管 萍，吴希岩，戈新生

(北京信息科技大学 自动化学院，北京 100192)

现代航天器常带有太阳帆板、大型天线桁架等大型挠性附件，大型挠性结构会加剧挠性附件振动使得姿态控制问题难于处理。同时，重力梯度、太阳辐射、地球磁场等各种环境干扰力矩不断影响着航天器的运行过程。并且，随着航天器的不断发展，为确保航天器在性能极限下安全可靠地运行，对于航天器在轨大角度姿态机动的控制精度要求也越来越高。所以，挠性航天器的高精度姿态控制以及有效的振动抑制是目前仍在解决的难点问题[1]。

近几年来，国内外学者们将很多有效的控制方法应用到航天器的姿态控制中，并取得了较好的控制效果。文献[2]提出了一种自适应模糊PID控制器，使航天器系统具有较好的控制性能。文献[3]针对挠性航天器进行大角度姿态快速机动中的姿态控制问题，设计了基于期望补偿的自适应鲁棒姿态控制器。文献[4]提出一种基于模糊控制原理的改进型自抗扰控制方法，实现了挠性航天器较好的姿态控制。文献[5]采用自适应鲁棒方法设计了姿态控制器，有效地降低了干扰和转动惯量不确定性对挠性航天器系统性能的影响。文献[6]针对挠性航天器的姿态快速机动问题，设计了基于终端滑模的有限时间控制律。文献[7]针对一种带有挠性附件和液体晃动的深空探测航天器姿态控制问题,提出了自抗扰控制律。然而在实际航天任务中，航天器常会受到如执行器受限、燃料受限、以及躲避禁飞区时姿态角受限等系统的约束限制，上述控制器未考虑实际系统对控制力矩的约束，在实际运行中会影响控制性能[8]。模型预测控制(model predictive control,MPC)通过在线优化求解控制律，在线优化过程中，将各种约束条件进行充分的考虑，从而得到最优的性能指标，并可满足各种约束条件的控制算法[9]。MPC具有简单可重构性、层次灵活性等优点，已被广泛应用于航天控制中。文献[10]将线性时变模型预测控制应用于欠驱动卫星的姿态控制器设计，使卫星能够以较高的精度达到期望角度。文献[11]将线性时变模型预测控制方法应用于磁驱动卫星的姿态控制中，得到了较好的控制效果。然而上述方法均将航天器预测模型进行部分线性化，很难获得较为满意的控制效果。当系统的实际模型为非线性时，采用非线性动态模型作为预测模型会更加准确，因此会得到较好的控制性能[12]。文献[13]将非线性模型预测控制(nolinear model predictive control,NMPC)应用于航天器交会和近距离机动的相对运动控制问题中，快速准确地进行目标控制，然而未考虑航天器存在扰动的情况。文献[14]针对敏捷小型卫星设计了NMPC控制器，考虑了外部扰动，使姿态角具有较高的控制精度和响应速度。然而此方法未考虑挠性附件对中心刚体的影响，挠性附件振动引起的扰动会影响控制精度。所以在针对挠性航天器进行姿态控制器设计时，需考虑具有强抗干扰能力的控制器。其中，NMPC是有效的控制方法之一。而在具有扰动的情况下，基于Tube的模型预测控制可使被控系统的实际状态保持在以标称轨迹为中心的Tube不变集内。因此设计基于Tube的模型预测姿态控制器是处理挠性附件振动引起扰动的有效方法之一。然而文献[15]仅将所设计的基于Tube的模型预测控制方法应用于二阶非线性系统中，其控制系统稳定性的详细证明及其有限时间收敛性问题还有待于进一步探究。

尽管上述方法可以增强系统的鲁棒性同时有效降低包括挠性振动在内的不确定性对系统的影响，但属于集中控制，仅依靠姿态控制器去抑制挠性附件振动很难得到满意的效果[16]。因此有必要对挠性振动问题设计主动振动控制器。文献[17]与文献[18]分别采用分力合成与输入成型主动振动控制技术减少了挠性模态振动。然而，分力合成与输入成形主动振动控制方法均属于前馈控制方法，系统中存在的干扰会影响控制效果。采用压电智能材料的闭环反馈主动振动控制方法灵活性高，能够有效应对外部扰动。其中滑模控制对系统扰动具有较强的鲁棒性和抗干扰能力，可应用于主动振动控制器设计中。然而传统滑模控制具有切换项和指数趋近律，因此存在着抖振和收敛时间较长的问题。终端滑模与传统滑模相比具有有限时间收敛、稳态跟踪误差小等优点，但仍存在着抖振和奇异性问题[19]。全阶滑模控制将常规变结构中的切换项通过微分环节构成新的切换函数，在实现滑动状态时具有连续性，有效的降低了抖振，且由于控制律中不再包含常规终端滑模中状态变量的负指数项，所以避免了控制系统的奇异性[20]。因此设计全阶滑模主动振动控制器可有效处理挠性附件引起的振动。

本文针对具有控制力矩约束的挠性航天器姿态机动控制这类高阶非线性系统，设计了基于Tube的模型预测姿态控制器，给出了详尽的控制系统稳定性证明，同时还证明了所设计的控制系统可在有限时间内稳定。所设计的Tube-MPC姿态控制器既具有MPC良好的优化能力，又能有效处理扰动对系统的影响，增强系统的鲁棒性，使姿态角实现快速跟踪。在挠性振动抑制方面，设计了全阶滑模主动振动控制器，全阶滑模控制不仅具有传统滑模控制鲁棒性强，参数变化不敏感等优点且无奇异性问题，又能在有效消除抖振的同时使挠性振动模态在有限时间内快速衰减。仿真结果表明，所设计的基于Tube的模型预测姿态控制器和全阶滑模主动振动控制器能够在挠性航天器大角度机动时，使姿态角快速跟踪期望角度，并且有效抑制了挠性模态振动和外部扰动。

1 挠性航天器的数学模型

以往常用欧拉角和四元数表示航天器的姿态参数，但欧拉角存在大角度奇异问题，四元数虽无奇异性，可存在冗余度，所以本文采用既无奇异性又无冗余度的修正的罗德里格斯参数MRPs(modified rodrigues parameters，MRPs)来表示姿态参数，MRPs定义为

(1)

式中：σ为航天器相对惯性坐标系的MRPs姿态描述，σ=[σ1σ2σ3]T;p为欧拉主轴向量;θ为欧拉旋转角。

姿态运动学方程为

(2)

(3)

采用压电智能材料进行主动振动控制的挠性航天器动力学方程为[21]

(4)

(5)

式中:J为航天器的转动惯量矩阵;δ∈RN×3为航天器刚体与柔性附件的耦合矩阵;η∈RN×1为柔性附件的模态坐标向量;u∈R3为控制输入力矩;d∈R3为包括重力梯度、太阳辐射、地球磁场等各种环境干扰力矩;C=2ξΩ为阻尼矩阵;K=Ω2为刚度矩阵;ξ和Ω分别为振动模态的阻尼比和自然频率;δa∈RN×N为压电作动器与柔性附件的耦合矩阵;up∈RN×1为压电作动器的输入电压。

将运动学方程(式(2))和动力学方程(式(4))共同构成受扰动的挠性航天器系统为

(6)

将连续时间的挠性航天器系统(式(6))离散化可表示为

x+=f(x,u)+Dk

(7)

系统所受控制力矩约束

u∈,≜{u∈R3×1|-U≤ui≤U,i=1,2,3}(8)

对于系统(式(7))，如不考虑复合扰动Dk，称为标称系统

z+=f(z,v)

(9)

式中：z∈⊂R6×1为标称系统状态，为标称系统所对应的正不变集;z+为z的下一时刻状态，当系统状态到达目标状态z=xd时，f(xd,ud)=xd为系统的平衡点。

标称系统控制输入约束为

v∈⊂

(10)

定义

(11)

对式(11)求导，得到

(12)

将式(12)代入式(5)

(13)

将式(13)定义为

(14)

式中：g=-Cψ-Kη+Cδω;h=-δa。

本文的控制目标为：针对挠性航天器(式(6))，设计满足控制输入约束的姿态控制器，有效处理扰动对系统的影响，实现姿态角期望指令的快速精确跟踪；为有效的抑制挠性附件引起的振动，设计主动振动控制器，在有限时间内，使挠性振动衰减到零。

2 基于Tube的模型预测姿态控制器设计

基于Tube的模型预测姿态控制器的主要设计内容为：设计对于原点稳定的标称轨迹和辅助控制器，使得实际系统的状态轨迹在有限时间到达所设计的标称轨迹，并沿着标称轨迹快速收敛于原点。其中，标称轨迹由MPC作用下标称系统状态从初始状态到达目标状态并最终稳定于平衡点产生的；辅助控制器使实际系统状态处于以标称轨迹为中心的Tube不变集中，并驱使实际系统从任意初始状态出发在有限时间内到达标称轨迹上，从而使实际系统状态可以沿着标称轨迹最终收敛至原点。

2.1 标称轨迹

标称系统在模型预测控制律作用下从初始状态到达平衡点产生标称轨迹，标称轨迹的优化目标为

则标称轨迹的优化问题为

z0(z,xd)={z0(0;z,xd),z0(1;z,xd),…,z0(N;z,xd)}(18)

z*(z,xd)={z0(0;z,xd),z0(1;z,xd),z0(2;z,xd)，

…}≜{z0(z,xd),xd,xd，…}

(19)

v*(z,xd)={v0(0;z,xd),v0(1;z,xd),v0(2;z,xd)，

…}≜{v0(z,xd),ud,ud,…}

(20)

引理[22]：考虑系统z+=f(z,v)的状态z∈⊂Rn，如果存在α1(·)，α2(·)，α3(·)函数，使得连续函数V∶Rn→R+满足如下条件

V(z)≥α1(|z|)

(21)

V(z)≤α2(z)

(22)

V(z+)-V(z)≤-α3(|z|)

(23)

定理1：针对标称系统式(9)，采用所设计的MPC控制律式(17)，选取满足优化问题式(16)的正定权值矩阵，Q，R，Qf，则控制律式(17)可使标称系统式(9)在满足控制输入约束式(10)的条件下对于原点指数稳定。

基于引理可推导出定理1，因定理1与定理2的证明过程相似，在此定理1的证明步骤可简要概述为：

(24)

(25)

如果终端代价函数Vf(·)∈f，那么可得到的递减性

(26)

2.2 辅助控制器

辅助控制器的目的是使实际系统状态处于以标称轨迹为中心的Tube内，从而驱使实际系统的状态到达上述定义的标称轨迹上，抵消扰动对实际系统的影响，并最终沿着标称轨迹收敛于原点。则辅助控制器的优化问题为

(27)

(28)

求解PN(x,z)得到控制序列和对应的最优状态序列为

u0(x,z)={KN(x,z),u0(1;x,z),…,u0(N-1;x,z)}(29)

x0(x,z)={x,x0(1;x,z),…,x0(N;x,z)}

(30)

式中，第一个元素KN=u0(0;x,z)为应用于模型预测控制的控制律。

假设：在系统x+=f(x,u)中存在控制输入u∈，终端代价函数Vf∈Xf，则存在

Vf(x+)-Vf(x)≤-l(x,u)

(31)

定理2：针对带有扰动的实际系统式(7)，采用所设计的辅助控制律式(29)，选取满足优化问题式(27)的正定权值矩阵，Q，R，Qf,则控制律式(29)可使实际系统式(7)在满足控制输入约束式(8)条件下有限时间内趋于稳定。

式中：c1>0;λmin{Q}为Q的最小特征值。

当N=1时，由式(28)可得

(33)

(34)

(35)

(36)

当N=j+1时，由式(28)可得

(37)

由于Kj不一定为Pj+1(x,z)的最优解，那么可得

(38)

由式(36)可推出

(39)

因此,

(40)

式中:c2>c1>0;λmax{P}为P的最大特征值。

其中,

u0(x,z)=[u0(0;x,z),u0(1;x,z),…,u0(N-1;x,z)](42)

x0(x,z)=[x0(0;x,z),x0(1;x,z),…,x0(N;x,z)](43)

由式(41)可得

(44)

Vf[x+(N),z]

(45)

其中，

u0(x+,z)=[u0(0;x+,z),u0(1;x+,z),…,u0(N-1;x+,z)](46)

x0(x+,z)=[x0(0;x+,z),x0(1;x+,z),…,x0(N;x+,z)] (47)

(48)

则

l[x0(N)-z(N),u-v]+Vf[x+(N),z]

(50)

由式(31)可得

(51)

(3)有限时间稳定性证明

由式(51)可得

(52)

通过不断迭代式(52)可得

由式(32)、式(40)可得

(54)

根据上述设计的基于Tube的模型预测姿态控制器，基于Tube的模型预测控制算法可总结如下：

步骤2求解辅助控制器的优化问题PN(式(27))得到当前控制律u=KN。

步骤3将控制律u应用到实际系统(式(6))中得到对应的系统状态。

3 主动振动控制器设计

为使挠性附件振动进一步得到抑制，将基于压电智能材料的主动振动控制应用于挠性航天器的振动抑制中，从而提高挠性航天器快速机动时的控制精度。本文采用在挠性航天器表面安装压电陶瓷作动器的全阶滑模控制方法进行主动振动控制器设计。

根据式(14)设计滑模面为

(55)

则

up=ueq+h-1un

(56)

(57)

(58)

m=-(kd+kT+n)sgns

(59)

式中：式(58)等价于一个低通滤波器；m为滤波器的输入;un为滤波器的输出;T为滤波器的带宽;ueq为等效控制；un(0)=0;参数kT,kd,n和T均为正定的。

定理3：对于挠性系统式(14)，在全阶滑模控制律式(56)的作用下，选取合适的控制参数，那么在有限时间内可以使挠性模态η收敛到零。

证明：将式(14)和式(56)代入式(55)，得到

将式(57)代入式(60)，得到

s=un

(61)

式(58)解为

un(t)=[un(t0)+(1/T)(kd+kT+n)sgns]et-t0-

(1/T)(kd+kT+n)sgns,T≠0

(62)

当t0=0时，un(0)=0，由式(62)可得

(63)

将式(63)等式两边同时乘sT，得到

(64)

则

(65)

从而可得

(66)

取李雅普诺夫函数为

(67)

对式(67)求导

(68)

将式(59)代入式(68)，得到

(69)

因此

(70)

通过式(66)可得到

(71)

基于以上分析，本文的主要控制思想是首先求解标称模型预测控制问题(式(16))生成标称轨迹，再将通过辅助控制器得到的控制律(式(29))应用于实际系统得到实际状态，使实际状态保持在以标称轨迹为中心的Tube不变集内，从而驱使实际轨迹态到达标称轨迹上，并最终收敛至原点，使姿态角快速稳定地达到期望姿态且有效减少扰动对姿态角的影响，同时利用全阶滑模主动振动控制器(式(56))抑制挠性附件带来的振动，使挠性振动模态衰减趋于零。

4 仿真研究

将本文提出的Tube-MPC姿态控制器和全阶滑模主动振动控制器应用于挠性航天器中，为验证控制器的有效性，进行仿真验证与分析。选取文献[24]的挠性航天器模型参数：

转动惯量J为

挠性航天器的中心刚体和挠性附件间的耦合矩阵为

压电作动器与挠性附件间的耦合矩阵为

本章考虑具有四阶挠性模态的情况，自然频率为Ω1=0.768 1 rad/s，Ω2=1.103 8 rad/s，Ω3=1.873 3 rad/s，Ω4=2.549 6 rad/s，阻尼为ξ1=0.005 6，ξ2=0.008 6，ξ3=0.013 0，ξ4=0.025 0。

在仿真中，初始角速度的值为ω(0)=[0 0 0]Trad/s；期望值为ωd=[0 0 0]T;初始MRPs值为σ(0)=[-0.224 25 0.672 78 -0.448 52]T；期望值为σd=[0 0 0]T。

干扰力矩为

控制力矩受限为-30(Nm)≤u≤30(Nm)，预测时域N=5。

针对挠性航天器分为不采用主动振动控制器和采用主动振动控制器两种情况进行仿真研究。

当不采用主动振动控制器时，为了加以比较，姿态控制器分别采用本文所设计的基于Tube的模型预测控制器和经典的非线性模型预测控制器，对两类控制系统做仿真研究，仿真结果如图1～图4所示。在NMPC控制下的姿态角和角速度响应时间在40 s左右，挠性附件振动较大，从而使跟踪精度较低，稳态误差较大；而在基于Tube的模型预测控制器下的姿态角和角速度响应时间在30 s左右，挠性附件振动较小，从而使跟踪精度较高，稳态误差较小，系统的实际状态可快速跟踪上标称轨迹的姿态，并最终收敛至原点，可有效降低扰动对系统的影响。同时从图4中可以看到，仅依靠基于Tube的模型预测姿态控制器，航天器的挠性模态也得到了较好的控制，但挠性振动依然无法快速衰减。因此，有必要将主动振动控制器应用到振动抑制中。

图1 姿态角变化曲线Fig.1 The response of MRPs

图2 角速度变化曲线Fig.2 The response of angular velocity

图3 控制输入变化曲线Fig.3 The response of control torque

图4 挠性模态变化曲线Fig.4 The response of vibration displacements

当采用主动振动控制器时，为验证所设计的全阶滑模振动控制器的有效性，主动振动控制器分别采用本文所设计的全阶滑模控制器和常用的模态速率反馈(modal velocity feedback，MVF)控制器(文献[25])，而姿态控制器均采用NMPC控制器。对这两类控制系统做仿真研究，仿真结果如图5～图9所示。在MVF控制下的挠性附件振动较大，挠性模态在25 s左右衰减至零，导致对应的姿态角和角速度收敛较慢；在全阶滑模控制下的挠性附件振动较小，挠性模态均在15 s内快速衰减至零，从而使对应的姿态角和角速度收敛速度较快，可有效抑制挠性模态抖振，具有良好的振动抑制效果。故在姿态控制器均采用NMPC控制器时，主动振动控制采用全阶滑模控制器可使挠性模态快速收敛至零，从而使姿态角和角速度比采用MVF主动振动控制时的收敛速度更快，跟踪精度更高。

图5 姿态角变化曲线Fig.5 The response of MRPs

图6 角速度变化曲线Fig.6 The response of angular velocity

图7 控制力矩变化曲线Fig.7 The response of control torque

图8 挠性模态变化曲线Fig.8 The response of vibration displacements

图9 控制电压变化曲线Fig.9 The response of input voltage

为进一步验证所设计的Tube-MPC姿态控制器与全阶滑模振动控制器相结合对挠性航天器姿态机动控制的有效性，姿态控制器分别采用基于Tube的模型预测控制器和NMPC控制器，主动振动控制器均采用全阶滑模控制器，对这两类控制系统做仿真研究，仿真结果如图10～图14所示。在NMPC和全阶滑模振动控制下，初始阶段的前四阶挠性振动模态最大值分别为0.20，0.17，0.08，0.05，挠性模态在15 s左右衰减至零，对应的姿态角和角速度收敛时间约为30 s；在基于Tube的模型预测控制和全阶滑模振动控制下，初始阶段的前四阶挠性振动模态最大值分别为0.080，0.050，0.015，0.010，挠性模态在5 s内快速衰减至零，对应的姿态角和角速度收敛时间约为20 s。故从仿真结果图10～图14可看出，所设计的基于Tube的模型预测姿态控制和全阶滑模振动控制，可有效抑制挠性模态抖振，具有更好的振动抑制效果，从而使姿态角和角速度收敛速度更快，跟踪精度更高。

图10 姿态角变化曲线Fig.10 The response of MRPs

图11 角速度变化曲线Fig.11 The response of angular velocity

图12 控制力矩变化曲线Fig.12 The response of control torque

图13 挠性模态变化曲线Fig.13 The response of vibration displacements

图14 控制电压变化曲线Fig.14 The response of input voltage

由上述仿真结果可看出，在具有挠性附件振动和外部扰动作用时，基于Tube的模型预测控制可使实际系统状态保持在以标称轨迹为中心的Tube内，抗干扰能力较强，且实际系统状态可快速到达标称轨迹上，并最终收敛至原点，故基于Tube的模型预测姿态控制系统的响应快，稳态误差小，得到比NMPC作用下更好的控制效果。而本文所设计的全阶滑模主动振动控制器，在有效抑制传统滑模抖振的同时使挠性振动模态在有限时间内快速衰减为零。因此本文所提出的控制方法在具有基于Tube的模型预测姿态控制器的优势下，结合全阶滑模主动振动控制器，能更有效地抑制挠性附件振动，从而使姿态控制系统响应时间更短，跟踪精度更高，且挠性振动衰减更快，具有较好的动、稳态特性。

5 结 论

本文针对挠性航天器大角度姿态控制问题，将Tube-MPC控制理论、全阶滑模控制理论、主动振动控制技术结合应用于挠性航天器系统。在有挠性附件振动和外部扰动作用时，基于 Tube的模型预测姿态控制器可使实际系统状态保持在以标称轨迹为中心的Tube不变集中，并驱使实际系统状态到达标称轨迹上，从而沿着标称轨迹最终收敛至原点，抗干扰能力较强，使姿态角实现快速跟踪。同时设计了全阶滑模主动振动控制器，全阶滑模有效减少了挠性附件的振动。仿真结果表明，所提出的Tube-MPC姿态控制系统，可确保振动模态快速收敛到零，既能快速而稳定的跟踪期望指令，又能保证良好的控制精度。