王艺超，王 振，魏 玲,3，任睿思

(1.西北大学 数学学院，陕西 西安 710127；2.西北大学 概念、认知与智能研究中心，陕西 西安 710127；3.闽南师范大学 数学与统计学院，福建 漳州 363000)

冲突普遍存在于人类的社会生活中,而冲突分析则是利用已有冲突信息,建立相应模型,进而对冲突过程进行分析,使决策者能够充分了解冲突并做出决策。由于冲突本身丰富的语义，学者们常常将冲突分析与其他理论相结合来展开研究,主要涉及粗糙集[1-8]、三支决策[7-21]、模糊集[18-22]、形式概念分析[23-25]等。其中,结合粗糙集理论,Pawlak[2]首次给出了冲突分析的具体模型,该模型用-1、0、+1分别表示代理人关于议题所持的3种态度:反对、中立、赞同,并利用辅助函数表示代理人之间的关系,从而研究如何制定合理的策略以达到平衡状态。Lang等[8]则是在概率粗糙集的基础上定义了概率冲突集、概率中立集和概率联盟集,并给出了冲突分析中阈值的确定方法。

为解决Pawlak冲突分析模型存在的问题及进一步给出冲突的语义解释,Yao[12]结合三支决策,提出了三支冲突分析模型。该模型采用距离函数衡量代理人之间冲突的大小,并将Pawlak冲突分析模型中反对、中立、赞同的赋值域{-1,0,+1}推广到区间[-1,+1],进而定义了多值冲突表。此后,三支冲突分析的研究得到了进一步发展[13-21]。比如:Lang[14]指出不同的序对关于冲突和联盟所产生的作用是不同的,并基于一对改进的联盟度量和冲突度量提出了三支冲突分析的一般模型。然而,考虑到信息的不确定性和复杂性,许多专家学者开始关注基于模糊信息系统的三支冲突分析[18-21]。此外,Zhi等[23-24]将冲突分析与形式概念分析相结合,研究了基于近似三支概念格的冲突分析,并探讨了冲突分析中的最大联盟集和最小冲突集。

在冲突分析模型中,如何衡量代理人之间冲突的大小是至关重要的。Yao[12]在多值冲突表中聚焦于两个代理人关于议题态度的差别,利用距离函数衡量冲突大小,但未考虑代理人各自关于议题态度的程度,且在研究多议题下代理人之间的冲突时,认为每个议题都具有相同的重要性。而Lang[14]指出在实际应用中不同议题的重要性存在差异,并采用主观方式直接赋予不同议题不同的重要性。但是，目前现有的关于冲突分析的研究,仍未考虑代理人各自关于议题态度的程度,也并未给出关于议题重要性的较为客观的刻画方法。

综合考虑上述问题,本文针对多值冲突表,同时关注两个代理人态度的差别与代理人各自关于议题态度的程度,给出两个代理人关于单议题的复合冲突程度的定义,并利用已有冲突信息给出议题重要性相对客观的表达方式,进而研究两个代理人关于多议题的复合冲突程度。

1 预备知识

本节回顾有关冲突分析的基本概念。

定义1[12]称三元组S=(A,I,r)为多值冲突表,其中A={x1,x2,…,xn}为代理人的集合,A中的每个元素xj(1≤j≤n)为一个代理人;I={i1,i2,…,im}为议题的集合,I中的每个元素ik(1≤k≤m)为一个议题;r:A×I→[-1,+1]为映射,r(xj,ik)表示代理人xj对于议题ik的态度的取值。

一般地,在定义1中,r(xj,ik)=-1表示代理人xj完全反对议题ik,r(xj,ik)=0表示代理人xj对于议题ik持完全中立的态度,r(xj,ik)=+1表示代理人xj完全赞同议题ik,其他的取值则代表代理人对于议题反对或者支持的程度。

特别地,当映射r:A×I→{-1,0,+1}时,称三元组S=(A,I,r)为三值冲突表。

例1给出文献[14]提到的中东冲突分析问题的多值冲突表。

例1[14]表1给出了关于中东冲突的多值冲突表。A={x1,x2,x3,x4,x5,x6}为代理人的集合,x1表示以色列,x2表示埃及,x3表示巴勒斯坦,x4表示约旦,x5表示叙利亚,x6表示沙特阿拉伯;I={i1,i2,i3,i4,i5}为议题的集合,i1表示“在西岸和加沙设立自治巴勒斯坦州”,i2表示“以色列沿约旦河设立军事前哨”,i3表示“以色列保留东耶路撒冷”,i4表示“以色列在戈兰高地设立军事前哨”,i5表示“阿拉伯国家给予留在其境内的巴勒斯坦人公民身份”。

表1 关于中东冲突的多值冲突表

在定义1的基础上,文献[12]进一步给出衡量两个代理人关于同一个议题冲突大小的方式。

定义2[12]设S=(A,I,r)是多值冲突表,对于任意i∈I,定义距离函数Ci:A×A→[0,1]如下。对于任意(x,y)∈A×A,

(1)

称Ci(x,y)为代理人x与y关于议题i的冲突程度。若Ci(x,y)=1,则代理人x与y关于议题i是完全冲突的;若Ci(x,y)=0,则代理人x与y关于议题i没有冲突。

2 关于单议题的复合冲突程度

在例1中存在这样的一种情况,代理人x2与x3关于议题i1态度的取值均为+0.95,代理人x4与x6关于议题i1态度的取值均为0,通过定义2可得,这两对代理人关于议题i1的冲突程度相同且均为0。但是,由于+0.95更接近于+1,则第1对代理人关于议题i1的赞同程度明显高于第2对代理人,因此人们通常会认为第1对代理人之间的冲突应小于第2对代理人。由此可知,当两对代理人关于某一议题的冲突程度相同且为0时,利用定义2对此类情况无法进行区分。

另外,还存在一种情况,假设两个代理人关于某个议题态度的取值分别为+0.6、+0.9,另外两个代理人关于该议题态度的取值分别为+0.1、-0.2,同样利用定义2计算可知,这两对代理人关于该议题的冲突程度相同且均为0.15。但是,由于第1对代理人关于该议题都持赞同态度,而第2对代理人则呈现对立的态度,一个赞同一个反对,因此,在这种情况下人们通常也会认为第1对代理人之间的冲突应小于第2对代理人。亦即,此种情况下定义2也无法对其进行区分。

为解决上述问题,本节在单议题的背景下,提出两个代理人关于议题平均确定度的定义,并基于此给出两个代理人关于单议题的复合冲突程度的定义。下面先给出两个代理人关于同一个议题的平均确定度的定义。

定义3设S=(A,I,r)是多值冲突表,对于任意i∈I,定义映射di:A×A→[0,1]如下。对于任意(x,y)∈A×A,

(2)

称di(x,y)为代理人x与y关于议题i的平均确定度。

在此处,|r(x,i)|表示代理人x关于议题i的态度的确定程度。当r(x,i)=0时,代理人x关于议题i的态度的确定程度为0;当r(x,i)>0时,|r(x,i)|越大,代理人x赞同议题i的程度越大;当r(x,i)<0时,|r(x,i)|越大,代理人x反对议题i的程度越大。

为作区分,本文根据语义将定义2中代理人x与y关于议题i的冲突程度称为差别度,并用ci(x,y)表示,即

(3)

差别度和平均确定度的相关性质如下。

性质1设S=(A,I,r)是多值冲突表,对于任意i∈I,x,y,z∈A,有

1) min{|r(x,i)|,|r(y,i)|}≤di(x,y)≤ max{|r(x,i)|,|r(y,i)|};

2)di(x,y)=di(y,x);

3)di(x,y)≤di(x,z)+di(z,y),且di(x,y)=di(x,z)+di(z,y)当且仅当r(z,i)=0。

性质2设S=(A,I,r)是多值冲突表,对于任意i∈I,x,y∈A,ci(x,y)=di(x,y)当且仅当r(x,i)·r(y,i)≤0。

基于差别度和平均确定度,我们以二元对的形式给出两个代理人关于单议题的复合冲突程度的定义。

(4)

下面根据字典序[26]定义任意两个代理人关于单议题的复合冲突程度之间的序关系。

根据定义4以及定义5可得到关于单议题的复合冲突程度的相关性质如下。

性质3设S=(A,I,r)是多值冲突表,对于任意i∈I,x,y,z∈A,有

3) 根据对称性可以直接证明。

表2 关于议题i1的复合冲突程度

定理1设S=(A,I,r)是多值冲突表,对于任意i∈I,(x,y),(x′,y′)∈A×A,若满足Ci(x,y)=Ci(x′,y′),则

证明由Ci(x,y)=Ci(x′,y′)可得ci(x,y)=ci(x′,y′)。

2) 证明过程与1)类似。

4) 由性质2可直接证明。

当两对代理人关于议题的冲突程度相同时,换言之,在两对代理人关于议题的差别度相同的情况下,定理1的1)与2)表明关于该议题都持赞同/反对态度的两个代理人之间的复合冲突程度小于分别持赞同、反对态度的两个代理人;3)表明当两对代理人关于议题分别都持赞同/反对态度时,平均确定度大的两个代理人对应的复合冲突程度小。

需要注意的是,若不关注给出态度的代理人,而是强调态度的取值时,可以利用态度的取值作为参数来表示冲突程度与复合冲突程度,即对于任意议题i∈I,任意代理人序对(x,y)∈A×A,

Ci(x,y)=Ci(r(x,i),r(y,i)),

3 关于多议题的复合冲突程度

本节在多议题的背景下,通过聚合单议题上的复合冲突程度来研究关于多议题的复合冲突程度。由于不同议题的重要性有差异,下面首先给出议题重要性的刻画方式。

定义6设S=(A,I,r)是多值冲突表,对于任意i∈I,定义议题i的重要性为

(5)

此处的Di借鉴了方差的语义,反映了所有代理人关于议题i态度的波动程度。波动越大,表示这些代理人对于议题i态度的差异性越大,进而表明对于研究代理人之间冲突的大小这一问题而言,议题i更重要。

例3(续例2) 由定义6可知,

类似地,可以得到议题集I中任意议题的重要性,如表3所示。

表3 中东冲突中议题i的重要性

基于议题的重要性给出单议题在议题子集中权重的定义。

定义7设S=(A,I,r)是多值冲突表,对于任意J⊆I,i∈J,定义议题i在议题子集J中的权重为

(6)

下面利用权重研究代理人关于多议题的复合冲突程度。

(7)

注1由于多值冲突表中数据的任意性,可能会出现不同议题的重要性相同的情况,进而导致不同议题在议题子集中的权重相同。然而,当某两个议题在议题子集中的权重相同时,在单议题下复合冲突程度的基础上,计算得到的关于多议题的复合冲突程度也具有一定的研究意义,它仍然同时关注了两个代理人态度的差别与代理人各自关于议题态度的程度。

根据性质3易得关于多议题的复合冲突程度的相关性质如下。

性质4设S=(A,I,r)是多值冲突表,对于任意J⊆I,x,y,z∈A,有

表4 关于议题i5的复合冲突程度

表5 关于议题子集J的复合冲突程度

由表5可知,关于议题子集J={i1,i5},代理人x1与x2之间的复合冲突程度是最大的,为(0.925,0.075),反映了代理人x1与x2的差别度为0.925,平均确定度为0.925,进一步表明代理人x1与x2最能代表对立的双方。故在讨论议题i1,i5时,需要格外关注代理人x1与x2的想法,进而分析造成冲突的原因。

4 结语

本文针对多值冲突表,以二元对的形式给出两个代理人关于单议题的复合冲突程度的定义,既反映了两个代理人关于议题态度的差别,也反映了代理人关于议题态度的确定程度,进而结合议题的权重,研究两个代理人关于多议题的复合冲突程度。可以看到,本文在衡量两个代理人之间冲突的大小时,将定义2中的冲突度量进行了改进,针对两对代理人关于议题差别度相同的情况做了深入的探讨;并且考虑到实际应用中不同议题的重要性有差异,本文借鉴方差的语义研究议题的重要性,进而给出了单议题在议题子集中权重的刻画方式。

考虑到本文定义的复合冲突程度的两个分量都是以绝对值的形式给出的,未能使所有不同的态度取值构成的序对对应着不同的值,后期将探讨如何进一步区分。另外,鉴于本文提出的复合冲突程度的合理性,未来我们会考虑与三支决策相结合,将代理人序对的集合进行三分,从而研究基于多值冲突表的三支冲突分析。