闫 妍，赵志欣

(长春师范大学数学学院，吉林 长春 130032)

0 引言

共因故障是在短时间内或者同一时间，多个相关部件由于共同原因而发生失效的现象.目前，复杂的工业系统中共因故障普遍存在，特别是在高可靠性设备中，如核设施和航空航天器等.一般地，具有共因故障的可修复系统虽然会增加系统可靠性建模分析的难度，但是其分析结果也更接近实际情况.结合共因故障，许多学者都对系统可靠性进行了广泛研究.SINGH[1]研究了具有检测不完全和共因故障的多部件并联系统，得到了系统有效性的测度；ALIZADEH[2]结合共因故障给出了冗余安全相关系统模型，分析了系统可靠性指标；CHENG[3]给出了具有逆变器、不可靠转换开关和共因故障太阳能电力系统模型，提出了可靠性指标显式解的算法；黄泰俊[4]提出了概率共因失效的多状态可靠度计算方法，解决了单元和系统状态丢失的问题.这些研究多集中于系统的可靠性及相关指标，本文将在文献[1]的基础上对系统非负时间依赖解的存在唯一性进行研究.

1 系统模型

系统由两个相同的部件并联组成，每个部件由C个串联可维修的独立组件构成.部件有两种状态，即工作状态和故障状态.系统有一个检测器，用于维修设备和更换设备.当部件发生故障时，检测器进行检测.如果检测器成功检测出部件中故障的组件，则维修故障组件；如果检测器未检测出部件中故障的组件，则更换该部件.维修遵循先坏先修的原则，维修后立即返回系统使用，同时假定修后如新.在维修期间，检测器监测维修过程.只有一个以上部件运行时共因故障才会发生.检测、维修、共因故障和更换相互独立，部件或组件的故障率均假定为常数，系统维修时间服从一般分布.

系统状态如下：状态S0表示两部件处于工作状态，系统正常运行且处于完好状态；状态S1，一个部件发生故障，另一个部件处于工作状态，系统正常运行；状态S2，检测器检测出故障部件中第c个组件故障，并对故障组件进行维修，另一部件处于工作状态，系统正常运行；状态S3，检测器未检测出部件中故障组件，对其进行更换，另一部件处于工作状态，系统正常运行；状态S4，对故障部件中的组件进行维修，另一部件发生故障并等待检测，系统失效；状态S5，部件发生故障并进行更换，另一部件发生故障并进行检测，系统失效；状态S6，部件发生故障并进行检测，另一部件发生故障并等待检测，系统失效；状态S7，部件发生故障并进行更换，另一部件发生故障并检测出第c个组件故障，故障组件进行维修，系统失效；状态S8，部件发生故障并进行替换，另一部件发生故障并等待更换，系统失效；状态S9，共因故障导致处于系统失效.结合文献[1]，利用随机过程并全概率分析的方法，系统可以用微分-积分方程组描述为

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

边界条件为

P9(0,t)=β(P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)).

(11)

初值条件为

P0(0)=1，其余为0.

其中，P9(x)绝对连续.D(B)=X，系统方程可以转化为Banach空间X中的抽象Cauchy问题：

(12)

2 主要结论

系统转化为抽象Cauchy问题后，为了证明该系统解的存在唯一性，先讨论系统算子的相关性质.

证明 对任意给定的Y=(y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9(x))∈X, 考虑方程(rI-A)P=Y, 即

结合边界条件, 解得

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由(13)～(22)并结合Fubini定理, 可以得到

定理2D(A)在X中稠.

由定理1、定理2和Hille-Yoside定理，算子A生成一个C0半群.易得‖BP‖≤N‖P‖，这里N=max{2α,pcpγ+qγ+α,μ+α,η+α,μ,η+pcpγ+qγ,pcpγ+qγ,η,η+μ,M}.显然算子B为有界线性算子.再由C0半群有界线性算子扰动定理，则可以得到如下定理.

定理3系统算子A+B生成一个C0半群T(t).

定理4系统算子A+B是耗散算子.

证明 对∀P=(P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9(x))T∈D(A)，取

这里，

结合边界条件，可得

[-(α+β+pcpγ+qγ)[P1]++2α[P0]++μ[P4]++η[P5]+]+[-(α+β+μ)[P2]++

pcpγ[P1]++η[P7]+]+[-(α+β+η)[P3]++qγ[P1]++μ[P7]++η[P8]+]+

[-μ[P4]++α[P2]++pcpγ[P6]+]+[-(η+pcpγ+qγ)[P5]++α[P3]++qγ[P6]+]+

[-(pcpγ+qγ)[P6]++α[P1]+]+[-(η+μ)[P7]++pcpγ[P5]+]+[-η[P8]++qγ[P5]+]-

由定理3、定理4和Philps定理[6]，A+B生成一个正压缩C0半群T(t).

定理5系统(12)存在唯一非负时间依赖解，且‖P(t,·)‖=1.