贾菊芳，李婷婷，徐新生

（大连理工大学 工程力学系和工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁 大连 116024）

0 引言

圆柱壳结构作为一种经典的轻质结构一直被广泛应用于航空、航天、机械、建筑等领域.由于其工作环境的复杂性，不可避免受到外界激励力的作用产生共振、失稳等现象.因此对此类构件的动力特性和动力响应进行理论分析有十分重要的意义.针对圆柱壳振动问题的研究十分丰富，LEISSA A W[1]的论著中分析了圆柱壳在各种壳体理论下的振动问题.LOY C T[2]等和ZHANG X M[3]等分别用广义微分求积法和波传播法得到了圆柱壳自由振动的解.王宇[4]等针对固支-自由约束条件下的圆柱壳，基于Love 壳体理论研究了其受径向谐波激励或径向冲击激励时的受迫振动响应特性.李榆银[5]等在辛对偶体系下采用波传播分析法研究了薄壁圆柱壳在简谐外力作用下的振动响应.杨永宝[6]等基于Donnell-Mushtari 柱壳理论，给出了薄壁圆柱壳自由振动频率的精确解，并进一步研究了径向集中简谐激励力作用于该圆柱壳某一点时的稳态响应.庞福振[7]等利用一种半解析法，基于Reissner-Naghdi 薄壳理论，对柱壳结构进行受迫振动特性分析，分别研究了其受轴向和径向单位点载荷时的动力响应.圆柱壳动力控制方程阶数较高，常用的求解方法多为半逆解法，该方法需假设满足给定边界条件的试函数，高度依赖具体问题，解缺乏一般性.因此，亟待发展一种适用于不同边界下圆柱壳振动问题的直接求解法.

基于经典Reissner 薄壳理论，在哈密顿体系下表述弹性圆柱壳自由及受迫振动基本问题.在得到圆柱壳自由振动频率及对应模态振型后，利用模态叠加法和辛共轭正交关系得到受迫振动稳态响应计算公式，分析了圆柱壳在非轴对称集中点力及轴对称分布力的简谐激励下的位移幅值，讨论了阻尼系数等因素对稳态响应的影响.

1 基本问题

考虑简谐外载荷向量feiωt（i 为虚数单位）作用下的各向同性弹性圆柱壳，见图1.壳体长为l，中面半径为R，壁厚为h.引入阻尼损耗因子η，弹性模量为E=E(1+ηi)，泊松比为μ，密度为ρ，抗拉刚度K=Eh/(1 -υ2)，抗弯刚度D=Eh3/12(1 -υ2).取柱坐标系(x,θ,r)，ueiωt,veiωt,weiωt分别对应中面任意一点的轴向、周向和径向位移响应.

图1 圆柱壳坐标系示意Fig.1 geometry and coordinate for a cylindrical shell

对拉格朗日函数变分，可得拉格朗日体系下的动力控制方程.

2 哈密顿方程及求解

其中，H为哈密顿算子矩阵，

式中，

3 自由振动问题

首先采用分离变量法讨论式（3）的齐次正则方程组，即圆柱壳的自由振动问题.

可知解的形式[8-9]可以表示为

这样，可得如下形式的本征解（以n≠0 为例）.n=0时类似，

可见只有8个独立的待定常数，这些待定常数由边界条件确定.这里将辛本征值分为两类：Im(λn) ＞ 0的记为α类， -λn记为记为β类.相对应的本征解记为

当n=0 （零本征值）时，对应的本征解也可分为2类，α类原变量与对偶变量为

考虑经典边界条件：简支、固支和自由边界.边界条件用原变量和对偶变量表示为

（1）软简支边界条件（记为SD）

（2）硬简支边界条件（记为SS）

（3）固支边界条件（记为C）

（4）自由边界条件（记为F）

将本征解代入端部边界条件，可得圆柱壳自由振动问题待定系数的齐次代数方程组，记为

4 受迫振动问题

这里考虑圆柱壳受迫振动问题的稳态响应.针对非齐次方程组(3)，其特解Ψp可由齐次方程的解叠加而成，即

式中，n为周向波数；m为轴向半波数.

将特解代入式（3），有

即将H中的Ω换成相应的Ωmn（系统固有频率）.故有

注意此处的H为受迫振动问题中的哈密顿算子矩阵，其中的无量纲频率为激励力频率.由式（16）可得，

式中，

定义辛内积[10]，

对式（17）则有

将其展开，可以得到

如果定义

式（19）可表示为

当n=j≠0 时，有

此时，式（20）为

展开为

由于振型的正交性，有

即只有当n=j,m=k时，不为0，故有

由此可得系数表达式

当n=j=0 时，有

同理可得系数表达式为

将所得系数代入式（14）即得受迫振动稳态响应.

5 对比分析

5.1 固有频率与文献结果对比

为验证辛方法对于自由振动问题的可靠性和准确性，与现有文献结果进行对比.圆柱壳模型几何参数为：h/R=0.01，L/R=20，泊松比μ=0.3，m=1.表1 为本文辛方法与文献[3]中波传播方法计算的各种边界条件 下 的 前 10 阶 无 量 纲 频 率 参 数对比.为了简化表达，用组合字母表示壳体边界条件，例如C-SD 表示在X=0 处为固支边界条件，在X=L处为软简支，其他情况类似.

表1 圆柱壳频率参数对比Tab.1 comparison of the frequency parameters for cylindrical shell

从表1 对比结果可以看出，辛分析方法的计算结果与文献结果十分吻合，说明本文方法可以准确、有效地处理各种边界条件下的自由振动问题.

5.2 幅频响应曲线与有限元对比

为验证辛方法对于受迫振动问题稳态响应解的可靠性和准确性，与有限元结果进行对比.选取两端固支圆柱壳，在位置为(θ0,X0)=(0,L/2)的点A处施加 径 向 简 谐 集 中 力 ，为力幅值.求解点B(0,L/4)的径向位移，绘制幅频响应曲线.圆柱壳几何参数为：L=10 m，R=1 m，h=0.01 m，弹性模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3，阻尼损耗因子η=0.05，力的幅值.扫频范围0～300 Hz，步长0.5 Hz.图2 为本文方法与有限元软件ANSYS 计算的点B径向位移幅值随外激励频率的变化曲线.表2 为图2 曲线最大峰值处对应的外激励频率和最大位移幅值. 通过对比可知，本文方法计算结果和有限元结果十分吻合，说明辛方法在处理受迫振动问题时仍然准确有效.由图2 可见，波峰值最大处对应的频率为26.5 Hz（基频大约为26.552 Hz），这也是实际工程中总是关注结构基频的原因.阻尼的存在和激励频率步长的选择导致该值和基频有一些出入.从式（25）和式（26）可以看出，如果不考虑阻尼，在外激励频率达到固有频率时，响应峰值将无限大.

图2 点B 位移响应Fig.2 displacement response of Point B

表2 最大峰值处对应频率与位移幅值Tab.2 frequency and displacement amplitude corresponding to the maximum peak value

6 不同类型激励力下的稳态响应

6.1 非轴对称集中力

仍考虑上述受迫振动分析中的圆柱壳.图3 给出了在点A施加径向单位集中力时，点A和点B处的幅频响应曲线.

图3 受点A 径向载荷圆柱壳位移响应Fig.3 displacement response of cylindrical shell under radial load at point A

图4为在点B施加径向单位载荷时，点A和点B的频响曲线.可以看出，在点A施力时点B的响应和在点B施力时点A的响应曲线是几乎一致的.而在施力点处的位移响应在高频处趋于平缓，不再有明显峰值.

图4 受点B 径向载荷圆柱壳位移响应Fig.4 dsplacement response of cylindrical shell under radial load at point B

6.2 阻尼损耗因子的影响

选取不同阻尼系数的的圆柱壳，考虑其受点A径向单位载荷时点B的径向位移响应，结果见图5.可见，阻尼损耗因子增大时，结构的共振峰对应频率几乎不变，而共振峰处的位移幅值明显降低，并且在较高频段，幅频曲线相对平滑，峰值不再明显.

图5 不同阻尼因子下圆柱壳位移响应Fig.5 displacement responses of cylindrical shell for different damping factors

6.3 轴对称均布力

考虑上述圆柱壳整个壳体所受径向均布载荷时圆柱壳点B的位移响应..从式（25）、式（27）可以看到，在整个环向积分时，只有当j为0 时该积分不为0，即式（25）所有系数均为0.也就是说，轴对称形式的力只能激发轴对称振型，即n为0 所对应振型，故在轴对称形式的力作用下，只需考虑轴对称模态的叠加.

图6为点B的轴向位移和径向位移，可以看到，共振频率相对较高，共振峰也相对较少.这是因为此几何尺寸的圆柱壳轴对称模态对应的固有频率相对较高；由于只激发出轴对称模态，故共振峰较少.

图6 圆柱壳位移响应Fig.6 displacement response of cylindrical shell

7 结论

基于Reissner 壳理论，建立哈密顿体系，利用辛方法研究了圆柱壳受迫振动稳态响应，主要结论如下.

（1）辛方法与文献、有限元结果十分吻合，验证本方法对于圆柱壳自由振动和受迫振动问题的处理是准确、有效的.

（2）基于数值结果知，阻尼损耗因子对共振峰值影响较大，对共振点的频率影响较小，当阻尼因子比较大时，幅频响应曲线高频部分对应峰值不再明显.

（3）非轴对称简谐激励力可以激发轴对称及非轴对称振型，而轴对称简谐激励力只能激发轴对称振型.