佘枭雄,黄 刚,刘熹微,易伟松*

(1.华中农业大学 资源与环境学院，湖北 武汉 430070；2.武汉科技大学 理学院，湖北 武汉 430080；3.华中农业大学 理学院，湖北 武汉 430070)

磁现象普遍存在，地球、磁铁、载流线圈都能够产生磁场，载流亥姆霍兹线圈(Helmholtz Coils)常用于产生匀强磁场，在科学研究和工业领域有着广泛的应用。亥姆霍兹线圈是两个完全相同、彼此平行的共轴圆形线圈，且线圈间距等于线圈半径，当两个线圈通以串联电流时，两线圈中间区域近似为匀强磁场。研究亥姆赫兹线圈磁场分布是大学物理实验重要内容，该实验有助于加深学生对磁场产生、叠加等电磁学知识的理解。载流亥姆赫兹线圈磁场测量方法主要有“电磁感应法”和“霍尔效应法”，前者成本较低但是测量误差较大，后者精度较高但仪器成本较高[1]，因此，有必要研究低成本高精度亥姆赫兹线圈磁场测量方法。

近年来，随着经济发展和科技进步，智能手机可用性和功能性不断增加，普及率也不断上升，智能手机作为新兴测量工具开始应用于物理实验和教学，促进了“智能手机物理学(smartphone physics)”的发展[2]。目前，智能手机内置磁力计(magnetometer)测量精度能够达到微特斯拉(ωT)，使得利用智能手机磁力计方便准确测量磁场成为可能。利用智能手机磁力计，张霆等观测了地球磁场[3]，林奕晖等研究了弹簧劲度系数与重力加速度[4]，Arribas等探索了小磁铁磁场与距离关系[5]。利用类似的方法，Septianto等[6]和Monteiro等[2]分别研究了单个载流圆形线圈中心轴向磁场分布情况；Shakur等[7]和刘炜等[1]分别研究了载流亥姆赫兹线圈中心轴向磁场分布情况，这些实验结果都验证了毕奥-萨伐尔定律(Biot-Savart law)及磁场叠加原理。上述研究表明利用智能手机磁力计可以定量测量磁场，载流亥姆霍兹线圈中心轴线近似为匀强磁场。本文将探索利用智能手机磁力计定量测量载流亥姆霍兹线圈中心径向磁场，探索载流亥姆霍兹线圈三维空间磁场分布情况及匀强磁场范围。

1 实验方法

1.1 实验内容

利用智能手机定量测量载流亥姆霍兹线圈中心轴向、中心径向磁场，研究亥姆霍兹线圈中间三维空间磁场分布，并将实验结果与理论计算值进行比较，评价测量效果。

1.2 实验仪器

亥姆霍兹线圈(平均半径R=100 mm，间距d=100 mm，线圈匝数N=250)，可调直流电源，变阻箱，开关，小磁球、坐标纸，内置磁力计智能手机及实验平台(可以左右和上下移动，精度为毫米)(图1)。

a 正视图

1.3 实验步骤

(1)智能手机内置磁力计，免费下载最新版物理实验移动应用程序Phyphox 1.1.9(Physical Phone Experiments简称)。

(2)利用小磁球确定智能手机磁力计具体位置，以及手机磁力计x、y、z轴方向，并做好标记[6]。

(3)将智能手机随实验平台置于亥姆霍兹线圈中间，使得手机长边与轴向平行；启动phyphox软件，选择“磁力计”菜单，测量不通电流时地球磁场，同时调整线圈和手机轴向方向，使得磁力计y 轴读数为零，即消除地球磁场影响。

(4)将亥姆霍兹线圈串联，并输入电流I=100 mA，智能手机以10 mm为步进，沿亥姆霍兹线圈中心轴向(y轴)，中心径向(z轴)两个方向移动，磁力计y轴读数即为该点磁感应强度。

(5)依据毕奥—萨伐尔定律，将亥姆霍兹线圈参数和电流值输入，利用Mathematica软件计算亥姆霍兹线圈中心轴向和中心径向磁场理论值，并将理论值与实验结果进行比较。

2 实验结果

2.1 智能手机磁力计坐标及三轴定位

实验用智能手机为苹果iPhone 6plus，内置磁力计位于手机左上角区域，距离上端15 mm，距离左边18 mm，如图2红色十字叉所示；手机短边为内置磁力计x轴，长边为磁力计y轴，磁力计z轴垂直于手机屏幕。不同手机品牌及型号，磁力计位置一般不同，需要具体确定。没有电流输入时，利用磁力计测量地球磁场，同时调整线圈和手机轴向方向，使得y轴磁场为0(0±1μT)(图3)，即消除地球磁场影响。

图2 智能手机磁力计坐标及位置

图3 智能手机磁力计y轴调零

2.2 亥姆霍兹线圈中心轴线磁场分布

亥姆霍兹线圈中心轴线方向(即为y轴)，测量范围(-50 mm～+50 mm)，步进10 mm，测得磁场分布情况(图4)。从曲线形状来看，中间略高，两端稍低，整体上呈近似直线。轴向上从-50 mm至+50 mm，各个测量点相对于中心点磁场变化率分别为6.7%、4%、2.2%、0.8%、0、0、0、1.3%、2.2%、3.1%、6.2%。

图4 亥姆霍兹线圈轴向(y轴)磁场分布

2.3 亥姆霍兹线圈中心径向磁场分布

亥姆霍兹线圈轴向中点处(y=0 mm)，沿线圈径向(竖直方向为z轴)磁场分布情况(图5)，测量范围(-50 mm～+50 mm)，步进10 mm。

图5 线圈中点处沿径向(z轴)磁场分布

由于智能手机本身体积限制，内置磁力计无法达到线圈边缘处。从曲线形状来看，基本呈现水平状态。径向从-50 mm至+50 mm，各个测量点相对于中心点磁场变化率分别为0.9%、0.4%、0.4%、0、0、0、0、0、0.4%、0.9%、1.3%。

2.4 亥姆霍兹线圈磁场分布理论计算

理论上，亥姆霍兹线圈中间区域任意一点的磁感应强度可由毕奥—萨伐尔定律计算得出。亥姆霍兹线圈中间区域任意一点磁场较为复杂，但是中心轴向(y轴)和中心径向(z轴或x轴)磁场分布则相对容易，磁场方向均沿y轴。

中心轴向

(1)

中心径向(z轴)

(2)[8]

表1 亥姆霍兹线圈轴向及径向磁场理论值与实验值比较

3 分析讨论

3.1 亥姆霍兹线圈磁场测量

将实验值与Mathematica计算亥姆霍兹线圈中心轴向和中心径向磁场理论值进行比较，中心轴向百分偏差处于0.1%～3.2%之间，中心径向百分偏差处于0.1%～4.5%之间，误差在可接受范围。关于亥姆霍兹线圈中心点，实验测得中点处轴向By=0,x=0,z=0=225μT，与理论计算值为224.8μT，该点百分偏差为0.1%，测量精度较高。

3.2 亥姆霍兹线圈均匀磁场区域

从测量数据和Mathematica计算值来看，亥姆霍兹线圈中心轴向和中心径向，及三维空间存在一个较大的均匀磁场区域。若以变化率小于1%作为均匀磁场标准，则轴向-20mm～+20mm，约占亥姆霍兹线圈轴向长度0.4d；径向-40mm～+40mm，约占亥姆霍兹线圈半径长度2×0.4R，该区域为理想均匀磁场。与用Mathematica理论计算的均匀磁场范围(轴向和径向都是-0.3R～+0.3R)基本一致[9]。倘若提高变化率小于0.5%，则均匀磁场范围将缩小到z=±0.25R，y=±0.26R[8]。在较远区域z>0.5R或z<-0.5R，磁场变化显著增加，不能近似为匀强磁场[9]。

3.3 利用智能手机研究亥姆霍兹线圈磁场分布

上述结果表明利用智能手机磁力计，结合免费物理实验移动应用程序，能够定量测量载流亥姆霍兹线圈中心轴向和中心径向磁场，实现了二维空间磁场测量。尽管径向仅测量了z轴一个维度的磁场，考虑到亥姆霍兹线圈关于中心轴向对称，因此中心径向各个维度磁场分布相同，等同于实现了亥姆霍兹线圈三维空间磁场测量。实验内容和结论比只测量亥姆霍兹线圈中心轴向磁场更加丰富和实用[1,2,7]。采用上述方法还可以研究其他各点磁场分布情况，限于篇幅本文不讨论该问题，理论计算结果可以参考文献[8-9]。

4 结 语

文章利用智能手机磁力计和免费物理实验应用程序(phyphox)，研究了亥姆霍兹线圈中心轴向、中心径向以及三维区域磁场分布情况，测量值与理论计算值比较吻合，研究结果证实了该方法具有较高可行性和精度。在传统大学物理实验中引入智能手机作为新型测量工具，不仅能够降低实验成本，同时还可以激发学生学习兴趣，增强探究欲望[10]。随着信息技术快速发展，智能手机普及化程度也愈来愈高，智能手机搭载传感器越来越多，将极大地拓展智能手机在物理实验和教学中的应用领域。