项 当

(湖北省武汉市光谷汤逊湖学校,430072)

一、原题呈现

人教版义务教育教科书,八年级下册第63页(实验与探究)

分析本题难点在于重叠部分面积是不规则四边形,无法直接求解,结合正方形的性质,现给出如下两种方法求解．

二、 一题多解探根源

解法1如图2所示,可证∆AOE≌∆BOF,进一步转化为如图3的面积.

因为四边形ABCD为正方形，

所以OA=OB∠OAE=∠OBF,∠AOB=90°.

又因为四边形A1B1C1O为正方形，

所以∠A1OC1=90°，∠AOE=∠BOF.

所以∆AOE≌∆BOF，S∆AOE=S∆BOF,

所以SBEOF=S∆BEO+S∆BFO

=S∆BEO+S∆AOE

点评结合正方形的性质,将不规则图形面积转化为规则图形面积,进而求解,本题也可证明∆BEO≌∆CFO,转化为S∆BOC.

解法2如图4所示,过点O分别作OM⊥AB交AB于点M,作ON⊥BC交BC于点N,转化为如图5中的正方形MBNO的面积.

因为OM⊥AB,ON⊥BC,

所以四边形BMON为正方形,∠MON=90°，所以OM=ON.

因为 ∠A1OC1=90°,

所以 ∠MOE=∠NOF,

所以∆MOE≌∆NOF,S∆MOE=S∆NOF.

所以SBEOF=SBMOF+S∆MOE

=SBMOF+S∆NOF

点评结合正方形的性质及全等,将不规则图形面积转化为规则图形面积,进而求解.

归纳1如图6,对角互补模型

① 已知∠ABC=∠EOF=90°；

②BD平分∠ABC.

拓展:如图7,点E在AB的延长线上,

① 已知∠ABC=∠EDF=90°,

②BD平分∠ABC.

三、同源多解促思维

变式如图9,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,求证:OE=OF.

解法1(共点等边旋转全等),同前解法一.

解法2(见角平分线作双垂直)同前解法二.

解法3如图10,11，在AB上截取BH=BF.

可证∆ADE′≌∆CDF(SAS).

所以OH=OF,∠OHB=∠OFB;

因为 ∠OFB+∠OEB=180°,

∠OHB+∠OHE=180°，

所以 ∠OEB=∠OHE，OH=OE=OF.

解法4如图12,过点A作AN∥OF,过点C作CM∥OE(中位线定理).

因为O是AC的中点,AN∥OF,

可证∆ABN≌∆CBM(AAS),

所以AN=CM,OF=OE.

解法5如图13,14，延长FO交AD于点N，过N点作NM∥AB,延长EO交CD于点G,过G点作GH∥BC(构造正方形“十字架”)

可证∆AOE≌∆COG,得OE=OG.

同理ON=OF.

可证∆EGH≌∆FNM,

所以EG=NF,OF=OE.

解法6如图15.连结EF,取EF的中点I,连接IB,IO(中线长定理)

因为I为EF的中点,

所以IB=IE=IF,IO=IE=IF,IB=IO.

所以∠IOB=∠IBO,∠IEB=∠IBE.

所以∠OIE=2(∠IBO+∠IBE)=90°,

∠OEF=45°=∠OFE,OF=OE.

解法7如图16,17，延长FO交AD于点N,连结EN,EF(一线三垂直).

可证 ∆ADN≌∆CDF(ASA).

EO垂直平分FN,EN=EF.

设AB=k,AE=m,BF=n.

m2+(k-n)2=n2+(k-m)2,解得m=n.

所以AE=BF,∠EAN=∠FBE,

EB=NA,∴AEN≌∆BFE，

∆ENF为等腰直角三角形.