刘登峰,潘 飚

(福建师范大学数学与统计学院,福建 福州 350117)

1 引言

本文中的亚纯函数均指复平面上的亚纯函数.设f是非常数亚纯函数,采用亚纯函数唯一性理论中的一些基本记号和结论[1-2],如T(r,f),N(r,f),N(r,f),m(r,f)等.令S(r,f)表示任意满足S(r,f)=o{T(r,f)}(r→+∞,r∈/E)的量,其中E是一个有穷线性测度的集合,S(r,f)每次出现时E可能不相同.若对亚纯函数a,有T(r,a)=S(r,f),则称a为f的一个小函数.表示f的零点的计数函数,其中当f的零点重数m≤k时,计m次;当m＞k时,计k次.表示f-a的零点重数m≤k的计数函数,表示f-a的零点重数m≥k的计数函数.

下面我们介绍由Lahiri I[3-4]引进的权分担记号.

定义1.1设f,g是两个非常数亚纯函数,a∈C∪{∞},k为一正整数或∞.Ek(a,f)表示f-a的所有零点,若零点重数m≤k时,计m次;若m＞k时,计k+1次.若Ek(a,f)=Ek(a,g),则称f和g以权k分担a.

这里记f和g分担(a,k)表示f和g以权k分担a.显然若f和g分担(a,k),那么对任意的p(0≤p＜k),p为整数,都有f和g分担(a,p),同时,当且仅当f和g分担(a,0)(或(a,∞))时,f和g分担aIM(或aCM).

设S是一个复数集合,f和g是两个非常数亚纯函数,定义

若Ef(S,k)=Eg(S,k),则称f和g以权k分担集合S,若Ef(S,∞)=Eg(S,∞),则称S为f和g的CM公共值集;若Ef(S,0)=Eg(S,0),则称S为f和g的IM公共值集.显然.

在亚纯函数值分布理论中,一个著名的问题是1959年由Hayman W K[5]提出的,即设f是复平面上超越亚纯函数,n为正整数,则fnf′取可能为零以外的任意复数无穷多次.上述问题直到1995年才被陈怀惠和方明亮[6],Zalcman L[7]分别证得.针对上述著名的Hayman问题,杨重骏与华歆厚[8]研究了微分单项式的唯一性并获得了下述定理.

定理1.1[8]设f,g是两个非常数整函数(亚纯函数),n＞6(n＞11)是正整数,若fnf′与gng′分担1 CM,则或者f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常数,且满足(c1c2)n+1c2=-1,或者f(z)≡tg(z)且满足tn+1=1.

近20年来,许多复分析学者对微分多项式的唯一性问题开始了广泛的研究并获得了丰富的成果,详见文献[9–13].注意到,,进而方明亮[9]考虑了定理1.1中k阶导数的情形并获得了下述结果.

定理1.2[9]设f,g是两个非常数整函数,n,k均为正整数且满足n＞2k+4,若(fn)(k)与(gn)(k)分担1 CM,则或者f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常数,且满足(-1)k(c1c2)n(nc)2k=1,或者f(z)≡tg(z)且满足tn=1.

定理1.3[9]设f,g是两个非常数整函数,n,k均为正整数且满足n＞2k+8,若(fn(f-1))(k)与(gn(g-1))(k)分担1 CM,则f(z)≡g(z).

2008年,张晓宇等人[10]进一步将定理1.3中的(fn(f-1))(k)推广到(fnP(f))(k),其中P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0为m次非零多项式,得到了如下结果.

定理1.4[10]设f,g是两个非常数整函数,n,k,m均为正整数且满足n＞3m+2k+5,P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0或P(z)≡c0,其中a0/0,a1,···,am-1,am0,c00为常数,若(fn(P(f)))(k)与(gn(P(g)))(k)分担1 CM,则

(I)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0,则下述情况之一成立:

(I.i)f(z)≡tg(z),其中t为非零常数且满足td=1,d=GCD(n+m,···,n+mi,···,n),且存在一个i∈{0,1,···,m},使得am-i0;

(I.ii)R(f,g)≡0,其中

(II)若P(z)≡c0,则下述情况之一成立:

(II.i)f(z)≡tg(z),其中t为非零常数且满足tn=1;

近年来,一些学者考虑了上述微分多项式中当分担值a替换为集合S时,其中S={a∈C:as=1},是否还能获得上述定理中f与g类似的关系.2018年,An V H等人[11]考虑了(fn)(k)与(gn)(k)CM分担S的情况,得到了下述结果.

定理1.5[11]设f,g是非常数亚纯函数,n,k,s均为正整数且满足,s≥2,S={a∈C:as=1},若E(fn)(k)(S,∞)=E(gn)(k)(S,∞),则下述情况之一成立:

(i)f(z)≡tg(z),其中t为非零常数且满足tns=1,t∈C;

(ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常数,且满足(-1)ks(c1c2)ns(nc)2ks=1.

2020年,Chao M等人[12]考虑了(fn)(k)与(gn)(k)IM分担集合S与权1分担集合S的情况,得到了下述定理.

定理1.6[12]设f,g是非常数亚纯函数,n,k,s均为正整数且满足,s≥2,S={a∈C:as=1},若,则定理1.5的结论成立.

定理1.7[12]设f,g是非常数亚纯函数,n,k,s均为正整数且满足,s≥2,S={a∈C:as=1},若E(fn)(k)(S,0)=E(gn)(k)(S,0),则定理1.5的结论成立.

为了寻求这个方向上更多的结果,本文结合多项式加权和的概念进一步探讨将定理1.5,定理1.6以及定理1.7中(fn)(k)替换为(fn(P(f))(k)时的情形,为了方便本文的叙述,我们引入下述定义.

定义1.2设P(z)=amzm+···+a1z+a0为m次非零多项式,其中v(1≤v≤m)个不同的零点分别记为d1,d2,···,dv,相对应的零点重数分别记为p1,p2,···,pv且满足p1≤p2≤···≤pv.令

当t为P(z)重数不超过k的零点个数(不计重数)时,则

且由定义可知0≤γ≤m.特别地,当时有γ=0.

结合加权和的定义,本文得到了下述定理,定理中的P(z)相关符号与定义1.2中的符号含义一致,下文中不再一一叙述.

定理1.8设f,g是非常数亚纯函数,n,k,s均为正整数,s≥2,P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0或P(z)≡c0,其中a0/0,a1,···,am-1,am/0,c0/0为常数,P(z)中相关符号如定义1.2所设,S={a∈C:as=1},若E(fnP(f))(k)(S,k)=E(gnP(g))(k)(S,k),则

(I)当k=0时,

(I.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且满足,则下述情况之一成立:

(I.i.i)f(z)≡tg(z),其中t为常数且满足tsd=1,d=GCD(n+m,···,n+m-i,···,n);

(I.i.ii)R(f,g)≡0,其中

(I.i.iii)(fnP(f))(k)(gnP(g))(k)≡h,其中hs=1.

(I.ii)若P(z)≡c0且满足,则下述情况之一成立:

(I.ii.i)f(z)≡tg(z),其中t为非零常数且满足tns=1;

(I.ii.ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常数且满足

(II)当k=1时,

(II.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且满足,则(I.i)的结论成立;

(II.ii)若P(z)≡c0且满足,则(I.ii)的结论成立.(III)当k≥2时,

(III.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且满足,则(I.i)的结论成立;

(III.ii)若P(z)≡c0且满足,则(I.ii)的结论成立.

备注1.1特别地,当P(z)≡c0时,由定理1.8可得到定理1.5–1.7,因此定理1.8推广了定理1.5–1.7.

2 相关引理

3 定理的证明