李媛媛 张绍成 花巍 刘畅 刘世兴† 郭永新

（1.辽宁大学物理学院，沈阳 110036）（2.辽宁大学空间科学与技术研究院，沈阳 110036）（3.辽宁大学信息化中心，沈阳 110036）（4.沈阳师范大学物理科学与技术学院，沈阳 110036）

引言

非标准动力学理论有两个分支：非标准Lagrange动力学和非标准Hamilton动力学.非标准Lagrange量（NSL）或非自然Lagrange量在Arnold的经典力学的数学方法[1]中首次被提到，非标准Lagrange量与以动能和势能项为特征的经典Lagrange量不同.所以应用也相当广泛，近期El-Nabulsi[2]通过非标准 Lagrange 函数在等离子体和太阳物理学中的一些应用，探索得到了磁流体动力学等离子体模型的一些特征.非标准Hamilton动力学的工作起源于Dyson对Feynman所做工作的报道，他指出Poisson括号关系对物理系统中允许的力的类型有很强的约束[3].Hojman 和 Shepley 将Feynman的工作思想进行推广拓展[4].并且能够表明一组交换坐标的一致量化可以导致这些坐标中的Lagrange量，并为一阶运动方程建立了Hamilton理论[4-6].非标准动力系统在描述非线性演化方程、变系数耗散动力系统、Friedmann⁃Robertson⁃Walker模式、经典相对论量子化问题等方面得到了越来越多的关注和广泛的应用[8-16]，等等.

理学和力学中的一个基本原理，可以推导出物理学、力学和工程中的运动微分方程，Hamilton原理也可表示为的形式；其中是标准 Lagrange 量和标准 Hamilton 量，qi是广义坐标，是与广义坐标所对应的广义速度和广义动量，但是非标准Hamilton量不同于标准Hamilton量，非标准Hamilton量通常不表示为动能与势能和的形式.在基于非标准Hamilton量的非线性动力学[17]中，介绍了指数形式的Hamilton量，并利用等时变分的方法得到了非标准Hamilton运动方程，并研究了其在非线性动力学中的应用.之后在非标准Hamilton运动方程的基础上，有学者对非标准Hamilton函数动力学系统的Norther对称性进行了讨论，并建立了非标准Hamilton函数动力学系统的Norther定理[18].El⁃Nabulsi[19]利用对数Lagrange函数以及对数Hamilton函数得出相应的运动方程和修正的Boltzmann方程，讨论了它们在恒星动力学中的应用，也就是说非标准Lagrange函数以及非标准形式的Hamilton函数可以应用到天文学领域中.在本文中，将选择一个幂律Hamilton作用量，讨论运动方程及其在非线性动力学和控制理论中的应用.

本文结构如下：在第1节中，利用等时变分的方法得到幂律Hamilton量的运动方程.在第2节中，给出了非标准Hamilton方程在非线性动力系统和控制问题中的应用，结论在第3节中给出.

1 幂律Hamilton方程

2 幂律Hamilton方程的应用

2.1 显含时间的Hamilton函数

如果假设初值条件为q(0)=1，p(0)=1，图1给出了方程（13）的解随时间的变化，图2给出了根据不同的γ取值处在q-p平面上时方程的解（12）的运动轨迹.在图2中，可以看出对于不同的γ取值，物体在q-p平面上具有不同的运动轨迹.它展现了参数γ控制这个系统的运动.

图1 当γ=0方程（13）的解随时间的变化Fig.1 Variations of the solution of equation（13）with time when γ=0

图2 根据γ的取值方程的解（12）在平q-p面上的轨迹Fig.2 Behavior of solutions（12）on the plane q-p with different γ-value.

假设初始条件为q(1)=1，p(1)=1，图3给出了当γ=2时方程（15）的解随时间的变化，图4给出了不同的γ取值处在q-p平面上时方程解（16）的运动轨迹.

图3 当γ=2时方程（15）的解随时间的变化Fig.3 Variations of the solution of equations（15）with time whenγ=2

图4 根据γ的取值方程的解（16）在q-p平面上的轨迹Fig.4 Behavior of solutions（16）on the planeq-pwith differentγ-value

取初始条件为q(0)=1，p(0)=0，图5给出了当γ=2时方程（17）的解随时间的变化，图6给出了不同的γ取值处在q-p平面上时方程解（18）的运动轨迹.

图5 当γ=1时方程（17）的解随时间的变化Fig.5 Variations of the solution of equations（17）with time whenγ=1

图6 根据γ的取值方程的解（18）在q-p平面上的轨迹Fig.6 Behavior of solutions（18）on the planeq-pwith differentγ-value

2.2 不显含时间的Hamilton函数

例4取非标准Hamilton函数H(p，q)=pq+q，利用方程（7），得到Hamilton方程为

方程（19）的解析解为，

图7 当γ=2时方程（19）的解随时间的变化Fig.7 Variations of the solution of equation（19）with time when γ =2

图8 根据γ的取值方程的解（20）在q-p平面上的轨迹Fig.8 Behavior of solutions（20）on the planeq-p with differentγ-value

图9 当γ=0和γ≠0时Hamilton函数随时间的变化Fig.9 Variations ofHwith time whenγ=0andγ≠0

2.3 不显含q的Hamilton函数

通过表达式（23），可以发现尽管Hamilton函数H不显含q，p也不是一个守恒量.假设初始条件为q(0)=-1，p(0)=1，图10给出了当γ=0.2 时方程（22）的解随时间的变化，图11给出了不同的γ取值处在q-p平面上时方程解（23）的运动轨迹.

图10 当γ=0.2时方程（22）的解随时间的变化Fig.10 Variations of the solution of equation（22）with time when γ=0.2

图11 根据γ的取值方程的解（23）在q-p平面上的轨迹Fig.11 Behavior of solutions（23）on the planeq-p with differentγ-value

3 结论

在本文中，通过使用等时变分的方法，成功得到了用于描述一种以幂律Hamilton函数为特征的特殊动力学系统运动方程，称之为幂律Hamilton方程.在新的方程中，有一个可调参数γ称为控制参数，可以通过调整γ来改变物体运动或动力学系统轨迹.幂律Hamilton方程在本质上完全不同于标准Hamilton方程，但是在某些特定条件下该方程可以简化为标准Hamilton方程.特别是对于耗散动力系统、非线性演化方程、控制问题等，非标准Hamilton方程显然可以将其简化，以简单的方法来解决复杂的动力学问题和可控问题.