赣南师范大学数学与计算机科学学院(341000) 曾建国

1 引言

为了探求四面体中共点面问题的证明方法,人们作了大量的探索研究,也涌现出一大批研究成果. 例如,人们将三角形塞瓦(Ceva)定理及逆定理[1]类比推广至四面体中,已得到下面的结论(参见图1)

上述结论为证明四面体中有关6 面共点问题提供了重要的方法和依据. 但有些美中不足的是: 命题2 给出的四面体中6 面共点的充分条件显得比较繁琐,且命题2 与命题1并非互逆命题(从而并未得到6 面共点的充分必要条件);另外,在实际应用中,应用命题2 证明四面体中6 面共点问题时无法一步到位,往往需要进行繁琐的分类讨论,不够便捷.笔者在以往的研究[5]中对此体会颇深.

本文尝试探求四面体中有关6 面共点的新的充要条件,并举例说明其应用.

2 四面体六面共点的一个充要条件

为便于叙述,本文约定: 四面体A1A2A3A4中,顶点Ak所对侧面记为Δk(1 ≤k≤4).

苏化明在其论著“四面体”中证明了下面的结论(参见图1).

命题3[6]设Bij是四面体A1A2A3A4的棱AiAj上一点(1 ≤i ＜j≤4), 如果每个侧面Δk上的三条塞瓦线(侧面三角形Δk的顶点与对边上点Bij的连线, 下同) 都分别交于一点Mk(1 ≤k≤4)(例如侧面Δ1内有A2B34、A3B24、A4B23交于一点M1, 等等) , 那么A1M1、A2M2、A3M3、A4M4必交于一点M.

命题3 的结论可以拓广.

一方面,题设中Bij是四面体A1A2A3A4的“棱AiAj上一点”可以放宽为“棱AiAj所在直线上一点”;另一方面,由结论“A1M1、A2M2、A3M3、A4M4交于一点M”可得“6 个平面A1A2B34、A1A3B24、A1A4B23、A2A3B14、A2A4B13、A3A4B12交于一点M”. 而且,反过来结论也成立. 即有关于四面体中6 面共点的一个充要条件如下：

定理1 设Bij是四面体A1A2A3A4的棱……