张 昆

(淮北师范大学 数学科学学院， 安徽 淮北 235000)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“课程标准”)结合《普通高中数学课程标准(2017年版)》，提出的6项具体的数学核心素养，再依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出的10个关键性“核心词”，抽绎出了15项数学核心素养要素作为义务教育数学学科的课程目标，“模型意识”要素被列为其中的第12项[1]。为了探究“模型意识”这项核心素养要素的内涵、实用价值与教育教学价值，宜于从“课程标准”中的“模型意识”课程目标概念内涵说起。

一、“课程标准”中“模型意识”核心素养内涵及其教育教学价值

“课程标准”字斟句酌，将模型意识这项核心素养描述成，“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径。能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。模型意识有助于开展跨学科的综合实践活动，增强对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础。”[2]在这段文字中，将“模型意识”界定为“对于数学模型普适性的初步感悟”，就是说，将“意识”解释为某种程度上的“感悟”，对于人们理解“模型意识”核心素养概念帮助不太大，因为“感悟”还是一个比较模糊的概念。那么，关于模型意识核心素养究竟具有怎样的内涵呢？

微生物农药是近几年在生物科技的推动下，将化学防治技术与生物防治技术结合起来的一种病虫害防治技术。微生物农药是指将能够杀死病虫害的微生物细菌、病毒等添加到农药中，代替农药中的化学成分。这样既能够起到保护环境的作用，还能有针对性地杀死油菜的病虫害，且该防治技术快速有效。但是该防治技术使用成本比较高，对微生物的研究利用还不是很充分，需要根据病虫害的变化，进一步加大研究力度，推广微生物农药防治技术［4］。

从语法上讲，“模型意识”概念是一种偏正结构，其中的“意识”是中心词，而“模型”是限制词。笔者通过仔细思考与分析认识到，“意识”概念在这里的内涵具有“警醒”(警醒学习主体尽可能地选择构建与使用“模型”这一工具探究与解决数学问题)的意思，指的是一种心理准备状态[3]。因此，模型意识这个概念指的是学习数学知识的主体在心理上，时刻准备着构造数学模型或运用现成的数学模型的一种心理准备状态，即在面临与数量关系或空间形式的相关问题时，对于数学模型招之能来、来之能用的一种心理准备状态；如果在解题主体的数学现实中，目前还不存在适应问题特点的具体数学模型时，首先，通过分析面临问题的信息特点在现场中即兴地构造出数学模型，然后，及时进行应用这种数学模型解决问题的心理准备状态。

面临具有具体特点的信息所组成的与数量关系或空间形式有关的问题，通过构建数学模型解决这个问题，这个数学模型就构成了数学知识。就是说，一个数学概念(特别是统摄性的数学概念)、一个数学公式、一个数学定理等，都是一个数学模型，曾经也都是为了解决具有某种特点的数学问题而构造出来的，最后由于数学模型应用的广泛性，而成为一代一代新人的学习素材。

注：之所以以生2提供的比较这两种“糖水”含糖量的方法为参考，是由于历史上所形成的文化规范制约，其实，生1所构想的方法，也照样可以解决这道题，而且显得更为简单。但是，从生1提供的方法中抽象出的公式，其应用范围没有生2这个公式广泛且更具有普适性，因此，生2这个公式更具有基础性与应用性。

数学知识是作为一个有价值的工具性框架，为解决现实世界中所出现的与数量关系或空间形式相关的问题服务的。把现实世界信息中涵蕴的数量关系或空间形式的问题称为现实原型，为了解决现实生活中与数量关系或空间形式有关的问题而构造出来的数学结构形式称为数学模型。数学模型其实具有一般性或抽象性，由于生活中存在许多与数量关系或空间形式相关问题的信息(特别是即使信息表象上具有差异)的相似性，一个具体的数学模型往往能够解决一类问题，从而具有普适性特点，从表面上考察，有些问题之间可能相差甚远。

因此，分析培育“模型意识”核心素养的数学教学设计及其课堂实施这个主题所得到了结论，能够认识到，依据具体信息特点，选择使用现成的数学模型封装信息解决问题，如果没有现成的数学模型可供选择，而必须依据信息特点，在解决问题的现场中即兴地构建出有效数学模型解决问题，这两者都需要学习主体的创造性，这就构成了培养学生创造性的优质课程资源，这也是“课程标准”将“模型意识”作为核心素养课程目标的原因之所在。那么，在课堂教学中，如何培育学生的“模型意识”核心素养呢？

从表2中可以看出，控制终点酸度为20 g/L时，即可达到除氯的效果，当提高终点酸度时，虽然除氯效果有所上升，但上升幅度较小，考虑到除氯段终点需要调节pH，宜选择终点酸度为20 g/L即可。根据废电解液的起始酸度，要控制终点酸度20 g/L左右，酸化时候控制液固比为4∶1即可达到终点酸度的要求。由于液固比较低，防止浆液黏稠，酸化时控制温度60 ℃。酸化的条件为起始酸度140 g/L，终点酸度20 g/L，液固比4∶1，酸化过程温度60 ℃。

二、培育“模型意识”核心素养教学设计中的两个维度

一、安庆公司接地干线网位于汽机厂房南北两侧，呈长方形布局，采用60*8mm热镀锌扁钢焊接而成，各个主建筑物均有分支接地网既独立接地又与主干接地网可靠相连，水平接地体埋入深度大于0.8米，接地线（不含设备接地线）不得少于2点。

一方面，利用合适的数学教学素材，培育小学生的数学模型意识。小学生由于难以熟练地使用数学符号语言，培养“模型意识”核心素养更多地依靠母语语言，这就需要数学教师选择合适的数学情境，从情境中鼓励学生意识到涵蕴于其中的与即将出现的数学模型相关的问题，并设法帮助学生使用他们自己的语言表述问题，在明确具体问题的内涵以后，探究解决问题的思路过程，对于那些新颖的问题或者创造性的解题方法，就是构成数学模型的有价值素材，启发学生从问题及其创造性解答过程中抽象出数学模型。数学模型的建构构成了数学模型意识的一个维度。

另一方面，使用数学模型以解决某一类数学问题构建工具性框架，因此，适合模型的数学问题就可以使用这个框架解决之，这就是数学模型的应用，在这里，特别需要注意的是，有的问题解题思路需要使用的数学模型与问题提供的信息形式往往相距甚远，这就需要培养学生对于具体问题信息的意义转化过程，信息是死的，但是，赋予信息以意义的解题主体的数学现实却是活的，问题本质是依据解题主体已经掌握了的数学格局为基础的，是数学格局赋予了问题的具体信息以具体意义(后文中的例2清楚地说明这一点)。有时，数学问题的具体表征或特点，似乎与某种数学模型没有表面上的必然的联系，但是却存在着相同的本质。这种数学问题的本质与某个具体数学模型本质之间的联系是应用数学模型的重要途径，因此，数学模型的应用也构成了数学模型意识的另一个维度。

在数学模型意识的这两种不同的维度中，构造数学模型的意识是应用数学模型的意识的基础，应用数学模型的意识对于构造数学模型具有促进作用。因此，其一，在培养学生数学模型意识核心素养的教学设计及其课堂实施中，数学教师要将主要精力集中到培养学生建构具体的数学模型上去，其关键点就在于选择合适的问题情境，从而刺激学生从问题情境中发现具体的问题；其二，数学教师也要充分注意，鼓励学生将自己已经建构起来的数学模型运用于新的问题中去。

三、鼓励学生建构数学模型及其应用的教学示例

在教学设计及其课堂实施中，如何培育学生“模型意识”核心素养，从理论上分析出了三个环节：其一，根据模型特点选择相关的情境素材；其二，启发学生从情境素材中，提出合适的问题，从而分析问题的结构，据此结构，构建数学模型，使用模型解决问题，这个模型便作为数学知识进入公库；其三，通过教学设计有目的、有预设地运用这个具体的数学模型解决新的问题，从而拓展具体数学模型的应用范围。这里以基于“浓度”概念建立数学模型的一个例子加以必要说明。

商鞅变法是我国历史上较为彻底、较为成功的改革，实现其最初提出的富国强兵的目标，为此后秦国灭亡六国、统一中国奠定了基础。如上所述，商鞅变法中大部分内容涉及财政改革，从财政角度分析研究商鞅变法，汲取其变法的经验教训，对当前深化财政改革具有现实意义。

(一)设置情境构建浓度概念的公式模型

对于培育学生“模型意识”核心素养教学目标而言，一个合适的情境是非常重要的。合适情境的特点在于：其一，简单性，这是相对于学生来说的，情境信息应该依靠学生自己的生活背景，容易理解的较为简单的问题；其二，基础性，虽然简单但确是构建或运用数学模型所必不可少的问题；其三，问题性，所设置的情境确是需要经由构建合适数学模型才能解决，而不是一眼就可以看穿的情境，这才具有问题性。

教师出示情境信息：将15克蔗糖放入85克水中与将20克糖放入100克水中，哪种糖水较甜？

师：“将15克蔗糖放入85克水”记为“糖水1”，“将20克糖放入100克水”记为“糖水2”，那么是“糖水1”较甜，还是“糖水2”较甜呢？

师：大家还有其他的解法吗？

从“模型意识”核心素养的内涵与上述的分析结论中认识到，“模型意识”体现于两方面：一是构建模型，指的是在没有现实数学模型可以直接利用的情况下；二是已经构建出来的模型在新领域里的应用。因此，培育学生的“模型意识”也就相应地应该分为两方面：

数学模型的这种特点也涵蕴着如何学习数学知识的心理途径，那就是，数学教师寻找合适的教学素材信息，启发学生从信息中萌生出具体的数学问题，为了解决数学问题，需要选择具体的数学模型，如果选择不出合适的数学模型，此时，就要启发学生首先建构出数学模型，再使用已经建构出的数学模型解决问题。因此，构建数学模型具有很重要的数学教育教学价值，这是数学教师必须要认识到的。

(二)“浓度”公式模型在建构新的数学模型中的一种应用

例1 要配置浓度为20%的葡萄糖水溶液240克，需要浓度为10%的葡萄糖水溶液与浓度为40%的葡萄糖水溶液各多少克？

根据现有文献的做法(史宇鹏和周黎安，2007[46]；刘修岩等，2017[47])，使用区域生产函数来研究特定区域因素对区域内经济效率的影响是较好的方法，因此本文的实证模型设定为：

师：如何求解这道题？

易非应聘到了风城日报，报社的工作她应付得来，只是，记者们都不是善茬，关系并不好处理，而且，当一名记者，和她当建筑家的理想相去甚远。有时候易非从报社二十四楼的窗口看出去，看到都是绿树蓝天映衬的红色屋顶，那一栋栋的房子，真像积木般小巧可爱。在建筑师眼里，房子就应该是这种感觉吧？没当成建筑家，但站在报社大楼里，得到的也是一样的感受。这是老天爷对我另一种方式的弥补吗？

构成全球定位系统的卫星原本用在军事领域。当它们环绕地球飞行时，会发送它们的时间和位置，兰德在报告中称它们为“太空时钟”。GPS设备的信号至少来自4颗卫星，因此在地球的任何地方都可以精确地定位设备所在的位置。

在保证各项安全交底工作的基础上，项目部还需要加强对安全技术管理，做好相关技术安全措施。并且在此过程当中，项目部需要严格执行安全生产管理制度进行开展相关作业。基于河道整治工程的特点，以及其存在的危险点而言，加强对风险较大的分项目工程进行管理，同时制定出专项的安全生产方案。并组织相关人员针对工程的实际情况，对其所制定的方案进行审核，对专项方案进行可行性研究。此外，项目部还需要做好安全管理过程控制，实现动态化管理的目标。

生5：结果正确，容易检验。主要计算混合前的两种溶液所含葡萄糖的质量之和与混合溶液的葡萄糖质量是否相等。由于160×10%+80×40%=48(克)，而240×20%=48(克)，从而160×10%+80×40%=240×20%，从而得出公式①是正确的。

师：记需要“浓度为10%的葡萄糖水”为“葡萄糖水3”，需要“浓度为40%的葡萄糖水”为“葡萄糖水4”。大家仔细思考，看看要配置浓度为20%的葡萄糖水溶液240克，究竟需要“葡萄糖水3”多，还是需要“葡萄糖水4”多？

师：非常好。生3的假设对于探究这种问题的思路具有重要作用。那么，生3是如何萌生出这样的假设的？这种假设对于解决这道题具有怎样的启示呢？

2011年版《全日制义务教育语文课程标准》指出：“语文课程是实践性课程，应着重培养学生的语文实践能力，而培养这种能力的主要途径也应是语文实践。”“应该让学生多读多写，日积月累，在大量的语文实践中体会、把握运用语文的规律。”可见，培养学生写作能力应通过大量实践去达到目标。

生3：我想假设“葡萄糖水4”的浓度为30%的话，那么需要“葡萄糖水3”与“葡萄糖水4”的质量正好相等，即“葡萄糖水3”与“葡萄糖水4”都是120克。但是，由于实际上“葡萄糖水4”的浓度为40%，因此，如果也取120克的话，那么配置出来的葡萄糖水浓度就大于20%了。由此认识到，需要“葡萄糖水3”的质量应该大于120克，需要“葡萄糖水4”的质量应该小于120克。……

师：生4所得到的解题结果正确吗？如何检验呢？

生：……(省略号表示学生思维的暂时中断)

注：通过这种教学设计及其课堂实施活动过程，首先，鼓励学生探究构建了公式①这个数学模型的心理过程；其次，运用公式①这个模型获得了解决这道题的答案；最后，运用已经定义的浓度概念公式进行检验，验证所求得的答案是正确的，从而验证了公式①这个数学模型是正确的。

(三)公式①这一数学模型的再应用

在探究例1的解题思路时，成功地构建出了公式①这一数学模型，在真实意义上(即具有溶质、溶剂与溶液形成的浓度问题)应用是有效的，那么在一些从表面上看似不是真实的浓度问题中，是否也能够应用呢？回答是肯定的，这里再举一个例子加以说明。

例2 (我国古代《孙子算经》中的问题31的变形题)兔子野鸡三十九，一百条腿地上走，多少野鸡多少兔？

师：如何解决这个问题？

生：……

在技术扶持上，各县（市）每年定期对民间资本参与建设的项目施工人员和管理人员开展经济林种植、中药材栽培、水利水保工程施工、运行及生产管理技术常规培训，同时从相关部门抽调技术骨干作为科技特派员，带薪、带职、脱产，全面负责项目实施管理的技术指导和服务工作。岑巩县还采取行政领导和技术人员负责相结合的办法，实行行政领导挂靠包干，技术人员跟班作业，为投资者在项目建设管理中提供全程技术服务。

注：从例1与例2内容的表象上考察，这是两种性质完全不同的问题，但是，启发学生经由设想与想象，帮助他们将这两种不同类型的问题建立起意义上的联系与关系，从而将例2这种“鸡兔同笼”问题转化为例1的这种浓度问题，利用公式①这一数学模型成功地解决了例2这个问题。由此，解题主体可以深深地体会到，数学模型具有一般性与普适性的特点。

四、结束语

“课程标准”将“模型意识”作为课程目标的15项核心素养之一，绝非偶然，这是因为数学知识总是以数学模型的方式表现出来的，一个数学概念、一个数学公式、一个数学运算法则、一个数学定理，都是数学模型。考察本文中关于“浓度”的定义，公式①是数学模型。数学问题的语言表达的本质是什么？这种意义主要是由解题主体的数学现实赋予的，从而可以将例2这种本来似乎与“浓度”概念没有关系的问题形式，想象成了“浓度”问题，从而利用公式①简洁而巧妙地获得了例2的解答结果。这也说明了数学模型应用的广泛性，数学问题的本质也是解题主体而赋予的。对此，广大数学教师应该思之再思，慎之又慎，最大限度地利用教科书或课外的数学教学素材，培育学生的数学核心素养。▲