濮安山，刘兰茵

数学推理研究三十年载文分析——以《数学教育学报》《数学通报》载文为例

濮安山，刘兰茵

（扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002）

为了更好地开展数学教育领域数学推理相关理论研究与实践探索，有必要分析近30年《数学教育学报》和《数学通报》两个期刊中数学推理研究的文章，主要分析期刊发文量、载文被引、载文主题、研究内容、研究方法、研究对象和作者来源．得到以下结论：近30年来，数学推理研究的期刊发文量整体呈上升趋势；两个期刊中关于数学推理研究的论文质量水平比较高，对于该领域的研究深度有待进一步提升；合情推理、几何推理和数学核心素养为数学推理研究的重点和热点，对数与代数、概率与统计、数学活动等内容研究不足；关于数学推理的相关概念及其关系没有统一的界定；研究方法逐步呈现多元化，混合研究逐步成为该领域研究方法的新特点和趋势；研究对象主要为初、高中学生，对学前、小学生、大学生、教师等关注不够；作者主要来自高等院校，一线教师较少，高校研究者与一线教师之间的合作性不强．

数学推理；载文；合情推理；演绎推理；逻辑推理

1 问题提出

推理是由一个或几个已知判断做出新判断的思维过程，是一种重要的思维形式．而数学推理是学生学习的基本思维形式，是数学证明的基础．推理在中国中小学数学课程标准中的表述虽有不同，但一直都是课程目标的重要内容．2001年版的《义务教育数学课程标准》实验稿表述为“推理能力”，2011年版《义务教育数学课程标准》课程目标中表述为“发展合情推理与演绎推理能力”[1]．2003年版《普通高中数学课程标准（实验）》课程目标中表述为“推理论证”，是学生的基本能力之一．2017年版的《普通高中数学课程标准》课程目标中表述为“逻辑推理”，是6个数学核心素养之一，并定义为：“逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其它命题的素养．”[2]

国际数学教育领域也很重视数学推理研究．国际数学与科学趋势研究（TIMMS）测评框架中自2003年起加入了认知维度，推理能力一直作为认知领域3个子维度之一[3]．2019年经济合作与发展组织（OECD）发布的PISA2021数学素养测评框架中也突出“数学推理”在数学学习过程中的核心地位，它包括6个要素：（1）理解数字系统和它们的代数性质，（2）领会抽象和符号表征的力量，（3）理解数学结构及其规律，（4）识别数量之间的函数关系，（5）使用数学模型理解现实世界，（6）理解变化是统计学的核心[4]．由此可见，数学推理是国内外数学教育研究的热点之一．

《数学教育学报》和《数学通报》是国内数学教育方向的顶级期刊，是北大核心期刊目录中仅有的两本数学教育期刊，刊载的论文是数学教育领域研究水平最高的．探讨两本期刊近30年关于数学推理研究发表的论文，有助于了解数学推理研究的现状、特点和趋势，明确数学推理研究的发展方向．由于国内外组织与刊物发表的论文关于推理的表述不尽相同，这里分析的论文包括主题为合情推理、逻辑推理等词语的文章．

2 研究设计

2.1 研究对象

以《数学教育学报》和《数学通报》为主要文献来源，在中国知网资源总库的高级检索界面“主题”一栏输入“推理”，在“文献来源”一栏分别输入“数学教育学报”或“数学通报”，在“发表时间”一栏设定为“19900101—20200901”，共检索到相关期刊论文180篇，剔除无关文献后得到113篇．

2.2 研究方法

从期刊发文量、载文被引、载文主题、研究内容、研究方法、研究对象和作者来源7个维度对近30年的期刊论文进行计量分析，其中载文被引、研究对象和作者来源3个维度主要采用量化分析；期刊发文量、研究方法2个维度主要采用比较分析；载文主题主要借助CiteSpace软件进行可视化分析；研究内容主要采用质性分析．载文分析模型如图1所示．

3 研究结果及分析

3.1 期刊发文量

中国教育大约每十年进行一次课改，将近30年关于数学推理的期刊论文发文量划分为1990—2000、2001—2010、2011—2020三阶段进行统计比较，以便更好地把握数学推理研究的期刊发文变化趋势，包括研究阶段、研究现状及对未来研究发展的预测[5-6]．由图2可知，1990—2000年共发表论文27篇，2001—2010年共发表37篇，2011—2020年11月6日共发表49篇，整体呈现逐步上升的趋势；1992年、2003年、2017年之后出现迅速增长趋势，2019年期刊发文量达到顶峰16篇．

图1 数学推理研究30年载文分析模型

图2 期刊发文量统计

上述统计结果表明，数学推理的研究逐步受到人们的重视．1992年颁布的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》、2003年和2017年版的《普通高中数学课程标准》对于数学推理的研究起到了较大的推动作用．特别是，2017年版“课标”中将逻辑推理作为六大数学核心素养以后，关于推理的文章明显增多．

3.2 载文被引

分析期刊论文被引用情况，特别是被CSSCI、北大核心期刊引用和人大复印转载情况，可以反映出数学教育两大期刊《数学教育学报》和《数学通报》对于数学推理研究的贡献，更能反映出这两个期刊关于数学推理研究的论文水平．由表1可知，截止到2020年11月1日，被CSSCI期刊论文共引用122次，平均每篇被引1.31次；被北大核心期刊论文共引用180次，平均每篇被引1.59次；被其它期刊论文引用次数总计1 779次，平均每篇被引15.74次，被人大复印转载的期刊论文有11篇，占总发文量的9.73%．

《数学教育学报》和《数学通报》2020年平均复合影响因子为1.91．由上述统计可知，平均每篇期刊论文被引15.74次．这说明，两个期刊中关于数学推理研究的论文质量远远超过期刊整体水平，也可以看出研究者对数学推理的关注度比较高．被CSSCI和北大核心期刊引用频次反映出两大期刊关于数学推理论文的质量水平是比较高的．同时，也必须指出，对数学教育领域两大核心期刊关于数学推理研究的统计，不能代表所有关于数学推理研究的论文水平．事实上，此类文章被人大复印平均转载率不到10%，表明数学推理研究的深度有待进一步提升．

表1 载文被引统计

注：因为CSSCI自1998年创立，考虑到被CSSCI期刊引用次数可能会受CSSCI期刊创立年限影响，所以平均被CSSCI引用频次（1.31）为1998—2020年《数学教育学报》和《数学通报》内关于数学推理研究论文总被引频次（122次）除以1998—2020年《数学教育学报》和《数学通报》内关于数学推理研究论文总篇数（93篇）．

3.3 载文主题

3.3.1 关键词可视化分析

关键词反映了论文的中心和主要内容，通过对期刊论文关键词进行可视化分析可以了解近30年关于数学推理论文研究的主题及重点[7]．运用CiteSpace软件绘制关键词知识图谱，如图3所示，并将频次为3及以上的关键词进行统计，如表2所示．

图3 数学推理研究30年载文关键词知识图谱

在图3中，字体越大，关键词词频越高．结合表2可知，合情推理、演绎推理、类比推理、归纳推理、推理能力、数学推理、平面几何等是高频词汇．如果把类比推理、归纳推理、似真推理的研究都纳入合情推理的研究范围，那么关于合情推理研究的词频高达49次，是演绎推理词频的3倍以上．关于几何推理研究的关键词有平面几何、圆锥曲线、双曲线、抛物线、几何图形、几何推理，词频合计为25次，远高于概率与统计、数与代数等其它教学内容．另外，关于数学核心素养推理研究的关键词有逻辑推理、数学抽象等，词频合计为16次．可以看出，合情推理、几何推理和数学核心素养是近些年来数学推理研究的重点主题．

表2 数学推理研究30年载文关键词

3.3.2 突现词分析

突现词为在短时期内词频大量增加的主题词，研究突现词有助于分析研究热点及其演变趋势．利用CiteSpace的Burstness功能得到18个突现词，如图4所示．

图4 数学推理研究30年载文突现词统计

由图4可知，平面几何、数学教育、似真推理、数学推理、合情推理、圆锥曲线等是近30年来不同阶段数学推理研究的研究热点．其中似真推理、合情推理、归纳推理和类比推理分别为1993—1998、1996—2005、2010—2011和2010—2015年的研究热点；平面几何、圆锥曲线、几何推理、抛物线与双曲线分别为1991—1995、2006—2012、2007—2009、2009—2012年的研究热点．由此可以得出：合情推理和平面几何一直是近些年来的研究热点．数学核心素养、逻辑推理、数学抽象分别是2016—2020、2017—2018、2019—2020年的研究热点，自《普通高中数学课程标准》（2017年版）颁布以来，数学核心素养是近几年的研究热点．

3.4 研究内容

基于载文主题和内容的分析，将每篇文献的研究内容主要划分为数学推理的相关概念、数学推理的类型、数学推理的教学、数学推理的测评和数学推理的功能5类．如表3所示，数学推理的教学研究最多，78篇论文都涉及到了数学推理的教学，占比为69.03%．

3.4.1 数学推理的相关概念

将涉及数学推理相关概念的36篇论文进行进一步统计分析，如图5所示．研究者们主要对合情推理、逻辑推理、类比推理、推理能力、推理、数学证明、归纳推理、推理论证和演绎推理9个名词进行了概念界定．

表3 研究内容统计

图5 数学推理的相关概念统计

由图5知，对逻辑推理和合情推理进行概念界定的论文最多，均有7篇，均占比19.44%．对于逻辑推理的概念，7篇论文都是引用《普通高中数学课程标准》（2017年版）中的逻辑推理概念即“逻辑推理是指从一些事物和命题出发，依据规则推出其它命题的素养”[2]．合情推理又称似真推理，是根据已有的事实以及个人的经验、情感，运用观察、实验、归纳、类比、联想、推广、限定、直觉等推测某些结果的推理过程[8-10]．其次是类比推理和推理能力，均有5篇论文给出具体概念，占比13.89%．关于类比推理的概念，有两种说法：一种认为是从具体到具体的推理形式，一种认为是从特殊到特殊的推理形式．但都认同“类比推理是建立在两个对象或两类事物间存在着的相同或相似属性，联想到另类事物也可能是具有某种属性的思维方法”[11-13]．关于推理能力的界定，被认为“数学推理能力，就是在数学活动中，通过想象、类比、归纳等方法寻求思路、提出猜想等，并对其进行严谨逻辑证明的心理特征”[14]．对论文内容分析发现，逻辑推理、合情推理、演绎推理在中国课标中是给出明确定义的，而类比推理、归纳推理、推理能力、数学推理、数学证明、推理论证等名词还没有给出统一的定义．

3.4.2 数学推理的类型

对涉及数学推理结构及分类的41篇论文作进一步统计分析，如图6所示．研究者们主要给出了合情推理与演绎推理、合情推理与逻辑推理、合情推理与论证推理3种分类方式．由图6可知，有25篇论文将推理分为合情推理与演绎推理，占比为60.98%；其次分别有7篇和6篇给出合情推理与逻辑推理、合情推理与论证推理的分类方式，分别占比17.09%和14.63%；其它3篇论文中，宁连华在《数学推理的本质和功能及能力培养》中提到心理学家、数学教育家斯滕伯格将数学推理分为分析性推理、创造性推理和实践性推理3个方面[15]，郭玉峰提出美国《发展K-12年级数学推理》一书中将数学推理分为传统的分析性数学推理能力、创造性的数学推理能力、解决实际问题的推理力[16]，张伟平和杨玉东将数学推理分为原创性推理和模仿性推理[17]．

图6 数学推理的类型统计

由上述统计结果表明，中国大部分研究者比较认同波利亚关于数学推理的分类方式，即合情推理与演绎推理．其它两种分类方式的形成，可能是不同课标给出的推理名词不一致造成的，比如《普通高中数学课程标准（2003年版）》中用词为“推理论证”，而《普通高中数学课程标准（2017年版）》用词为“逻辑推理”．另外，演绎推理、逻辑推理和论证推理之间的关系至今没有明确的界定．

3.4.3 数学推理的教学

将涉及数学推理教学的78篇期刊论文作进一步统计分析，如图7所示．将推理教学按照数学教材内容主要划分为几何教学、数与代数教学、概率与统计教学以及数学活动教学4类．另外，在统计时发现解题教学和合情推理教学所占比重较大，也将其纳入划分范围．由图7可知，在数学教学4类内容中，关于几何教学的期刊论文最多，有19篇，占比为24.36%；其次是数与代数、概率与统计，均有6篇，占比为7.69%；数学活动教学仅有1篇，占比为1.28%．合情推理教学和解题教学的期刊论文分别有16篇和10篇，占比分别为20.51%和12.82%．其它中包括推理教学建议、推理教学设计、课程等．

由上述统计结果表明，在数学内容教学中，几何推理教学研究远超过其它内容，数与代数、概率与统计推理教学研究较少，数学活动推理教学的研究不足．

3.4.4 数学推理的测评

数学推理测评研究的论文有17篇，主要内容包括以下几个方面．（1）推理能力与数学成绩之间的相关性．唐举、黄智华研究表明：高一学生逻辑推理能力与数学成绩有显著相关性，且对数学成绩具有预测作用；不同的推理类型与成绩相关性不同，类比推理与数学成绩的相关性最大，演绎推理与数学成绩的相关性最小[14]．（2）男生和女生之间推理能力的差异性．端木彦、孔德鹏研究表明，高三男女生之间逻辑推理能力无显著性差异[18]；田中和徐龙炳的研究表明，初三男女生推理能力无显著性差异[19]．（3）年级之间推理能力的差异性．黄智华、渠东的研究表明，高中不同年级学生的逻辑推理能力没有显著差异性[20]．（4）影响学生推理能力的因素．胡海霞和汪晓勤的研究表明，教学和组合运算对高中生的组合推理能力有显著影响[21]．

图7 数学推理的教学统计

由此可知，学生的推理能力尤其是类比推理能力与学生的学业成绩有很大相关性，教学过程应注重对学生类比推理能力的培养．另外，教学方式也是发展学生推理能力的一个重要因素．

3.4.5 数学推理的功能

涉及数学推理功能的论文有10篇．关于推理的功能，主要有以下几个方面：（1）有利于开发学生的智力；（2）有利于迅速提高学生的观察力、想象力和理解力[22]；（3）有利于培养学生创造性思维能力；（4）易于唤起相似性的探索，进而促进数学理解，培养学生的主动迁移意识[15，23]；（5）有利于激发学生的内在学习动机；（6）有助于养成数学思考的习惯[24]．因此，培养学生的推理能力对学生的成长和发展具有重要意义．

3.5 研究方法

研究方法的统计，一方面可以反映出期刊论文的质量和水平；另一方面，也反映出推理研究方法的发展及趋势．根据李士锜等[25]和叶立军[26]对数学教育研究方法分类，最终确定课堂观察、访谈调查、问卷调查、个案研究、行动研究、比较研究、实验研究、文本分析、测验法和经验总结10种研究方法，对论文研究运用的方法进行统计，如图8、图9所示．由图8可知，1990—2000年间发表的论文，研究方法主要有经验总结法、文本分析法、测验法、比较研究法，其中经验总结法使用得最多，占比为74.19%；使用混合研究的论文仅有2篇，占比为6.45%．如图9，与1990—2000相比，1990—2020年研究方法种类明显增多，其中经验总结法仍然占比最多，为27.59%；混合研究有27篇，占比为15.52%．

通过对图8和图9的比较，从整体上看，推理的研究方法种类逐渐增多．从局部来看，经验总结一直是主要的研究方法，但是占比大幅度下降．测验法和混合研究占比明显上升，表明定性研究与定量研究的有机结合受到研究者的认同，并逐步成为该领域研究方法的特点和趋势．而推理研究的实验方法占比几乎为零，这可能与推理本身高度抽象性有关．

图8 1990—2000年研究方法统计

图9 1990—2020年研究方法统计

3.6 研究对象

对于研究对象的统计可以反映出研究者关注的群体范围，如图10所示．由图10可知，研究对象为高中生和初中生的期刊论文分别有41篇和39篇，分别占比为38.68%和36.79%；研究对象为小学生的论文有16篇，占比为15.10%；对大学生、研究生和教师的推理研究论文共计12篇，占比为11.32%；研究对象为学前、中专和高专学生的论文数量几乎为0（7篇论文未表明研究对象，通过对内容分析仍未能确定研究对象的期刊论文不做统计）．

图10 研究对象统计

上述统计结果表明，研究对象主要以初中生和高中生为主．进一步分析发现，有16篇文章的研究对象为8年级学生，研究对象为初中生的论文占41.02%．由此可知，初中8年级学生是研究者重点关注的对象，同时也反映出8年级是学生推理能力发展的特殊时期[27]．虽然研究范围逐步扩大[28-31]，但是对于学前、中专、高专学生的推理研究有待进一步突破．

3.7 作者来源

作者来源是影响论文水平的一个重要因素．通过对作者来源的统计，可以了解该研究领域的主要群体及科研状，如图11所示．由图11可知，高校师生占比为46.49%；中学教师占比为19.30%；高校合作研究占比为13.16%；高校与中学合作仅占比为8.77%；教研室、出版社等其它机构共计占比为12.28%．

图11 作者来源统计

上述统计结果表明，作者主要是高等院校的研究人员，中小学教师所占比重很少，高校与中小学教师的合作比较匮乏．其中的原因，可能是中小学教师教学任务繁重、精力有限，也有可能是他们的积极性不高．

4 结论与启示

通过对《数学教育学报》和《数学通报》两种期刊近30年关于数学推理研究的论文进行期刊发文量、载文被引、载文主题、研究内容、研究方法、研究对象和作者来源7个维度的计量分析，得到以下结论，并获得一些有益的启示．

第一，通过对期刊发文量的统计分析可知，近30年来，期刊有关数学推理的发文量呈上升趋势．特别是在教学大纲或课程标准颁布之后，短时间内该领域的研究文章迅速增加．这表明，教育者很注重课标的发展趋势，能够及时得到正确方向的引导．逻辑推理作为2017年版“课标”数学核心素养之一，未来会受到研究者的重视．

第二，通过对载文被引的统计分析可知，两个期刊关于数学推理研究的论文水平是比较高的，研究深度上还有待进一步地提高和突破，进而更好地促进数学推理理论与实践的发展．

第三，通过对载文主题的可视化分析可知，合情推理一直为近些年来的研究重点和热点．这表明，自1986年《义务教育法》颁布以来，“数学的非形式化”观念及合情推理的作用逐步得到研究者的关注和认可[32]．未来，在继续发展学生合情推理能力研究的同时，应注意合情推理与演绎推理研究之间的平衡，防止偏向．

第四，通过对研究内容的统计分析可知，一些与数学推理相关的概念，“课标”中没有给出统一的定义，它们之间的关系也有待进一步厘清．关于数学推理的类型，绝大部分研究者认同波利亚的观点：“推理分为合情推理和演绎推理．”关于数学推理的教学，几何推理教学的研究远远超过其它数学内容，占主要的地位．

第五，通过对研究方法的统计分析可知，该领域的研究方法逐渐呈现多元化发展趋势．虽然经验总结所占比重最大，但相比2000年之前占比已大幅度下降，测验法占比在增大．定性研究与定量研究相结合的混合研究占比明显上升，并逐步成为该领域研究方法的新特点和趋势．

第六，通过对研究对象的统计分析可知，研究对象主要是初、高中学生，对于大学生、教师及课程、课堂、教材的关注很少，对于学前、中专、高专学生的研究几乎为零，因此研究范围和研究对象需要进一步扩大．

第七，通过对作者来源的统计分析可知，作者主要是高等院校的研究人员，一线教师较少，一线教师与高校研究者的合作性不强．高校师生科研水平较高，实践性不强，而一线教师的实践性较强，科研水平有待提高．所以，要加强一线教师与高校研究者的合作，扬长补短，发挥各自优势，提高该领域的研究质量与水平[6]．

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Analysis of 30 Years of Mathematical Reasoning Research——Based on Bibliometrics Analysis of Papers Published inand

PU An-shan, LIU Lan-yin

(School of Mathematical Sciences, Yangzhou University, Jiangsu Yangzhou 225002, China)

In order to better carry out theoretical research and practical exploration of mathematical reasoning in the field of mathematics education, it is necessary to analyze the papers on mathematical reasoning research in the two journals of theandin the past 30 years, mainly analyzing the number of papers published in the two journals, the citations and the topics of the papers, the research contents, the research methods, the research objects and the source of the authors. The analysis gets the following conclusions: (1) In the past 30 years, the overall number of journal publications in mathematical reasoning research has shown an upward trend; (2) the quality level of papers on mathematical reasoning research in the two journals is relatively high and the depth of research in this field needs to be further improved; (3) reasonable reasoning, geometric reasoning and mathematical core literacy are the focus and hot spots of mathematical reasoning research, but the research on logarithm and algebra, probability and statistics, mathematical activities and other contents is insufficient; (4) there is no uniform definition of relevant concepts and their relationships regarding mathematical reasoning; (5) research methods are gradually diversified, and mixed research has gradually become a new feature and trend of research methods in this field; (6) the research objects are mainly junior and senior high school students, but there is not enough attention to preschool, primary school students, college students, teachers, etc; (7) the authors are mainly from colleges and universities; there are few practical teachers, and the cooperation between university researchers and practical teachers is not strong.

mathematical reasoning; papers; reasonable reasoning; deductive reasoning; logical reasoning

G40–03

A

1004–9894（2022）04–0091–07

濮安山，刘兰茵．数学推理研究三十年载文分析——以《数学教育学报》《数学通报》载文为例[J]．数学教育学报，2022，31（4）：91-97．

2022–02–10

2022年扬州大学校教学改革重点项目——一流专业建设的理论与实践研究：数学与应用数学专业教师教育课程的视角（YZUJX2021— B2）；2021年江苏省研究生实践创新计划基金资助项目——中学生数学素养评价的研究（SJCX21_1537）

濮安山（1964—），男，黑龙江安达人，教授，博士，硕士生导师，主要从事数学课程与教学论、数学教育评价研究．

[责任编校：陈汉君、张楠]