2022年高考数学模拟试题

2022-06-30许少华

广东教育·高中 2022年6期

关键词：双曲线原点实数

许少华

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合，A={x|x≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）

A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0}

C.{x|0≤x≤1} D. ？准

2. 设a是实数，且+是实数，则a=（）

A. B. 1 C. D. 2

3. 如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4？仔，则这个圆锥的体积为（）

A. B.

C. ？仔 D. ？仔

4. 若当x=？兹时，函数f（x）=3sinx+4cosx取得最大值，则cos？兹=（）

A. B. C. - D. -

5. 若点O和点F（-2，0）分别为双曲线-y2=1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为（）

A.[3-2，+∞） B.[，+∞）

C.[-，+∞） D.[3+2，+∞）

6. 已知函数f（x）=2cos（？棕x+？渍）+1（？棕>0，-≤？渍≤），其图象与直线y=3相邻两个交點的距离为，若f（x）>1对任意x∈（-，）恒成立，则？渍的取值范围是（）

A.[-，] B.[-，0] C.（-，-] D.[0，]

7. 对于任意正实数x，都有lnx-aex-b+1≤0（e为自然对数的底数）成立，求a+b的最小值为（）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球. 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件. 再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则P（B）=（）.

A. B. C. D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况步数里程的公众号用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2018年1月至2018年11月期间每月跑步的里程单位：十公里的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）

A. 月跑步里程逐月增加

B. 月跑步里程最大值出现在10月

C. 跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳

10. 自平面上一点O引两条射线OA，OB，点P在OA上运动，点Q在OB上运动且保持为定值a（点p，Q不与点O重合），已知AOB=，a=，则+的值可能是（）

A. -1 B. -5 C. 1 D. 8

11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名. 他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值？姿（？姿≠0）的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中A（-2，0），B（4，0），点P满足=. 设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）

A. C的方程为（x+4）2+y2=9

B. 在x轴上存在异于A、B的两定点D、E，使得=

C. 当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线

D. 在C上存在点M，使得MO=2MA

12. P为正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=？姿BD1（？姿∈（0，1））. 下面结论正确的是（）

A. A1D⊥C1P

B. 若BD1平面PAC，则？姿=

C. 若△PAC为钝角三角形，则？姿∈（0，）

D. 若？姿∈（，1），则△PAC为锐角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 f（x）是定义在R上的奇函数，且 f（x+1）=-. 若当x∈[-1，3）时， f（x）=6-x，则 f（173）________.

14. 已知点E在 y轴上，点F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且NF=12，则p=____________.

15. 若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”，函数f（x）=kx，g（x）=x2-2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是 ______ .

16. 如图，一粒子在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}上运动，在第一秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度则粒子从原点运动到点P（16，44）时所需的时间为____. 粒子从原点开始运动，经过2004秒后，它所处的坐标为________________.

四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，

an+1=pan+n-1，（n为奇数）-an-2n，（n为偶数）

（1）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前n项和Tn .

（2）若数列{cn}满足cn=a2n，试判断{cn}是否为等比数列，并说明理由.

18.（本小题满分12分）

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）. 现从袋中任取一球. ？孜表示所取球的标号.

（1）求？孜的分布列，期望和方差.

（2）若？浊=a？孜+b，E？浊=1，D？浊=11，试求a，b的值.

19.（本小题满分12分）

在？驻ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，已知a=3，=.

（1）若c=2，求sinA.

（2）若AB边上的中线长为，求？驻ABC的面积.

20.（本小题满分12分）

一個几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AE=2.

（1）求证：AC⊥BD.

（2）求二面角A-BD-C的平面角的大小.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆x2+=1的左，右两个顶点分别为A、B. 曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为的双曲线. 设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T.

（1）设P、T两点的横坐标分别为x1、x2，证明：x1·x2=1.

（2）设？驻TAB与？驻POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且·≤15，求S12-S22的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（1）求a，b的值.

（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>+，求k的取值范围.

参考答案

一、选择题

1. C. 由x<1？圯-1

又由x∈R时，x2≥0，因此B={y|y≥0}，

于是，得A∩B={x|0≤x≤1}，选C.

2. B. +=（1-i）+（1+i）=（a+1）+（1-a）i为实数，故虚部为0，得1-a=0，a=1，选 B.

3. C. 圆锥的展开图为扇形，半径R=4，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积S1=？琢R2=4？仔，解得？琢=，所以扇形弧长1=？琢R=2？仔r，所以底面半径r=1，所以底面面积为S=？仔，圆锥高为h=，故圆锥的体积V=Sh=？仔，故选C.

4. B. f（x）=5（sinx+cosx）=5sin（x+？琢），其中sin？琢=，cos？琢=.

当x+？琢=2k？仔+，k∈Z，即x=2k？仔+-？琢时，f（x）取得最大值5 ，

∴2k？仔+-？琢=？兹，则cos？兹=cos（2k？仔+-？琢）=sin？琢=，故选B.

5. D. 由22=a2+1，解得a=. 设P（x，y），且x≥3，则

·=（x+2）x+y2=x2+2x+（-1）=（x+）-.

于是当x=时，·有最小值3+2.

6. B. 由题意可得函数f（x）=2cos（？棕x+？准）+1的最大值为3. ∵ f（x）的图像与直线y=3相邻两个交点的距离为，∴ f（x）的周期T=，解得？棕=3，∴ f（x）=2cos（3x+？准）+1. ∵ f（x）>1对任意x∈（-，）恒成立，∴2cos（3x+？准）+1>1，即cos（3x+？准）>0对任意x∈（-，）恒成立，∴-+？渍≥2k？仔-且+？渍≤2k？仔+，k∈Z，解得k？仔-≤？渍≤2k？仔，当k=0时，？渍的取值范围为[-，0].

7. A. 将式子等价整理为lnx≤aex+b-1，此题即为寻找直线y=aex+b-1，使得曲线y=lnx都在直线的下方，数形结合知道，此即寻找y=lnx的切线中某条可以实现a+b取得最小值. 故y=lnx在P（x0，lnx0）处的切线方程为y-lnx0=（x-x0），即y=x+lnx0-1，则ae=，b-1=-1+lnx0，a+b=+lnx0，令t（x0）=+lnx0，t′（x0）=-+=，所以当x0=时，取得最小值，a+b的最小值为0.

8. B. 显然A1，A2和A3是两两互斥的事件，故

P（B）=P（B|A1）+P（B|A2）+P（B|A3）=×+×+×=.

二、多选题

9. BCD. 由某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据绘制的折线图知：

在A中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故A错误.

在B中，月跑步里程最大值出现在10月，故B正确.

在C中，月跑步里程数按从小到大排列，发现中位数为5月份对应的里程数，故C正确.

在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.

10. AC. 设∠OPQ=？琢，则∠PQO=-？琢.

那么+=cos？琢+3cos（-？琢）=[cos？琢+3cos（-？琢）]=-cos？琢+sin？琢=7sin（？琢-？兹），其中sin？兹=，cos？兹=，由于？琢∈（0，），可得+∈（-，7），故选AC.

11. BC . 设点P（x，y），则==，化简整理得x2+y2+8x=0，即（x+4）2+y2=16，故A错误. 当D（-1，0），E（2，0）时，=，故B正确. 对于C选项，cos∠APO=，cos∠BPO=，要证PO为角平分线，只需证明cos∠APO=cos∠BPO，即证=，化简整理即证PO2=2AP 2-8，设P（x，y），则PO2=x2+y2，2AP 2-8=2x2+8x+2y2=（x2+8x+y2）+（x2+y2），则证得cos∠APO=cos∠BPO，故C正确. 对于D选项，设M（x0，y0），由MO=2MA可得=2，整理得3x 20+3y 20+16x0+16=0，而点M（x0，y0）在圆上，故满足x 20+y 20+8x0=0，联立解得x0=2，y0无实数解，于是D错误. 故选BC.

12. ABD. 可推得A1D⊥平面ABC1D1，所以A1D⊥C1P，A正确.

因为过A的平面AB1C与BD1垂直，平面AB1C与BD1的交点P恰好三等分BD1，所以B正确. 当λ=时，P为球心，设球半径为a，则AP=PC=a，AC=a，∴cos∠APC= =-<0，∠APC是钝角，所以C错误. 要使△PAC为锐角三角形，只需判断∠APC是锐角. 考虑∠APC是直角的情形：当∠APC是直角时，求得AP=a（如右图），∵cos∠ADP= ，在⊿ADP中，用余弦定理求得D1P=a，或，所以BP>时，△PAC为锐角三角形，所以？姿∈（，1），D正确.

三、填空题

13. -. 由 f（x+1）=-？圯f（x+3）=-？圯f（x+6）= f（x），

∴ f（x）是周期为6的周期函数，

∴ f（173）= f（6×29-1）= f（-1）=- f（1）=-.

14. 8. F（，0），则M（，），E（0，P），cos∠EFO==，作NS垂直y轴于S，NS=12-=（12+p）cos∠EFO，解得p=8.

15. [e-2，2]. 若f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则x∈[1，e]时，f（x）≥g（x），f（x）≤h（x），恒成立，即kx≥x2-2x，kx≤（x+1）（lnx+1），恒成立，

即k≥x-2，k≤，恒成立，若k≥x-2在区间[1，e]上恒成立，则k≥e-2.

令v（x）=，若k≤在区间[1，e]上恒成立，

则k≤v（x）min，v′（x）=，令u（x）=x-lnx，则u′（x）=1-，

当x∈[1，e]时，u′（x）≥0恒成立，则u（x）=x-lnx在[1，e]上为增函数，u（x）≥u（1）=1恒成立，即v′（x）=≥0恒成立，

故v（x）=在[1，e]上为增函数，v（x）≥v（1）=2恒成立，

故k≤2，综上可得：k∈[e-2，2].

16. 2008秒.（20，44）.

（1）设粒子从原点到达点An、Bn、Cn时，所经过的时间分别为an、bn、cn，由图形可设A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0），当粒子从原点到达An时，明显有a1=3，a2=a1+1，a3=a1+12=a1+3×4，a4=a3+1，a5=a3+20=a3+5×4，a6=a5+1，…

a2n-1=a2n-3+（2n-1）×4，a2n=a2n-1+1，

∴a2n-1=a1+4[3+5+…+（2n-1）]=4n2-1，a2n=a2n-1+1=4n2

b2n-1=a2n-1-2（2n-1）=4n2-4n+1，b2n=a2n+2×2n=4n2+4n.

c2n-1=b2n-1+（2n-1）=4n2-2n=（2n-1）2+（2n-1），

c2n=a2n+2n=4n2+2n=（2n）2+（2n），

即cn=n2+n.

有圖形知，粒子从原点运动到点P（16，44）时所需的时间是到达点C44所经过得时间c44再加（44-16）=28秒，所以t=442+44+28=2008秒.

（2）由cn=n2+n≤2004，解得1≤n≤，取最大得n=44，

经计算，得c44=1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点C44，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）.

四、解答题

17.（1）由an+1=pan+n-1，（n为奇数）-an-2n，（n为偶数）得a2n+1=-a2n-4n.

于是，bn=a2n+a2n+1=-4n，所以{bn}成等差数列，故Tn=-2n2-2n.

（2）由cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p（-a2n-4n）+2n=-pcn-4pn+2n .

那么=-p+，

于是，当p=时，数列{cn}是首项为1，公比为-等比数列.

当p≠时，数列{cn}不成等比数列.

18.（1）？孜的分布列为：

∴ E？孜=0×+1×+2×+3×+4×=1.5 .

D？孜=（0-1.5）2×+（1-1.5）2×+（2-1.5）2×+（3-1.5）2×+（4-1.5）2×=2.75

（2）由D？浊=a2D？孜，得a2×2.75=11，即a=±2. 又E？浊=aE？孜+b，所以当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=-2. 当a=-2时，由1=-2×1.5+b，得b=4.

∴a=2，b=-2或a=-2，b=4，即为所求.

19.（1）因为=，由正弦定理，得=，所以=.

所以sinAsinC=sinAcosC .

又因为sinA≠0，所以tanC=. 因为C∈（0，？仔），所以C=.

又因为=，所以=，所以sinA=.

（2）设AB边上的中线为CD，则2 =+，

所以42=（+）2=b2+a2+2abcosC，

即37=b2+9+3b，b2+3b-28=0. 解得b=4或b=-7（舍去）.

所以S？驻ABC=absinC=×4×3×=3.

20.（1）因为EA⊥平面ABC，AC？奂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC. 又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD. 因为BD？奂平面EBD，所以AC⊥BD.

（2）以点D为原点，DD1、DE所在的射线分别为x轴、z轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，2，2），C（2，-2，2），=（2，2，0），=（0，-4，0），=（2，2，2）. 设 1=（x1，y1，z1）是平面BCD的一个法向量，则1·=0，1·=0，即-4y1=0，2x1+2y1+2z1=0，取z1=1，解得1=（-1，0，1）. 2=（x2，y2，z2）是平面ABD的一个法向量，则2·=0，2·=0，即2x2+2y2=0，2x2+2y2+2z2=0，（？鄢）

令z2=0，得x2=-y2，再令y2=1，得2=（-1，1，0）.

设二面角A-BD-C的平面角的大小为？兹，则

cos？兹===，∴？兹=60°.

所以二面角A-BD-C的平面角大小为60°.

21.（1）题意可得A（-1，0），B（1，0）. 设双曲线C的方程为x2-=1（b>0），因为双曲线的离心率为，所以=，即b=2. 所以双曲线C的方程为x2-=1.

设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi>0，yi>0，i=1，2），

则kAP=，kAT=.

因为kAP =kAT，所以=，即=.

因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x12-=1，x22+=1.

即y12=4（x12-1），y22=4（1-x22）. 所以=，即= 所以x1·x2=1.

（2）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi>0，yi>0，i=1，2），

則=（-1-x1，-y1），=（1-x1，-y1）.