王学平 ,何 鹏

(1.四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066;2.成都信息工程大学 应用数学学院, 四川 成都 610225)

三角模和三角余模最初是由Schweizer和Sklar介绍的[1]。 为推广三角模和三角余模, Yager和Rybalov定义并研究了[0，1]上一致模。 一致模在模糊逻辑、模糊系统模拟、专家系统及神经网络等许多领域中都扮演着重要角色[2-4]。 因为[0，1]是有界格的特例, 所以学者们自然地想尝试在有界格上构造和讨论一致模[5-15]。例如，Karaçal和Mesiar率先讨论了有界格上一致模[16],证明了任意包含最大元1和最小元0的有界格L上存在一致模, 并构造了有界格上最大一致模和最小一致模。 此后, 国内外许多学者研究了有界格L上以e∈L{ 0，1}为单位元的一致模的构造方法。 现有文献中有界格上一致模的构造方法主要分为两大类, 一类是用子区间[0，e]上三角模或子区间[e， 1]上三角余模构造有界格L上的一致模。 比如, Çayl、 Karaçal和Mesiar分别用三角模和三角余模给出了有界格上一致模的两个构造方法, 由此得到了有界格上的最大和最小幂等一致模[11]。 此外, 他们还证明了任意非链有界格上存在既不是合取的(conjunctive)又不是析取的(disjunctive)幂等一致模。 之后,Çayl分别用子区间上的三角模和三角余模又给出了两种新的构造一致模的方法[6], 并举例说明其构造法与已有构造法不同。 Ouyang和Zhang结合三角模或三角余模利用闭包算子和内部算子构造了有界格上一致模[17], 推广了文献[11,16]中一些对应结论。 最近, Ac和Mesiar也通过三角模和三角余模分别给出了两个构造有界格上一致模的方法, 并根据该方法得到有界格上幂等一致模[5]。

有界格上一致模的另一类构造方法是同时用子区间[0,e]上三角模和[e,1]上三角余模构造一致模。比如, Çayl用三角模和三角余模给出了两个构造有界格上一致模的方法[8], 不过, 其中的三角模和三角余模需满足严格的边界条件。 同年, Dan等在单位元满足某些限制条件下用三角模和三角余模给出了两个构造有界格上一致模的新方法[13]。 之后, Xie和Li给出了两个基于三角模和三角余模构造有界格上一致模的方法[18], 证明了如果对三角模Te和三角余模Se加上同样的限制, 则他们构造的一致模分别是最大的和最小的。 而且, 在他们的构造中不需要三角模和三角余模满足边界条件, 因此, 完全回答了Çayl在文献[8]中提出的开问题。 最近, Zhao和Wu在给定三角模与三角余模的基础上利用闭包算子和内部算子给出了三个构造有界格上一致模的方法[19], 他们的结论也回答了Çayl在文献[8]中提出的开问题。 特别地, Ji用比三角模和三角余模更一般的子三角模和子三角余模构造了有界格上一些一致模[20], 推广了文献[11-12,16]中一些已有构造。

有界格上现有以e∈L{0,1}为单位元的一致模U的构造方法都有一个共同特征, 即, 当(x，y)∈(0,e)×Ie时U(x,y)∈Ie, 或(x,y)∈(e,1) ×Ie时U(x,y)∈Ie, 其中Ie是由L中所有与e不可比的元构成的集合。 而在文献[9]中, Çayl利用[0,e]上的三角模Te和[e,1]上的三角余模Se构造的一致模U在(x,y)∈(0,e)×Ie∪ (e,1)×Ie时,U(x,y)∉Ie。设A(e)= [0,e)×(e,1]∪(e,1]×[0,e),则Çayl的构造具体如下。

定理1(文献[9]中定理7 ) 设e∈L{0,1}使对任意x∈Ie，y∈(e,1]有x

U1(x,y) =

(1)

定义的二元算子U1:L2→L是L上以e为单位元的一致模当且仅当对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。

定理2(文献[9]中定理10) 设e∈L{0,1}，使对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y， 且对任意p，q∈Ie有p∧q∈Ie。若Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模, 则对任意x，y∈L, 由

U2(x,y) =

(2)

定义的二元算子U2:L2→L是L上以e为单位元的一致模，当且仅当对任意x∈Ie,y∈(e,1]有x

关于上面两个定理, 有两点值得注意:①定理1中, 条件“对任意p，q∈Ie有p∨q∈Ie”是充分但不必要的。 即, 对[e，1]上的很多三角余模Se,该条件可以去掉, 例如取Se=S∨。②定理2中, 条件“对任意p，q∈Ie有p∧q∈Ie”是充分但不必要的。 即，对[0，e]上的很多三角模Te, 该条件可以去掉, 例如取Te=T∧。 问题是: 在什么条件下, 由式(1)和式(2)所定义的二元算子U1，U2分别是有界格L上的一致模? 本文将围绕该问题展开讨论并给出回答。

1 预备知识

为便于讨论, 本节回顾一些关于格、三角模、三角余模和一致模的基本概念和结论, 更多相关内容请参见文献[6,8,11,16,18，21-23]。

设P为非空集合, 若≤是P上满足自反性、反对称性和传递性的二元关系, 则称(P，≤)为偏序集。若偏序集(L，≤)中任意两个元{x，y}在L中有最大下界x∧y(也称为下确界)和最小上界x∨y(也称为上确界),则称(L，≤)为格。若格(L，≤)有最大元1和最小元0, 则称该格为有界格, 记为(L，≤，0，1)。本文以下用L代替(L，≤，0，1)。设a，b∈L且a≤b，定义L的闭子区间[a，b]如下:[a，b]={x∈L:a≤x≤b}。可以类似地定义L的其他子区间:[a，b) = {x∈L:a≤x

{x∈L:a

定义1[21-22]1) 若有界格L上对每个变量单调不减有单位元1的二元算子T:L2→L满足交换律与结合律, 则称T为L上三角模。

2) 若有界格L上对每个变量单调不减有单位元0的二元算子S:L2→L满足交换律与结合律, 则称S为L上三角余模。

下面是有界格L上常见的两对三角模和三角余模:

T∧(x，y)=x∧y,

S∨(x，y)=x∨y，

特别地, 若L=[0，1]，则T∧=TM;TW=TD;S∨=SM且SW=SD。

定义2[16]若有界格L上对每个变量单调不减有单位元e的二元算子U:L2→L满足交换律与结合律,则称U为L上一致模。

显然, 有界格上L的三角模和三角余模分别是L上的一致模。

定义3[11,18]设U是有界格L上以e∈{0,1}为单位元的一致模。若对任意x∈L有U(x，x)=x，则称U是幂等的。

性质1[16]设U是有界格L上以e∈{0,1}为单位元的一致模, 则

1)Te=U|[0，e]2: [0;e]2→[0，e]是[0，e]上的三角模;

2)Se=U|[e，1]2: [e; 1]2→[e，1]是[e，1]上的三角余模。

性质2[16]设U是有界格L上以e∈{0,1}为单位元的一致模, 则

1) 对任意的(x，y)∈A(e)，

有x∧y≤U(x，y)≤x∨y;

2) 对任意的(x，y)∈L×[0，e]，

有U(x，y)≤x;

3) 对任意的(x，y)∈[0，e]×L，

有U(x，y)≤y;

4) 对任意的(x，y)∈L×[e，1]，

有x≤U(x，y);

5) 对任意的(x，y)∈[e，1]×L，

有y≤U(x，y)。

2 Çayl所构造二元算子成一致模的新条件

以下设L是有界格且a，b∈L, 记号a‖b表示ab且ab, 而ab表示a≥b或a≤b,Ia={x∈L:x‖a}。

引理1设e∈L{0, 1}，使对任意x∈Ie,y∈(e,1]有x

引理2设e∈L{0, 1}使对任意x∈Ie，y∈(e，1]有xy, 对任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z。

证明设U1是L上以e为单位元的一致模且存在p,q∈Ie使p∨q∉Ie, 则根据文献[9]中定理7的证明易知,若x∈Ie,y∈[0,e), 则x>y。另一方面, 由引理1知∧t ∈(e,1]t=p∨q∈(e，1]。所以, 若存在元z∈(e，1]使Se(∧t ∈(e,1]t，z)≠z, 则U1(p,U1(q,z))=U1(p,z)=z≠Se(∧t ∈(e,1]t,z)=U1(p∨q,z)=U1(U1(p,q),z)。因此，U1不满足结合律, 与U1是L上的一致模相矛盾。

反之, 由式(1)易知二元算子U1满足交换律且e是它的单位元。下面证明U1满足结合律且对每个变量单调不减。由U1是交换的知, 要证U1对每个变量单调不减, 仅需证对任意x，y，z∈L,x≤y蕴含U1(x，z)≤U1(y，z)。又由于z=e时,U1(x，z)=U1(x，e)=x≤y=U1(y，e)=U1(y，z),所以分以下4种情况验证x≤y蕴含U1(x，z)≤U1(y，z):

情况1 若x∈[0，e)，

1.1y∈[0，e)，

1.1.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=Te(x，z)≤Te(y，z)=U1(y，z)。

1.1.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

1.1.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

1.2y∈(e，1]，

1.2.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=Te(x，z)≤x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

1.2.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∧z≤y∨z≤Se(y，z)=U1(y，z)。

1.2.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∧z≤y∨z=U1(y，z)。

1.3y∈Ie，

1.3.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=Te(x，z)≤x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

1.3.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∧z≤y∨z=U1(y，z)。

1.3.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∧z≤y∨z=U1(y，z)。

1.4y=e，

1.4.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=Te(x，z)≤z=U1(e，z)=U1(y，z)。

1.4.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∧z≤z=U1(e，z)=U1(y，z)。

1.4.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∧z≤z=U1(e，z)=U1(y，z)。

情况2 若x∈(e，1],则y∈(e，1]。

2.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

2.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=Se(x，z)≤Se(y，z)=U1(y，z)。

2.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z=U1(y，z)。

情况3 若x∈Ie, 则y∉[0，e]。否则，x≤y≤e, 与x∈Ie相矛盾。

3.1y∈(e，1]，

3.1.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

3.1.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z≤Se(y，z)=U1(y，z)。

3.1.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z=U1(y，z)。

3.2y∈Ie，

3.2.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=x∧z≤y∧z=U1(y，z)。

3.2.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z=U1(y，z)。

3.2.3z∈Ie，

U1(x，z)=x∨z≤y∨z=U1(y，z)。

情况4 若x=e, 则y∈[e，1]。

4.1y=e，

U1(x，z)=U1(e，z)=U1(y，z)。

4.2y∈(e，1]，

4.2.1z∈[0，e)，

U1(x，z)=U1(e，z)=z=y∧z=U1(y，z)。

4.2.2z∈(e，1]，

U1(x，z)=U1(e，z)=z≤Se(y，z)=U1(y，z)。

4.2.3z∈Ie，

U1(x，z)=U1(e，z)=z≤y∨z=U1(y，z)。

下证U1满足结合律, 即, 需证明对任意x，y，z∈L有U1(U1(x，y)，z)=U1(x，U1(y，z))。由于e∈{x，y，z}时,U1(U1(x，y)，z)=U1(x，U1(y，z))，所以以下讨论不考虑e∈{x,y,z}的情况。由引理1知， 若p，q∈Ie且p∨q∉Ie, 则

(3)

以下分3种情况验证U1满足结合律：

情况1 若x∈[0,e)，

1.1y∈[0，e)，

1.1.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=Te(Te(x，y)，z)=

Te(x，Te(y，z))=U1(x，U1(y，z))。

1.1.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(Te(x，y)，z)=

Te(x，y)=U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

1.1.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(Te(x，y)，z)=

Te(x，y)=U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

1.2y∈(e，1]，

1.2.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=Te(x，z)=

U1(x，U1(y，z))。

1.2.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

U1(x，Se(y，z))=U1(x，U1(y，z))。

1.2.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

U1(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

1.3y∈Ie，

1.3.1z∈[0,e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=Te(x，z)=

U1(x，U1(y，z))。

1.3.2z∈(e,1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

U1(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

1.3.3z∈Ie，

无论y∨z∈Ie还是y∨z∈(e，1], 均有

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=U1(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

情况2 若x∈(e，1]，

2.1y∈[0，e)，

2.1.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=Te(y，z)=

U1(x，Te(y，z))=U1(x，U1(y，z))。

2.1.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

2.1.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

2.2y∈(e，1]，

2.2.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(Se(x，y)，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

2.2.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=Se(Se(x，y)，z)=

Se(x，Se(y，z))=U1(x，U1(y，z))。

2.2.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(Se(x，y)，z)=

Se(x，y)=U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

2.3y∈Ie，

2.3.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

2.3.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=Se(x，z)=

U1(x，U1(y，z))。

2.3.3z∈Ie，

由式(3)有y∨z=∧t∈(e,1]t，或者y∨z∈Ie。

2.3.3.1y∨z=∧t∈(e,1]t，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

Se(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

2.3.3.2y∨z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x，z)=x=

U1(x，y∨z)=U1(x，U1(y，z))。

情况3 若x∈Ie，

3.1y∈[0，e)，

3.1.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=Te(y，z)=

U1(x，Te(y，z))=U1(x;U1(y，z))。

3.1.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

3.1.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

3.2y∈(e，1]，

3.2.1z∈[0，e)，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.2.2z∈(e，1]，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=Se(y，z)=

U1(y，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.2.3z∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(y，z)=y=

U1(x，y)=U1(x，U1(y，z))。

3.3y∈Ie，

3.3.1z∈[0，e)，

无论x∨y∈Ie，还是x∨y∈(e，1],均有

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=z=U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.3.2z∈(e，1]，

由式(3)知x∨y=∧t∈(e,1]t，或者x∨y∈Ie。

3.3.2.1x∨y=∧t∈(e,1]t，

U1(U1(x，y)，z)=Se(x∨y，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.3.2.2x∨y∈Ie，

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=z=

U1(x，z)=U1(x，U1(y，z))。

3.3.3z∈Ie，

无论x∨y∈Ie，还是x∨y∈(e，1],均有U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=x∨y∨z。

可类似证明U1(x，U1(y，z))=U1(x，y∨z)=x∨y∨z。

因此,U1(U1(x，y)，z)=x∨y∨z=U1(x，U1(y，z))。

综上,U1是L上以e为单位元的一致模。

注1引理2中条件“对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

a)x∈Ie，y∈Ie，z∈(e，1];

b)x∈(e，1]，y∈Ie，z∈Ie;

c)x∈Ie，y∈(e，1]，z∈(e，1];

d)x∈(e，1]，y∈(e，1]，z∈Ie;

e)x∈(e，1]，y∈Ie，z∈(e，1]。

例1设L1是图1所示的有界格, 易见对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。n∈Ie，b∈(e，1]且b‖n。又设Se是表1所定义的[e，1]上满足对任意z∈(e，1]有Se(∧t∈(e,1]t，z)=Se(b，z)=z的三角余模,Te=T∧是[0，e]的三角模。

图1 有界格L1Fig.1 A bounded lattice L1

由式(1)易知L1上二元算子U1如表2所示, 因此

U1(U1(m，n)，a)=U1(a，a)=1，但U1(m，U1(n，a))=U1(m，a)=a;

U1(U1(a，m)，n)=U1(a，n)=a，但U1(a，U1(m，n))=U1(a，a)=1;

U1(U1(n，r)，k)=U1(a，k)=1，但U1(n，U1(r，k))=U1(n，k)=a;

U1(U1(r，k)，n)=U1(k，n)=a，但U1(r，U1(k，n))=U1(r，a)=1;

U1(U1(b，n)，k)=U1(a，k)=1，但U1(b，U1(n，k))=U1(b，a)=a。

因此,U1不满足结合律。从而U1不是一致模。

表1 [e，1]上的三角余模SeTab.1 The t-conorm Seon [e，1]

表2 L1上的二元算子U1Tab.2 The binary operator U1on L1

注2引理2中条件“对任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z”是U1在以下情况满足结合律的充要条件：

i)x∈Ie，y∈Ie，z∈(e，1]且x∨y∉Ie;

ii)x∈(e，1]，y∈Ie，z∈Ie且y∨z∉Ie。

首先看情况i), 假设条件“对任意z∈(e，1]，有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z”不是必要的, 即, 当Se(∧t ∈(e,1]t，z)≠z且i)成立时,U1满足结合律。由引理1得∧t ∈(e,1]t=x∨y,因此，U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=Se(x∨y，z)≠z=U1(x，z)=U1(x，U1(y，z)), 矛盾。类似可证条件“对任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z”也是U1在情况ii)满足结合律的必要条件。

下例说明条件“对任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z”是U1分别在情况i)和ii)满足结合律的充分条件。

例2设L2为图2所示有界格, 易见对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y,对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

图2 有界格L2Fig.2 A bounded lattice L2

表3 [e，1]上的三角余模SeTab.3 The t-conorm Seon [e，1]

表4 L2上的二元算子U1Tab.4 The binary operator U1on L2

由式(1)易知L2上二元算子U1如表4所示, 因此

U1(U1(m，n)，a)=U1(b，a)=1，但U1(m，U1(n，a))=U1(m，a)=a;

U1(U1(a，m)，n)=U1(a，n)=a，但U1(a，U1(m，n))=U1(a，b) = 1。

所以,U1不满足结合律。从而U1不是一致模。

例3再次考虑图2中有界格L2。设Te=T∧为[0，e]上三角模,Se为[e，1]上由表5定义的三角余模。 显然, 对任意z∈(e，1],Se(∧t ∈(e,1]t，z)=Se(b，z)=z。则由引理2可得L2上一致模U1如表6所示。

表5 [e，1]上的三角余模SeTab.5 The t-conorm Seon [e，1]

表6 L2上的一致模U1Tab.6 The uninorm U1on L2

由定理1和引理2可知如下定理成立。

定理3设e∈L{0，1}使对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

1) 对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y;

2) 对任意p，q∈Ie有p∨q∈Ie。否则, 对任意z∈(e，1]有Se(∧t ∈(e,1]t，z)=z。

由定理3可得下面推论。

推论1设e∈L{0，1}使对任意x∈Ie，y∈(e，1]有xy。

为解释定理3中条件“对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

定理4(文献[9]中定理6) 设Te是[0，e]上的三角模, 则对任意x，y∈L，由

U3(x，y)=

定义的二元算子U3:L2→L是L上以e为单位元的一致模当且仅当对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。

由注1和例1可知, 定理1中条件“对任意x∈Ie，y∈(e，1]有xy, 则U3是L上的一致模。所以条件“对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

定理5设e∈L{0，1}使对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x‖y,Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模,则式(1)定义的二元算子U1是L上以e为单位元的一致模当且仅当对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。

证明若U1是L上以e为单位元的一致模, 则类似引理2的证明, 可证对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。

以下假设对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y, 接下来证明U1是L上以e为单位元的一致模。类似于引理2的证明, 可证U1关于每个变量单调不减。又由式(1)易知U1满足交换律且e是它的单位元。因此, 只需验证U1满足结合律。即, 证明对任意x，y，z∈L有U1(U1(x，y)，z)=U1(x;U1(y，z))。根据引理2中结合律的证明,只需在如下6种情况验证U1满足结合律即可:

情况1 设x∈Ie，y∈Ie且z∈(e，1]，

1.1 若x∨y=1, 则

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

U1(1，z)=Se(1，z)=1=

x∨1=U1(x，1)=

U1(x，y∨z)=

U1(x，U1(y，z))。

1.2 若x∨y∈Ie, 则

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

x∨y∨z=1=x∨1=

U1(x，1)=U1(x，y∨z)=

U1(x，U1(y，z))。

情况2 设x∈Ie，y∈(e，1]且z∈Ie, 则

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

U1(1，z)=1∨z=1=x∨1=

U1(x，1)=U1(x，y∨z)=

U1(x，U1(y，z))。

情况3 设x∈(e，1]，y∈Ie且z∈Ie, 则由情况1知

U1(U1(x，y)，z)=U1(z,U1(x，y))=

U1(z,U1(y，x))=U1(U1(z，y)，x)=

U1(x,U1(z，y))=U1(x,U1(y，z))。

情况4 设x∈Ie，y∈(e，1]且z∈(e，1], 则

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

U1(1，z)=Se(1，z)=1=

x∨Se(y，z)=U1(x，Se(y，z))=

U1(x,U1(y，z))。

情况5 设x∈(e，1]，y∈Ie且z∈(e，1], 则

U1(U1(x，y)，z)=U1(x∨y，z)=

U1(1，z) =Se(1，z) = 1=

Se(x，1)=Se(x，y∨z)=

U1(x，y∨z)=U1(x,U1(y，z))。

情况6 设x∈(e，1]，y∈(e，1]且z∈Ie, 则由情况4知

U1(U1(x，y)，z)=U1(z,U1(x，y))=

U1(z,U1(y，x))=

U1(U1(z，y)，x)=

U1(x,U1(z，y))=

U1(x,U1(y，z))。

综上,U1是L上以e为单位元的一致模。

注3由例1可知, 定理5中条件“对任意x∈Ie，y∈(e，1)有x‖y”是U1为L上一致模的充分条件。若在定理5中取Se=S∨， 则二元算子U1等同于定理4中的U3。所以, 条件“对任意x∈Ie，y∈(e，1)有x‖y”不是U1为L上一致模的必要条件。

例4设L3为图3所示的有界格, [0，e]上的三角模为Te=T∧, [e，1]上的三角余模为Se=SW, 则由定理5知表7所示的二元算子U1是L3上以e为单位元的一致模。

图3 有界格L3Fig.3 A bounded lattice L3

表7 L3上的一致模U1Tab.7 The uninorm U1on L3

引理3设e∈L{0，1}使对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y。若p，q∈Ie且p∧qIe, 则∨t ∈[0,e)t=p∧q。

证明类似于引理1的证明。

引理4设e∈L{0，1}，使对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y,Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模。如果存在两个元p，q∈Ie使p∧q∉Ie, 则式(2)定义的二元算子U2是L上以e为单位元的一致模当且仅当对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

证明类似于引理2的证明。

类似于注1和注2, 有如下两个结论成立。

注4引理4中, 条件“对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y”是U2在如下情况满足结合律的充分条件:

1)x∈Ie，y∈Ie，z∈[0，e)；

2)x∈[0，e)，y∈Ie，z∈Ie；

3)x∈Ie，y∈[0，e)，z∈[0，e)；

4)x∈[0，e)，y∈[0，e)，z∈Ie；

5)x∈[0，e)，y∈Ie，z∈[0，e)。

注5引理4中, 条件“对任意z∈[0，e)有Te(∨t ∈[0,e)t，z)=z”是U2在如下情况满足结合律的充要条件:

1)x∈Ie，y∈Ie，z∈[0，e)且x∧y∉Ie；

2)x∈[0，e)，y∈Ie，z∈Ie且y∧z∉Ie。

由定理2和引理4易知下面定理成立。

定理6设e∈L{0，1}使对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y,Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模,则式(2)定义的二元算子U2是L上以e为单位元的一致模当且仅当如下两个条件成立：

1) 对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

2) 对任意p，q∈Ie有p∧q∈Ie。否则, 对任意z∈[0，e)有Te(∨t ∈[0,e)t，z)=z。

由定理6知下面推论成立。

推论2设e∈L{0，1}使得对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y,Se是[e，1]上的三角余模,Te是[0，e]上满足对任意z∈[0，e)有Te(∨t ∈[0,e)t，z)=z的三角模, 则式(2)定义的二元算子U2是L上以e为单位元的一致模当且仅当对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

为解释定理6中条件“对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y”不是式(2)定义的U2为L上一致模的必要条件,需引入下面定理。

定理7(文献[9]中定理9) 设Se是[e，1]上的三角余模, 则对任意x，y∈L, 由

U4(x，y)=

定义的二元算子U4:L2→L是L上以e为单位元的一致模当且仅当对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

根据注4和定理7, 定理6中条件“对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y”是式(2)定义的U2为L上一致模的充分但不必要的条件。进一步, 有下面定理。

定理8设e∈L{0，1}使对任意x∈Ie，y∈(0，e)有x‖y,Te是[0，e]上的三角模,Se是[e，1]上的三角余模,则式(2)定义的二元算子U2是L上以e为单位元的一致模当且仅当对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

证明类似于定理5的证明。

类似于注3, 定理8中条件“对任意x∈Ie，y∈(e，1)有x‖y”是U2为L上一致模的充分但不必要的条件。

3 结语

图4 有界格L4Fig.4 A bounded lattice L4

表8 [e，1]上的三角余模SeTab.8 The t-conorm Seon [e，1]

表9 L4上的二元算子U1Tab.9 The binary operator U1on L4

易验证, 对任意x∈Ie，y∈[0，e)有x>y, 对任意p，q∈Ie有p∨q∈Ie且对任意z∈(e，1]有Se(∧t∈(e,1]t，z)=z。然而由式(1)易见二元算子U1如表9所示。因为U1(U1(n，b)，a)=U1(a，a)=1≠a=U1(n，a)=U1(n，U1(b，a))，所以U1不是一致模。

同时, 分别在对任意x∈Ie,y∈[0，e)有x>y和对任意x∈Ie,y∈(0，e)有x‖y两种情况下, 给出了式(2)定义的二元算子U2是有界格L上一致模的两个充要条件(见定理6和定理8)。因为对任意x∈Ie，y∈[0，e)有xy, 所以从完整性的角度, 自然要问, 如果存在两个元(x，y)，(u，v) ∈Ie×(0，e)使x>y且u‖v, 那么由式(2)定义的U2为L上一致模的充要条件是什么? 一般说来, 此时式(2)定义的U2不再是L上的一致模。例如, 考虑图5表示的有界格L5, 在[e，1]上取三角余模Se=S∨, 在[0，e]上取表10定义的三角模Te。

图5 有界格L5Fig.5 A bounded lattice L5

表10 [0，e]上的三角模TeTab.10 The t-norm Teon [0，e]

容易验证, 对任意x∈Ie，y∈(e，1]有x

表11 L5上的二元算子U2Tab.11 The binary operator U2on L5

最后剩下的问题是: 当存在两个元(x，y)，(u，v)∈Ie×(e，1)使xy且u‖v)时, 问式(1) 所定义的U1(或式(2)所定义的U2)是有界格L上一致模的充要条件是什么？这是一个有趣且富有挑战性的工作, 把它留给读者去研究。