杨川 李栋龙 周虹

摘  要：应用Hirota方法及扩展的同宿测试法对广义的Vakhnenko方程进行研究，获得了该方程周期孤立波解。

关键词：Hirota方法;扩展的同宿测试法;广义Vakhnenko方程;周期孤立波解

中图分类号：O175.2          DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.03.018

0   引言

随着当代数学和物理学的发展，非线性科学日显重要，其中非线性偏微分方程是非线性科学的重要内容之一，故寻找非线性偏微分方程的精确解是数学家和物理学家的重要研究课题。至今，人们创造并发展了很多求非线性方程精确解的方法，如逆散射法[1]、Bäcklund变换法[2]、齐次平衡法[3]、双曲函数展开法[4]、扩展的双曲函数展开法[5]、Jacobi椭圆函数展开法[6]和Hirota变换法[7]等。近年来，许多学者致力于Hirota变换法的各种推广和应用[8-11]，使得Hirota变换法有了进一步的发展和拓展。这些求解非线性方程精确解的方法有力地推动了非线性科学的发展。

Vakhnenko方程（Vakhnenko equation，VE）是研究某种处于松弛介质中的高频波的数学模型[12]，公式如式（1）所示：

[∂∂xAu+u=0 ].                        （1）

其中：[A=∂∂t+u∂∂x] ，[u]表示无维压力变量，[x]和[t]分别表示空间和时间变量。对于边界条件，即当[|x|→∞]时，[u→0]，具有多回形孤子解[13]。

广义的Vakhnenko方程（generalised Vakhnenko equation，GVE）[14]，即：

[∂∂x（A2u+qu2+βu）+qAu=0] .         （2）

其中：[β]、[q]是任意的非零常數，其具有回形孤子解、驼峰型和尖型孤子解。Vakhnenko等[15]用Bäcklund转换法和逆散射法对方程在[q=1]时进行了求解，分别得到了方程具有一个无限序列守恒定律的结论和N-孤子解。El-Nahhas[16]用同伦分析法对Vakhnenko方程求解并得到了单回形孤子解。Hirota等[17]用因变量转换法（dependent variables transition，DVT）求出多孤子解。Li[18]通过研究描述电磁物理学中高频波（high frequency wave，HFW）传播的Vakhnenko方程来描述一种新型的呼吸器。通过在Hirota双线性法中将双线性函数扩展为混合指数函数和三角余弦函数，构建了一个解析多值函数解，这是一个经过验证的环状扭结呼吸器。……