文／袁国富

轴对称图形是一种常见的平面图形。本章从生活中的图形入手，探究了轴对称图形的性质，并在此基础上进一步探索线段、角、等腰三角形的性质及相关判定，是初中数学的重要内容，也是中考考查的热点。其中，借助轴对称思想解决线段最值，即“将军饮马”问题，同学们往往因不会构造轴对称模型而无从下手。其实这类问题的本质是利用轴对称思想，将几条线段转化到同一直线上，利用两点之间线段最短或垂线段最短来解决。下面，就开启我们的探究之旅吧。

例古希腊有一位数学家，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教一个问题：从A地出发到河边饮马，然后回到B地，如何确定饮马点P，使得路程最短呢？

【分析】我们可以把这个实际问题转化为数学问题，即点A、B在直线l的同侧，如图1，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小。

图1

我们不妨分析点P满足的条件，条件1是点P在直线l上，条件2是PA＋PB最短。若直接连接AB，线段AB与直线l没有交点，要有交点则需将点A和点B转化到直线l的异侧。如何转化呢？我们不妨固定点B，此时在直线l的下方找到点A关于直线l的轴对称点A′。如图2，作点A关于l的对称点A′，连接A′B，与l的交点P即为所求。

图2

为什么“PA＋PB”是最小的呢？如图3，在直线l上任取一点P′（不与点P重合），连接P′A′、P′B。因为P′A′＋P′B＞PA′＋PB，再由轴对称性可知PA=PA′，所以P′A′＋P′B＞PA＋PB，所以PA＋PB最小。

图3

上述的最值问题源于著名的“将军饮马”问题，解决此问题的思想就是利用轴对称的性质化折线为直线，根据“两点之间线段最短”求最小值。攻略是先找一条定线，再确定两个定点，然后作其中一个定点关于这条定线的对称点，最后连接对称点与另一个定点，和直线的交点即为动点位置。此类问题可归纳为以下步骤：定线、定点、对称、连线、找交点。掌握了上面的最值模型，我们就来大展身手吧。

变式训练如图4，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，AD=4，点E和F分别是AD、AC上的动点，求CE＋EF的最小值。

图4

【分析】求CE＋EF最小值，参照“将军饮马”模型，通过轴对称转化的方式来实现共线，确定最小值。根据等腰三角形的轴对称性可知，点C和点B关于直线AD对称，连接BE、BF，如图5。当B、E、F三点共线时，BE+EF最小，即CE＋EF最小，最小值为线段BF的长。根据“垂线段最短”，即当BF⊥AC时，BF最小，所以求出AC边上的高BF，即为CE＋EF的最小值。

图5

几何学习中经常出现结构简单、内涵丰富的基本图形，我们可将其作为解题的基本模型，如本文所讲的“将军饮马”最值模型。在学习过程中，同学们不仅要能知模和用模，更重要的是理解模型背后的数学原理。“将军饮马”模型实际上是轴对称性质、“两点之间线段最短”和“垂线段最短”定理的综合运用，本质是运用轴对称进行等线段变换，再根据两个最值的知识源将折线化为直线，即可顺利破解。