汪势杰，王 健，代家昆，尤启龙

（1.国能长源湖北新能源有限公司，湖北随州 432700；2.武汉大学动力与机械学院，湖北武汉 430072）

引言

齿轮箱是机组中故障发生率最高的部件，故障百分比已超过60%[1]，动力学分析是进行齿轮传动系统状态监测与故障诊断的理论基础。作为齿轮传动的关键参数，时变啮合刚度会引起显著的振动响应特征，因此从啮合刚度角度出发对齿轮振动和噪声的进行研究具有重要的意义。

国内外许多学者针对齿轮的动力学和系统响应做了很多研究。万志国等[2]提出了一种考虑齿根圆与基圆不重合时啮合刚度求解方法，建立动力学模型并求解。WU 等[3]建立了6 自由度动力学模型，并分析了齿轮刚度随裂纹程度的变化趋势。李亚鹏等[4]针对提出了改进的石川公式，同时讨论了多齿啮合时齿轮综合时变啮合刚度的计算方法。Chen 等[5]提出了一个融合了齿宽和裂纹深度的裂纹分析模型，以研究齿轮裂纹对齿轮啮合刚度的影响。针对风电行星齿轮传动系统变速变载的工作特点,谢福起等[6]基于风速功率谱密度模型，建立系统非线性动力学模型。向玲等[7]采用集中参数模型建立了风电齿轮传动系统平移-扭转动力学模型，结合时间历程图、FFT 频谱图、相图、Poincaré 截面图、分岔图及最大Lyapunov 指数图分析了系统在随激励频率变化和随支承刚度变化下的动力学特性。本研究以一级直齿轮为研究对象，建立了该齿轮副在齿轮裂纹生长的不同阶段的时变啮合刚度模型，并进一步建立了具有扭转和横向振动的六自由度动力学模型。通过计算齿轮裂纹不同生长阶段下系统的振动响应，实现了齿轮裂纹程度与动态响应之间的定性匹配，得到了齿轮裂纹故障对系统传动性能的影响，能够为齿轮副的设计和故障诊断提供一定的理论指导。

1 齿轮裂纹状态下的时变啮合刚度建模

在直齿轮传动中，存在齿轮单双齿交替啮合并导致啮合刚度会发生突变，称为时变啮合刚度[8]。齿轮的刚度包含为接触刚度，弯曲刚度以及径向刚度。其中，接触刚度往往通过赫兹理论计算，而径向刚度与齿轮的齿廓参数有关，这两者受裂纹的影响较小。

齿轮的裂纹与发生是一个缓慢而复杂的过程，本文在这里对裂纹的生长与表征进行简化建模。假设齿轮裂纹的拓展方式如图1 所示，齿轮裂纹从齿根处开始，与齿轮中心线成一夹角v，假设v 为一常数。两段裂纹与齿轮中心线成中心对称分布。裂纹的长度为q1,q1从0 逐渐以0.1 mm 的增量增加到与齿轮中心线相交，这时，q1的长度达到其最大值。根据假设，q2的长度应该与q1相同，但是在实际情况下，齿轮会在q2没有达到最大值时断裂，因此，假设q2最大长度为q1最大长度的60%。

图1 齿根裂纹示意图

实际中，齿轮的弯曲刚度剪切刚度较易受裂纹影响。根据文献[8]中的结论，在引入齿根裂纹前后，根据齿根裂纹发展的不同阶段，可以分为四种情况计算齿轮副的弯曲刚度Kb和剪切刚度Ks。

2 系统振动响应的建模及求解

本章建立了具有扭转和横向振动的单级齿轮系统模型，包括输入电机，负载电机，输入轴，输出轴，输入小齿轮，输出大齿轮。系统动力学模型如图2 所示。该系统由输入电机输入转矩M1进行驱动，负载电机负载的转矩为M2。考虑到本文研究重点为齿根裂纹本身对齿轮传动造成的影响，因此暂不考虑齿轮对中润滑与摩擦的影响。

图2 单级齿轮系统

Y 方向的小齿轮和大齿轮的位移和转矩方程如下：

输入电机和负载的转矩方程如下：

系统中的力和转矩可以通过下面的等式算出：

在本研究中，由于重点是研究故障下系统的响应，因此假设输入轴承、弹性联轴器的各方向的刚度和阻尼相同。此外，啮合阻尼系数ct设置为与总啮合刚度kt成正比，即ct=μkt。其中系数μ 在本研究中设置为3.99×10-6(s)。齿轮箱系统的其他参数列于表1 中。

表1 单级齿轮系统主要参数

齿轮裂纹的长度以0.1 mm 的增量从零开始增长。由于轮齿在裂纹发展到其全长之前可能会突然断裂，因此假设最大裂纹水平为80%。图4 给出了裂纹水平为28%时啮合齿轮的动态响应，包含时域历程曲线和相图。图5 给出了裂纹水平为53%时的动态响应，包含时域历程曲线和相图。图3 给出了健康状态下的齿轮动态响应。在图4 中，故障特征在时域表现尚不明显；与健康的齿轮振动信号（0%裂纹）相比，除了振动幅值小幅上升外，时域历程曲线几乎完全相同，而仅仅在相图上表现为更加混沌。然而，随着裂纹程度的发展，如图5 所示，当高于40%的齿根裂纹会使齿轮振动信号产生明显的变化。随着裂纹生长水平的增加，时域信号中出现明显的由裂纹引起的周期性脉冲；该周期性脉冲随着裂纹的生长越来越明显。此外，由于齿轮裂纹造成的影响在齿轮转一圈时重复一次，可以发现每两个脉冲之间的持续时间等于一个轴周期。当裂纹以及生长到了后期（裂纹大于50%），系统动态响应产生的故障特征越发明显，而且故障处振动幅值出现了显著的增长。在相图中，由于齿根裂纹导致的混沌现象更加明显。

图3 健康齿轮啮合的振动响应及相图

图4 齿轮在裂纹生长水平为28%时的振动响应及相图

图5 齿轮在裂纹生长水平为53%的动响应及相图

3 结论

本研究主要研究了一级直齿轮副在齿轮裂纹生长的不同阶段的时变啮合刚度的计算，以及建立了具有扭转和横向振动的六自由度单级齿轮系统动力学模型，对齿轮裂纹不同生长阶段齿轮y 方向的振动响应和相图进行了求解。发现在齿轮裂纹生长初期（28%裂纹时），故障特征在时域表现尚不明显；与健康的齿轮振动信号（0%裂纹）相比，除了振动幅值小幅上升外，时域历程曲线几乎完全相同，而仅仅在相图上表现为更加混沌。随着裂纹生长水平的增加，到齿轮裂纹生长到中后期（53%裂纹），时域信号中出现明显的由裂纹引起的周期性脉冲；该周期性脉冲随着裂纹的生长越来越明显。同时齿根裂纹导致的混沌现象在相图中表现也更加明显。