李 鑫

(浙江省桐乡第一中学，浙江 嘉兴 314500)

1 例题呈现与简评

如图1所示，在水平地面上固定着相距为L的足够长粗糙导轨PQ及MN，PQNM范围内存在磁感应强度可以调节的匀强磁场，方向竖直向上，导轨左侧末端接有电动势为E、内阻为r的电源，开关K控制电路通断。质量为m、电阻为r的导体棒ab垂直导轨方向静止置于其上，与导轨接触良好。电路中其余电阻均忽略不计。导轨右侧末端有一线度非常小的速度转向装置，能将导体棒水平方向速度转为与地面成θ角方向且不改变速度大小。导体棒在导轨上运动时受到恒定的阻力f，导轨棒发射离开导轨后，在空中会受到与速度方向相反、大小与速度大小成正比的阻力，f0=kv，k为比例常数。导体棒在运动过程中只平动、不转动。调节磁场的磁感应强度，闭合开关K，使导体棒获得最大的速度。

图1

(1) 求导体棒获得最大的速度vm；

(2) 导体棒从静止开始达到某一速度v1的过程中滑过的距离为x0，导体棒ab发热量为Q，求电源提供的电能及通过电源的电量q；

(3) 调节导体棒初始放置的位置，使其在到达NQ时恰好达到最大速度，最后发现导体棒以v的速度竖直向下落到地面上。求导体棒自NQ运动到刚落地这段过程的平均速度大小。

此题把含源电路和电磁感应问题与考虑阻力的抛体运动巧妙地熔于一炉，还设计了一个最值问题。可惜，最后的抛体问题设计犯了一个科学性错误。

2 原题参考答案

本题的前两问是常规的电磁感应与动力学、能量相结合的综合题，解题方法也比较常规，在这里不再赘述，下面着重讨论第(3)问的解答。

3 问题探讨

该题第(3)问仍然是将动量定理和电磁感应相结合，但结合方式换成了一个纯粹的力学模型，试题命制者的意图是让学生在水平方向上运用动量定理求出水平位移，在竖直方向运用动量定理求出运动总时间，但犯了一个科学性错误，导体棒ab不可能以速度v竖直向下落到地面，也就是导体棒ab在水平方向上的分速度不可能是0。

还有一个经典的有关抛体运动的错题是：已知雨滴在空中运动时所受的空气阻力f=kr2v2，其中k为比例系数，r为雨滴的半径，v为雨滴下落速度，雨滴由静止开始沿竖直方向下落，落地前雨滴已做匀速直线运动，且速率为v0，用a表示雨滴的加速度，g表示重力加速度，下列图像中可能正确的是( )。

图2

不少教辅资料上都有这道题，普遍认为A选项是对的，理由是小球受到的阻力随着速度增大而增大，所以小球下降过程中加速度一定减小。但这种分析未免草率，只知道阻力随着时间增加，加速度在减小，如何确定加速度就是这么平滑地变化？实际上此问题需要解一个较复杂的微分方程。

图3

在此类问题中，虽然达到收尾速度需要无限长时间，但这些与时间相关的物理量如电量和热量却是收敛的。如含容电路的问题：电容器初始电压为U，导体棒初速度为0，回路电阻为r，磁感应强度是B，不考虑阻力，导轨足够长。

图4

4 结语

在物理学发展的过程中，微分方程始终伴随着物理学的成长。高中物理问题的解决通常采用初等数学方法，难免在一些初等数学到高等数学处理的边界之处会出现一些“冲突”，有些问题可以回避，有些问题要正面面对并解决，不能出现科学性的问题。