葛才安,郑燕萍,虞 杨

(1.南京林业大学 汽车与交通工程学院， 南京 210037； 2.南京林业大学 机械与电子工程学院， 南京 210037)

0 引言

电池荷电状态(state of charge,SOC)反映了电池的剩余容量，精确的SOC估计可以为整车能量管理和动力分配提供依据，还可以调整电池的充放电策略，防止过充过放[1]。由于动力锂电池的使用环境十分复杂，在其工作过程中只能测得温度、电压、电流等有限参数，而且放电电流变化大，使动力锂电池SOC的实时在线估计变得困难。

在前期研究中，动力锂电池常用的SOC估计方法有安时积分法、开路电压法、基于数据驱动的方法和基于模型的方法等[2]。安时积分法依赖准确的SOC初值，且电流存在累积误差；开路电压法中的开路电压(open circuit voltage,OCV)获取需要长时间静置，不便于实时估计SOC[3-4]；基于数据驱动的方法需要大量试验数据对模型进行训练，模型受限于训练数据；基于模型的方法关键是要建立高精度的电池模型。常用的电池性能模型有电化学模型、等效电路模型和神经网络模型等[5]。电化学模型采用偏微分方程和代数方程组描述电池内部的化学反应，但是偏微分方程的求解十分复杂，即使对模型进行简化，计算量仍然远大于等效电路模型[6-7]。神经网络模型同样受限于训练数据，而等效电路模型利用电路元器件组成的电路模拟电池的电压、电流特性，其结构简单、计算量小，因此在仿真研究中得到了广泛应用。

等效电路模型的参数辨识方法分为离线辨识和在线辨识[8]。离线辨识是通过拟合电池脉冲试验工况下的电压特性曲线来辨识电池模型参数。例如，马锐等[9]提出的基于3次样条插值法的离线辨识方法，获得了较高的SOC估计精度。但是，离线辨识的电池模型参数不会随着电池循环次数和温度等因素的改变而变化，模型精度有欠缺。因此，有学者提出了模型参数在线辨识方法，常见的有递推最小二乘法(recursive least squares,RLS)、遗忘因子递推最小二乘法(forgetting factor recursive least squares,FFRLS)和卡尔曼滤波(Kalman filter,KF)算法等。例如，韦莉等[10]采用RLS辨识超级电容模型参数，基于动态容值修正的方法估计超级电容SOC，提高了不同温度下的SOC估计精度。李振强等[11]采用FFRLS在线辨识二阶RC模型参数，联合扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter,EKF)算法估计电池SOC，解决了RLS占用内存大、容易出现数据饱和的问题。

基于前期的研究成果，本文以三元锂电池为研究对象，建立三元锂电池的Thevenin等效电路模型，分别利用FFRLS和EKF算法在线辨识电池模型参数，联合EKF算法估计电池SOC，并在动态应力测试(dynamic stress test,DST)工况下，比较FFRLS-EKF联合算法和双扩展卡尔曼滤波(dual extended Kalman filter,DEKF)联合算法的电池SOC估计精度。

1 三元锂电池模型的建立

1.1 等效电路模型

等效电路模型的精确程度直接影响到电池SOC估计的准确性，能较好地模拟电池特性的等效电路模型，通常具有较为复杂的结构，占用较多的计算资源，不利于工程应用。综合考虑，本文选用物理意义清晰、参数辨识容易、兼顾准确度和复杂度的Thevenin等效电路模型，如图1所示[12-13]。

图1 Thevenin等效电路模型

图1中，I为电流，本文以放电电流方向为正；Ut为端电压；Uoc为开路电压；R0为欧姆内阻；R1为极化内阻；C1为极化电容；U1为极化电压。

由基尔霍夫电流定律和电压定律可得Thevenin模型的电气关系：

(1)

Ut(t)=Uoc(t)-U1(t)-I(t)R0

(2)

1.2 等效电路模型

三元锂电池OCV与SOC之间的对应关系对电池SOC估计有着重要的影响。采用多项式对电池OCV-SOC的非线性特征进行拟合，不同阶次拟合曲线的均方根误差(root mean square error,RMSE)如表1所示，当多项式阶次低于5次时，拟合曲线不够精确，当多项式阶次高于6次时，拟合曲线精度提升并不明显且容易产生过拟合现象，所以选用6阶多项式拟合三元锂电池OCV-SOC曲线，拟合曲线如图2，其表达式如式(3)所示。

表1 不同阶次多项式拟合的均方根误差

(3)

图2 OCV-SOC拟合曲线

2 等效电路模型参数的辨识方法

2.1 遗忘因子递推最小二乘法

利用FFRLS辨识电池模型参数时，需将Thevenin模型转化为最小二乘法基本形式。对式(2)进行Laplace变化，得到电池阻抗的传递函数：

(4)

式中，τ=R1C1为RC环的时间常数。

采用双线性变化对式(4)进行离散化处理：

(5)

式中，

(6)

Ts为采样周期，本文Ts=1 s。

根据式(6)，可得k时刻的R0、R1、τ：

(7)

根据开路电压短时不变的假设[14]，式(5)可表示为：

Ut,k=(1-θ1)Uoc,k+θ1Ut,k-1+θ2Ik+θ3Ik-1

(8)

将式(8)转化为最小二乘基本形式：

(9)

式中：数据矩阵φk=[1，Ut,k-1，Ik，Ik-1]；参数矩阵θk=[(1-θ1)Uoc,k，θ1，θ2，θ3]，yk为输出值。

由于RLS会随着迭代次数的增加，出现数据饱和，为了弱化旧数据对辨识结果的影响，引入遗忘因子λ对数据施加时变加权系数，最新的数据用1加权，之前n个采样周期的数据用λn加权。取准则函数：

(10)

FFRLS的递推过程如下：

(11)

2.2 扩展卡尔曼滤波算法

非线性离散系统的状态空间方程为：

(12)

式中：xk+1为状态变量；yk为输出变量；f(·)为非线性状态方程；g(·)为非线性输出方程；wk为状态噪声；vk为观测噪声；wk、vk的均值为0，协方差分别为Qk、Rk。

(13)

式中，Ak、Bk、Ck、Dk分别为：

(14)

EKF算法的递推过程如下：

(15)

以xk=[Uoc,k，R0,k，R1,k，C1,k，I1,k]T为状态变量，yk=Ut,k为输出变量，uk=Ik为输入变量的三元锂电池非线性离散化状态空间方程如下：

(16)

式中，I1为流经极化电阻的电流。

线性化后的系统矩阵为：

(17)

式中，

(18)

线性化后的观测矩阵为：

(19)

3 电池SOC估计方法

利用EKF算法估计电池SOC需要建立关于SOC的离散化状态空间方程，安时积分法计算电池SOC的表达式为：

(20)

式中，SOC0为SOC初始值；η为库伦效率，可通过充放电试验获得，本文取η=1；CN为电池容量，可通过静态容量测试获得。

将式(20)离散化：

SOCk+1=SOCk-ηIkTs/CN

(21)

将式(1)和式(2)离散化：

U1,k+1=U1,ke-Ts/τ+IkR1(1-e-Ts/τ)

(22)

Ut,k=Uoc,k-IkR0-U1,k

(23)

将离散化的电池SOC表达式与式(22)和式(23)结合并进行一阶Taylor级数展开线性化，得到离散化状态空间方程：

(24)

式中：状态变量xk=[U1,k，SOCk]T；输出变量yk=Ut,k；输入变量uk=Ik。

分别利用FFRLS和EKF算法在线辨识电池模型参数，然后利用在线辨识的参数进行电池SOC估计，就形成了模型参数和SOC联合在线估计方法。

4 试验及仿真分析

试验电池选用LG公司生产的三元锂动力电池，主要技术参数为：额定容量27 Ah，额定电压3.7 V，充电截至电压4.2 V，放电截至电压2.75 V。试验平台采用LANBTS(BT-2016E)电池测试仪，采样周期为1 s，试验温度为25 ℃。

4.1 等效电路模型验证

在DST工况下，分别利用FFRLS和EKF算法进行电池模型参数辨识，电池初始SOC为1，辨识结果如图3—5所示。从图3—5可以看出，FFRLS和EKF算法辨识的电池模型参数整体上相差不大；但是FFRLS辨识的极化内阻R1和时间常数τ在电池放电初期和即将放电结束时出现了比较剧烈的抖动，而EKF算法的辨识结果较为平缓。2种算法在每个采样时刻辨识模型参数大约需要0.01 s，远小于本文采样周期(1 s)，实时性很好。

图3 欧姆内阻R0辨识结果

图4 极化内阻R1辨识结果

图5 时间常数τ辨识结果

将辨识结果分别代入式(9)和式(23)得到模型端电压，图6为模型端电压与实测端电压曲线，图7为端电压误差曲线。从图6和图7可以看出，FFRLS和EKF算法的模型端电压均能较好地跟踪实测端电压；FFRLS由于初始值设置导致开始放电时的端电压误差较大，但是FFRLS能迅速收敛误差，除去放电初始时的端电压误差，最大端电压误差为45.5 mV，平均误差为0.37 mV；EKF算法的最大端电压误差为24.6 mV，平均误差为3.02 mV。

图6 模型端电压与实测端电压曲线

图7 端电压误差曲线

4.2 电池SOC估计验证

同样使用DST工况验证FFRLS-EKF和DEKF联合算法的电池SOC估计结果，电池初始SOC为1。图8为SOC估计结果对比，图9为SOC绝对误差，图8中SOC真实值为试验获得。从图8和图9可以看出，2种联合算法均能较好地估计电池SOC， FFRLS-EKF联合算法的最大误差和平均绝对误差分别为2.49%和1.39%，DEKF联合算法的最大误差和平均绝对误差分别为2.62%和1.54%，FFRLS-EKF联合算法的电池SOC估计精度相比于DEKF联合算法更高。

图8 SOC估计结果

图9 SOC绝对误差

5 结论

1) 对比三元锂电池不同阶次OCV-SOC拟合曲线的均方根误差得出：多项式阶次低于5次时，拟合曲线不够精确；阶次高于6次时，拟合曲线精度提升不明显且容易产生过拟合现象。本文选用了精度较高且不易出现过拟合现象的6阶多项式拟合三元锂电池OCV-SOC曲线并用于联合算法估计SOC。

2) FFRLS算法中遗忘因子λ值越大，旧数据所占权重越大，系统跟踪效果越差，但参数辨识结果波动越小。本文经过多次调试后，选取λ=0.995时可避免参数辨识结果出现异常抖动，具有较好的收敛性。

3) 比较FFRLS和EKF算法在线辨识Thevenin模型的结果，2种算法均能较好地跟踪实测端电压，FFRLS算法的最大端电压误差为45.5 mV，平均误差为0.37 mV；EKF算法的最大端电压误差为24.6 mV，平均误差为3.02 mV。比较FFRLS-EKF和DEKF联合算法的三元锂电池SOC估计结果，在DST工况下，FFRLS-EKF和DEKF联合算法的最大误差分别为2.49%和2.62%，FFRLS-EKF联合算法的估计精度更高。