闫洪雷

在初中数学课堂教学中经常用到数形结合思想。如有理数内容体现着数形结合思想。数轴的引入是有理数体现数形结合思想的一个重要方面。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数比较大小，可以通过这两个有理数在数轴上对应的点的位置进行比较（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来描述的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助七年级学生正确理解有理数的性质及其运算法则。

又如应用题内容隐含着数形结合思想。列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图（这里需要和学生强调一下，绘制简单图形是初中生必备的数学技能）。例如，七年级数学一元一次方程的应用一课中，涉及到追及问题和相遇问题等，在教学中，老师必须渗透数形结合的思想方法，教给学生如何依据题意画出相应的示意图，迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。让学生体会到数形结合在实际解题中的重要性。

再如不等式内容蕴藏着数形结合思想。八年级数学下册“一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深八年级学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地展示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，也让学生理解的更加深刻。

函数及其图象内容凸显了数形结合思想。由于在直角坐标系中，有序实数对（x ，y）与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。

下面我们来谈谈如何充分利用数和形的关系去解决常见数学问题。

一、运用图形的直观解决数量关系

由于数和形是一种对应，有些数量关系比较抽象，我们难以把握，而形具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把数的对应——形找出来，利用图形来解决问题。

例、已知方程x2-2px+10=0有一个根大于1，另一个根小于1，求p的取值范围。

分析：由二次函数与一元二次方程的关系知：方程

x2-2px+10=0的两个根是抛物线y=x2-2px+10与x轴的两个交点的横坐标，因为一根大于1，另一根小于1，所以抛物线与x轴的两个交点一个在1的左边，另一个在的右边，且开口向上，如图可知当x=1时，函数值y<0，即12-2p+10<0，故p>5.5

此解法利用函数图象的直观性，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，化难为易，充分体现了数形结合解题的有效性。解此类题目，主要是我们是否能够把代数问题转化为几何问题，把握得很好。也就是说，这些代数问题怎样转化到几何性质问题上来，才是解题的关键。

二、利用数量关系揭示几何图形的性质

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

例2、等腰三角形的面积为2，腰长为 ，底角为 ，求 。

分析：本题是斜三角形问题，因此要作高化斜三角形为解直角三角形。但是本题又没有给出三角形的形状，所以在画高时就要考虑高在三角形内、三角形上和三角形外三种情况，这是一种解题方法，但非常麻煩，我们可以考虑用数形结合的思想来解决本题，用数学中的方程或方程组来解。

本题应用了数形结合思想，“形题数解”往往可以使求解思路新颖，而且几何中的多解问题可以转化为方程或方程组的多解问题。

三、将数量关系和图形的性质，在解题中串连结合使用

就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并揭示隐含的数量关系。

总而言之，“数无形不直观，形无数难入微”。见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题。因此数形结合思想在初中数学教学中起着举足轻重的作用。2472D893-FBCA-4515-943C-2D4BD9289692