校，安徽 阜阳 236652；2.山东省阳谷县西湖中学，山东 聊城 252311）

漂浮于液面的物体，施加外力将其按入液体中时，物体浸入液体的过程中，浮力不断增加，确定这一过程中外力对物体所做的功，就涉及到变力做功问题.

1 浮力是外力作用点移动距离的线性函数

例1.（2020年江苏省昆山市普通高中自主招生物理卷第14题）如图1所示，一个高为20 cm，横截面积为100 cm2的长方体木块漂浮在盛水的杯内，杯内水的深度恰好为20 cm.已知杯子的底面积为200 cm2，水的密度为1.0×103kg／m3，木块的密度为0.5×103kg／m3，现在用外力将木块按入杯底，则外力所做的功至少为________J.

图1

解析：漂浮的木块原来有部分体积露出水面，将木块按入杯底的过程可分为2个阶段：第1阶段是木块没入水中的过程，在这一过程中，施加于木块上竖直向下的外力是变力，外力随木块没入水中体积的增大而增加，因此，这一阶段外力做功属于变力做功问题；第2阶段是没入水中之后木块在外力作用下运动至杯底的过程，属于恒力做功问题.因为木块的横截面积是容器横截面积的一半，所以，木块没入水中的过程中，木块下降的高度与容器中的水面升高的高度相同，没入水中的过程木块位置的变化及水面高度的变化情况分别如图2（甲）（乙）所示.根据题目所给条件，第2阶段外力做功的求解不存在难点，外力及木块在外力作用下运动的距离都容易确定，这道题目的难点是第1阶段变力做功的求解.由于容器和木块都是柱体，所以，第1阶段木块没入水中的过程中，竖直向下的外力是压下距离的线性函数，因此，可以用平均力与木块压下距离的乘积作为变力做功的大小，而平均力等于最小压力（刚开始下压时的状况，压力为0）与最大压力（即木块刚好全部浸没时需要施加的压力，大小等于浸没的木块所受水的浮力与木块重力之差）的平均值.另外，第1阶段的变力做功，也可以根据系统机械能的变化进行确定，即木块没入水中的过程，外力（变力）做的功，等于水重力势能的增量与木块重力势能减少量之差.

图2

2 浮力不是外力作用点移动距离的线性函数

那么，木块的形状改变之后，还可以采取这样的方法求解吗？

例2.如图3所示，一个半径为12 cm的木球漂浮在盛水的圆柱形杯内，杯内水的深度足够大.已知杯子的底面半径为16 cm，水的密度为1.0×103kg／m3，木块的密度为0.5×103kg／m3，现在用外力将木球按入水中，则从木球原来的漂浮状态压至木球刚好完全浸没时，外力所做的功至少为________J（取g＝10 N／kg，结果保留π）.

图3

解析：与例1给出的条件相比，木块的形状由原来的长方体变为现在的球体，题目只求木球由原来的漂浮状况到压入水中的过程中外力所做的功.跟例1不同，漂浮的球体受压没入水中的过程，虽然仍然是变力做功，但球体在受力下压的过程中，压力不是球体下移距离的线性函数，所以，球体没入水中的过程中平均压力（即压力相对压下距离的平均值）的大小不再等于最大压力与最小压力的平均值，因此，继续采用平均压力与压下距离乘积的方法确定变力做功的大小比较困难.我们不妨改换一下思路进行求解.为便于后面的分析，有必要先确定质量分布均匀的半球的质心位置.

如图4所示，设半球过球心O的截面为EF，半球的半径为r，半球材料的密度为ρ，BC是平行于EF的任意截面，设球心O到平面BC的距离为OD＝x，则，自D往下取一片厚度为微元dx的均等薄片，设半球的质心到O点的距离为H，则有

图4

由于木球的密度是水密度的一半，所以，漂浮的木球静止时恰好有一半的体积露出水面.考虑到球体的对称性，将漂浮木球上面的半球绕其水平直径翻折180°（注：只翻折上面的半球，下面的半球保持不动），使其跟下面的半球重合，翻折情形如图5（甲）（乙）所示.图5（甲）是木球原来漂浮的情形，图5（乙）是上面的半球翻折之后与下面半球重合的状况.这样，翻折之后所形成新的半球密度与水的密度相同，将新的半球下移适当的距离至图5（丙）所示的状况.由于新的半球与水的密度相同，所以，新半球下移过程中无需外力做功.在图5（丙）状况下，将新半球重新分开为两个密度都是0.5×103kg／m3的半球，并将其中的一个绕其水平直径翻折180°（这相当于新半球又恢复到先前完整球的状况），如图5（丁）所示.浸没在水中的新半球球心位置保持不动，其形状恢复原状时，体积要增加到新半球体积的2倍，所以，跟图5（丙）所示的状况相比，水面会上升.由图5（乙）变化到图5（丙）所示状况的过程中，只要半球下移的距离合适，一定可以使得新半球由图5（丙）恢复到先前完整球时，球与水面相切［即图5（丁）所示］的状况.显然，直接将图5（甲）和图5（丁）两种状况相比，相当于原来漂浮的木球下压至刚好完全浸没的情形.

图5

由图5（甲）翻折至图5（乙）的过程中，容器中水的重力势能不变，球的重力势能减小，球重力势能的减少量等于半球的重力与半球重心下降高度的乘积.

从图5（丙）到图5（丁）的过程，木球的重力势能和容器中水的重力势能都增加，其中木球重力势能的增加量与图5（甲）翻折至图5（乙）的过程中木球重力势能的减少量相同，所以，确定木球压入水中的过程外力做功的结果，可以不考虑球重力势能的变化量，仅考虑由图5（丙）到图5（丁）的过程中容器中水的重力势能的增量即可.

过图5（丙）和图5（丁）的球心作一水平线EH.两图比较可以发现，在水平面EH下方，（丙）、（丁）两容器内水的重力势能相同，因此，为解决问题，我们只需确定该水平线上方图（丁）与图（丙）情形，内部水重力势能的增量即可.

与图5（丙）相比，图5（丁）中水面的升高量Δh为

可得图5（丙）半球上面柱形水柱的高度为

所以，将图3所示漂浮的木球按入水中至刚好浸没时，外力做的功等于图5（丙）、（丁）相比容器中水重力势能的增量，即

例3.如图6所示，底面半径为R的圆柱形容器内盛有密度为ρ水的水，水的深度足够大，水面上漂浮一个半径为r的木球，静止时木球上的最高点到水面的距离为h，现在对木球施加竖直向下的压力将木球缓慢压入水中，当压至木球刚好完全浸没在水中时，求外力对木球所做的功.

图6

解析：例2设置的物理情境是一种特殊情况——木球密度恰为水密度的一半，所以，我们采用了一种非常巧妙的方法对问题进行求解，即采用将漂浮于水面木球的上半球翻折后跟下半球重合的方法进行解析.能够发现，与例2相比，例3给出的相关物理量不再是具体的数据，所以，对应的物理情境就由例2的特例推广至一般情形了，漂浮于水面的木球静止时浸入水中的部分只能说是球缺，未必是半球.那么，对于一般情形下的这个物理问题，我们还可以采用类似方法求解吗？

为便于分析，我们有必要先确定质量分布均匀的球缺的质心位置与球缺半径和球缺高度之间的定量关系.

图7

当h＝2r时，球缺“演变”为球体，.这刚好是球体的质心到球面的距离.这两个特例也间接说明笔者推出的球缺质心公式的正确性.

木球漂浮于水面的情形如图8（甲）所示，将水面上方的球缺切割掉之后，让其均匀地分布于下面球缺所占有的空间（注：这与求解例2给出的问题时，将半球翻折的效果是一样的，当然，例2也可以采用这个思想来求解），成为如图8（乙）所示情形，则该上表面与水面平齐新球缺的密度与水的密度相同.将这个密度与水密度相同的球缺在水中向下平移合适的距离，至如图8（丙）所示情形，则这一平移的过程无需外力做功.将图8（丙）所示的新球缺进行形变，形变为最低点位置不动，外形恢复为原来形状的球体，如图8（丁）所示，只要由图8（乙）平移至图8（丙）的过程中平移的距离合适，就可以使得由图8（丙）的球缺形变恢复原球之后，容器中水的上表面与球相切.

图8

在图8（丙）和图8（丁）中，过下面球缺的平面作水平线EH，则（丙）、（丁）两容器该水平线下方水的质量相等，水质心的位置等高，所以，这两部分水的重力势能相等.设图（丁）容器水平线GH上方除去球缺后那部分水的质心为M，GH上方的球缺所占有的空间换成水时水球缺的质心为N.因为由（丙）变化为（丁）的过程中球体的重力势能的增加量，与由图（甲）变化到（乙）的过程球重力势能的减少量相等，所以，由图（甲）分别经过图（乙）和图（丙）最终到图（丁）的整个过程中，外力所做的功，等于图（丁）（丙）两图所示情形相比容器中水重力势能的增量.若仅将（甲）（丁）两图所示情形相比，就相当于在外力作用下球被压入水中的过程，所以，球压入水中的过程压力所做的功等于（丙）（丁）两图所示的两容器中水平线EH之上水的重力势能之差.与图（丙）容器所示情形相比，图（丁）容器内水面上升的高度为

而GH上方水球缺质心到GH的距离为

图（丙）EF上方柱形水柱的质心到EF的距离为

所以，将漂浮的球按到球刚好浸没时外力对球做的功为

对于该表达式，当h＝r时，有

而当h＝r时球缺“演变”为半球，上面结果恰为例2最终推理出的将漂浮于水面的体积露出一半的木球按入到刚好浸没时外力所做的功，这也间接说明对于例3我们推理结果的正确性.