王玉风，姬安召，张光生，陈占军

（陇东学院 能源工程学院，甘肃 庆阳 745100）

致密储集层中赋存的油气是一种重要的非常规油气资源，但通常需要进行压裂，为油气提供渗流通道[1-2]。致密储集层经过压裂改造后，储集层由基质和裂缝系统组成[3-6]。致密储集层地应力分布复杂，导致水力压裂裂缝不以井筒对称，压裂井也不一定位于储集层的中心位置，因此研究致密储集层不对称裂缝偏心直井压力的动态规律具有重要意义。

许多学者对垂直裂缝井的非稳定渗流理论进行了研究，提出了水力压裂裂缝模型与面源解的耦合方法[7]；采用数值模拟井底压力与生产时间的关系，提出了垂直裂缝井的解析模型[8-10]，但前提是假设裂缝以井筒为中心两翼对称。在实际应用中，由于地层条件的复杂性，导致水力压裂裂缝在井筒周围非对称分布。一些学者利用数值模拟方法，模拟井底压力变化规律[11-14]，用半解析解方法计算井底压力[15-20]；通过数值模拟，讨论不对称裂缝对产量递减规律的影响[12]，分析定产量生产时井底压力变化[13-14]。数值模拟方法的缺点是效率和精度皆低，因此，一些学者引入了解析和半解析解方法来获得井底压力，给出了不对称水力压裂裂缝直井的分析方法，但仅给出水力压裂裂缝的压力解[15-16]。为了耦合水力压裂裂缝模型和储集层的面源解，有些学者引入了格林函数来计算不对称裂缝压裂井的井底压力[9，17-19]；还有学者将边界元法与点源函数相结合，分析不对称裂缝压裂井的井底压力[20]。尽管对不对称裂缝压裂井的井底压力进行了大量研究，但均假设井位于储集层中心。因此，有学者基于“等效井块半径”概念，采用数值模拟方法，提出了偏心井的模拟方法[21]；还有学者提出了径向复合油藏的偏心直井分析模型[22-23]。近几年，有学者提出了多区域非均质油藏双翼对称裂缝偏心垂直裂缝井的半解析模型，并分析了井底压力特征[24-25]；也有学者将边界元法与点源函数相结合，给出了具有双翼对称裂缝的偏心直井的半解析解[26]。然而，这些模型均假设裂缝以井筒为中心两翼对称分布。

为此，建立不对称水力压裂裂缝偏心直井在封闭气藏的半解析模型，并对其渗流特征进行分析。首先，建立并求解储集层和水力压裂裂缝控制方程；然后，将裂缝离散为多个单元，通过压降叠加，得到井底拟压力随时间的变化；最后，分析裂缝角、裂缝无因次导流能力和偏心距对井底拟压力及产量的影响。

1 物理模型与基本假设

致密储集层由基质和裂缝系统构成，井筒偏离储集层中心，水力压裂裂缝在井筒周围不对称（图1）。基本假设条件：气井定产量生产；气井不在气藏中心；裂缝两翼不对称；裂缝系统与气藏中气体流动为等温达西渗流；储集层外边界封闭。

2 偏心直井的数学模型及其解

2.1 偏心直井的线源解

源函数法是求解井底压力的主要方法，当井位于储集层中心时，只考虑径向流动，否则，气体流动是径向流动和边界响应流动。因此，在建立不对称裂缝偏心直井数学模型之前，先求其线源解。这里以拟压力作为控制方程的目标函数。

气体的拟压力：

假设偏心直井线源位于(r′,θ′,z′)，柱坐标系中偏心直井二维渗流控制方程[27-29]：

式中，

拟稳态是指基质内部的压力处处相同，窜流量只与基质和裂缝之间的压差有关。非稳态是指流体在基质中渗流到基质表面，再窜流到裂缝系统。（2）式的解[30-33]可表示为

P+E应该满足控制方程的外边界条件，在井筒处，E的贡献率应该趋近于0。拟压力计算点和偏心直井线源的位置如图1b所示。

根据封闭边界和定压边界条件，解得圆形封闭边界和定压边界的系数：

2.2 偏心直井的面源函数

为方便计算，定义无因次参数如下：

将（8）式中的封闭边界公式代入（4）式，沿断裂方向对线源进行积分，得到均匀流量的面源解：

（23）式中含有贝塞尔函数，可将不对称裂缝离散成裂缝单元[27]（图2）。每个裂缝单元为一个计算对象，其流量为定值，再结合质量守恒方程，可对拟压力方程和流量方程进行联立求解。将水力压裂裂缝划分为2N段，井筒两侧均为N段，但井筒两侧的网格步长不等。第i个裂缝单元的压降可表示为

无限导流不对称裂缝偏心直井的井底拟压力为

2.3 裂缝模型与储集层流体的耦合

储集层与裂缝流体流动耦合关系[9]：

（28）式等号左项是无限导流裂缝的井底拟压力，将该式中裂缝部分进行离散。

根据质量守恒定理，可得：

裂缝单元的拉普拉斯空间流量和平均拟压力通过（29）式和（30）式联立求解，将结果代入（28）式，并且取rFD=xasymD，即可得到有限导流不对称裂缝偏心直井的井底拟压力。

考虑表皮系数和井储系数的无因次井底拟压力[33]：

3 模型验证和井底拟压力特征

3.1 模型验证

在进行井底拟压力分析之前，需要验证模型的准确性。借助油藏动态分析Kappa Workstation 的数值试井分析Spahir 模块，建立了柱坐标系中封闭边界的不对称裂缝偏心直井数值模型。模型中储集层厚度为10 m，储集层渗透率为0.05 mD，储集层外边界半径为1 000 m，偏心距为500 m，裂缝半长为60 m，储集层孔隙度为8%，岩石压缩系数为0.000 35 MPa-1，天然气压缩系数为0.025 31 MPa-1，天然气偏差因子为1.007，储集层温度为100 ℃，裂缝导流能力为6 mD·m，裂缝与x轴的夹角（裂缝夹角）为45°。

根据上述参数，确定了无因次井底拟压力与无因次时间的关系（图3）；同时，也根据（28）式，计算了半解析解。由图3 可以看出，数值离散计算结果与半解析解完全一致。对井底拟压力变化特征进行分析，并将偏心直井流体流动划分为6 个阶段：储集层与裂缝双线性流阶段、储集层线性流阶段、裂缝椭圆流阶段、平面径向流阶段、距离裂缝较近边界控制流阶段和圆形封闭边界控制流阶段。

储集层与裂缝双线性流阶段，无因次井底拟压力导数曲线斜率为0.25；储集层线性流阶段，无因次井底拟压力导数曲线斜率为0.50；裂缝椭圆流阶段，无因次井底拟压力导数曲线斜率为0.36，然后逐渐过渡到平面径向流；平面径向流阶段，无因次井底拟压力导数曲线斜率为0.50；距离裂缝较近边界控制流阶段，无因次井底拟压力导数曲线上翘；圆形封闭边界控制流阶段，无因次井底拟压力导数曲线斜率为1.00，且与无因次井底拟压力曲线重合。

3.2 井底拟压力特征

假设无因次井储系数为0.000 01，表皮系数为0.01，裂缝无因次不对称因子为0.3，裂缝半长为150 m，裂缝与x轴的夹角为90°，储集层外边界半径为3 000 m，偏心距为2 000 m，井储系数为0.01，窜流系数为1。

在线性和双线性状态下，裂缝无因次导流能力对无因次井底拟压力有明显影响。裂缝渗流阻力越小，无因次导流能力越大，储集层双线性流阶段无因次井底拟压力越小（图4a）。

在距离裂缝较近边界控制流阶段，偏心距对无因次井底拟压力及其导数有明显的影响（图4b）。偏心距越大，井和裂缝与边界的距离就越小，边界响应出现得越早。偏心距大，相当于流体绕井及裂缝的径向流区域小，径向流动持续时间短。径向流区域减小时，若要定产量生产，则需要更大的压降，因此距离裂缝较近边界控制流阶段的无因次井底拟压力及其导数变大。

裂缝不对称因子越大，裂缝的不对称性越强，则早期的压降越大，无因次井底拟压力及其导数越大。从图4c 可以看出，平面径向流阶段之前的无因次井底拟压力及其导数偏大。

裂缝与x轴的夹角对无因次井底拟压力及其导数没有明显的影响。这是因为假设储集层是均质的，压力在各个方向上的传播基本一致，即使夹角不相等，但在裂缝固定时，整个储集层坐标系旋转一定角度，也可以与其等效。

在拟稳态窜流情况下，当裂缝系统的压力降低时，储集层基质中的天然气快速进入裂缝系统。在非稳态窜流情况下，当裂缝系统的压力降低时，储集层基质中的天然气不能够快速进入裂缝系统。因此，在非稳态窜流情况下，无因次井底拟压力导数曲线斜率较拟稳态窜流无因次井底拟压力导数曲线大（图4d）。

裂缝无因次导流能力对不对称裂缝偏心直井产量影响较大（图5a）。井筒两侧的水力压裂裂缝是不对称的，裂缝长翼周围的压力迅速向储集层传播，因此在流动状态下，其无因次产量贡献大于裂缝短翼。然而，随着时间的推移，由于裂缝短翼的平均控制半径小于裂缝长翼，在线性流之前，裂缝短翼无因次产量的贡献随时间的增加而增大，裂缝长翼无因次产量的贡献随时间的增加而减小。当到达一定时间后，裂缝两翼的无因次产量保持稳定，无因次产量贡献基本保持不变。

裂缝不对称因子对裂缝两翼无因次产量的大小以及分布有较为明显的影响（图5b）。随着裂缝不对称因子减小，裂缝两翼产量的贡献均接近0.5，即裂缝完全对称时，裂缝两翼的产量相等。

虽然裂缝与x轴夹角对无因次井底拟压力及其导数影响不显著，但对无因次产量具有一定的影响（图5c）。裂缝与x轴夹角越小，裂缝短翼距离边界越近，在封闭边界控制的情况下，当压力波及到边界时，裂缝短翼产量的贡献开始减小。

4 结论

（1）半解析解能很好地模拟井底压力动态和水力压裂裂缝的流量分布特征，根据井底拟压力变化，将偏心直井流体流动划分为6 个阶段：储集层与裂缝双线性流阶段、储集层线性流阶段、裂缝椭圆流阶段、平面径向流阶段、距离裂缝较近边界控制流阶段和圆形封闭边界控制流阶段。

（2）在储集层与裂缝双线性流阶段和储集层线性流阶段，较大的裂缝不对称因子导致无因次井底拟压力导数较大。偏心距越大，边界响应出现的越早，径向流动持续时间越短，无因次井底拟压力越大。

（3）裂缝角度对无因次井底拟压力及其导数影响不明显，但对产量有明显影响。裂缝不对称因子对整个流动阶段有明显的影响，裂缝短翼对产量的贡献小于裂缝长翼。

符号注释

B——天然气体积系数；

C(θp)——与θp相关的函数；

CD——无因次井储系数；

CFD——裂缝无因次导流能力；

Ctf——裂缝综合压缩系数，Pa-1；

Ctm——基质综合压缩系数，Pa-1；

Dn——与边界相关的系数；

E——边界系数；

G——格林函数；

h——储集层厚度，m；

hD——无因次储集层厚度；

I0——零阶修正的第一类贝塞尔函数；

Ik——k阶修正的第一类贝塞尔函数；

In——n阶修正的第一类贝塞尔函数；

K——储集层渗透率，1012D；

K0——零阶修正的第二类贝塞尔函数；

Kf——裂缝渗透率，1012D；

Km——基质渗透率，1012D；

Kn——n阶修正的第二类贝塞尔函数；

LD——沿裂缝方向积分的无因次裂缝长度；

LF——裂缝一翼的长度，m；

Lref——参考长度，取裂缝半长，m；

n——自然数；

N——裂缝一侧离散的网格数，个；

p——储集层中任意点的压力，Pa；

p0——拟压力积分初始压力，Pa；

P——井位于储集层中心的线源解；

——瞬时流量，m3/d；

——拉普拉斯空间瞬时流量，m3/d；

D——裂缝的无因次产量；

D——拉普拉斯空间无因次流量；

D,i——拉普拉斯空间第i个网格的无因次流量；

D,j——拉普拉斯空间第j个网格的无因次流量；

qsc——标准状况下气井的产量，m3/d；

r——拟压力计算点到储集层中心的距离，m；

r′——柱坐标系中偏心直井线源到储集层中心的距离半径，m；

rD——拟压力计算点到储集层中心的无因次距离；

rFD——局部极坐标系中裂缝的无因次极半径；

rFD,j——局部极坐标系中第j个网格的无因次半径；

rFD,j(θp,j)——与θp,j相关的函数；

rmD,i——全局坐标系中第i个网格中心点处裂缝的无因次极半径；

rmFD,i——局部极坐标系中第i个网格中心点处裂缝的无因次极半径；

ro——偏心距，m；

roD——无因次偏心距；

rpD——全局坐标系中裂缝任意位置到储集层中心的无因次距离；

Re——封闭外边界半径，m；

ReD——封闭外边界无因次半径；

RpD——全局坐标系中裂缝任意位置到拟压力计算点的无因次距离；

s——拉普拉斯变量；

S——表皮系数；

t——生产时间，d；

tD——无因次时间；

wf——裂缝宽度，m；

（x，y）——储集层中任意位置，m；

xasym——井到裂缝中心的距离，m；

xasymD——裂缝无因次不对称因子；

（xD，yD）——地层中任意点的无因次位置；

（xw，yw）——储集层中井的位置，m；

（xwD，ywD）——井的无因次位置；

z′——柱坐标系中偏心直井线源在z轴的位置，m；

Z——气体偏差因子；

α——积分变量；

αm——形状因子；

δ——狄利克雷函数；

θ——柱坐标系中θ方向的弧度；

θ′——柱坐标系中偏心直井线源在θ方向的弧度；

θF——局部坐标系中裂缝与x轴的夹角，即裂缝夹角，（°）；

θm,i——全局坐标系中第i个网格中心点与x轴的夹角，（°）；

θp——全局坐标系中裂缝任意位置与x轴的夹角，（°）；

θp(rpD)——与rpD相关的函数；

θp,i——全局坐标系中第i个网格与x轴的夹角，（°）；

θp,j——全局坐标系中第j个网格与x轴的夹角，（°）；

λ——窜流系数；

μ——气体黏度，mPa·s；

ϕf——裂缝孔隙度；

ϕm——基质孔隙度；

ψ——拟压力，Pa/s；

ψf——地层中任意点的井底拟压力，Pa/s；

ψfD——无因次拟压力；

fD——拉普拉斯空间无因次拟压力；

fD,avg——拉普拉斯空间裂缝无因次平均拟压力；

D,i——拉普拉斯空间第i个网格的无因次拟压力；

ψi——原始地层压力情况下的拟压力，Pa/s；

wD——拉普拉斯空间无因次井底拟压力；

Δψf——拟压力差，Pa/s；

Δf——拉普拉斯空间拟压力差，Pa/s；

ω——弹性储容比。