数学教育领域APOS理论的应用研究：议题、方法与启示

2022-06-30王越何声清

中小学课堂教学研究 2022年6期

王越何声清

【摘要】文章通过梳理近十余年数学教育领域APOS理论的应用研究，厘清核心议题、凝练有益经验。研究者对未来研究提出以下展望：从宏观和微观层面系统构建数学概念的理解层级模型;系统开展教学循证实践并形成标准化教学案例;系统研究本土化实践面临的问题并提出可行性方案。

【关键词】 APOS理论;理解水平;概念教学;学情分析

一、问题提出

“以学定教”是基础教育阶段数学教学设计的基本准则。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学教学要符合学生的认知规律和心理特征，使其逐步形成适应终身发展所需要的核心素养[1]。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出，数学教学要关注数学核心素养的形成和发展，通过制定科学合理的学业评价标准，促进学生在不同学习阶段素养水平的达成[2]。

新课改后，尽管“以学定教”的理念已然受到教师的广泛认同，但在教学实践中还存在难以有效落实的情况。有研究显示，教师在分析学情时常常过于依赖教学经验，缺乏实证分析，难以对学习过程进行科学、深刻的描述与解释，因而不利于教学的改进[3]。其中，一个根本问题是如何科学、深刻地描述和解释学生的学习过程？对此，美国数学家杜宾斯基提出刻画学生概念发展的APOS理论，认为数学概念的学习要经历活动（Actions）、程序（Processes）、对象（Objects）、图式（Schemas）四个阶段[4]。“活动”阶段是数学概念学习的起点，学生在该阶段通过接触感性材料、实施具体操作，获得概念的初步印象。例如，给学生呈现一个函数公式，学生采用代入法计算某个给定点的函数值，初步获得函数的概念。当多次重复上述操作后，学生通过归纳、概括及反思在头脑中形成内化的“程序”。例如，学生通过尝试计算不同点的函数值后，便认识到“给定一个点就会得到相应的值”。这一阶段与上一阶段的区别是学生不必再进行具体的活动（即计算），而是在头脑中建立起“函数机”这样的程序（即“程序性理解”），认识到“函数表示的是一个‘输入—输出的程序”。当认识到可以将上述程序视作一个整体而进行研究或运算时，学生的理解就达到了“对象”阶段。例如，学生建立起对函数的“对象性理解”后，就能够把它视作一个“数学对象”，从而开始研究这个“数学对象”的性质（例如单调性、奇偶性），并能对这个“数学对象”进行运算（例如复合运算、四则运算）。在达到“对象”阶段后，学生基本能理解概念本身，但尚未建立该概念与已有认知结构中其他概念的联系。当学生经过多次“活动”“程序”及“对象”的循环后，便能建立起对该概念更加系统的理解，即心理“图式”。例如，学生在实现函数的“对象性理解”后，将该概念与方程、不等式等建立联系，对该概念的理解就达到了“图式”水平。

APOS理论对“以学定教”理念在教学实践中的落地提供了一个标准化、可操作的理论框架，它刻画了学生概念理解循序渐进、逐级抽象的基本过程。APOS理论自引进国内后，学界对其开展了哪些应用研究？是如何研究的？當前研究取得哪些有益经验？笔者对近十余年APOS理论的应用研究进行梳理，厘清核心议题、总结有益经验，为教学实践中的学情分析、以学定教提供方法参考，为该领域未来研究的方向提出展望。

二、APOS理论应用研究的核心议题及方法

（一）基于APOS理论刻画概念理解水平

为了科学地回答“学生是如何学习数学的”[5]96，美国数学家杜宾斯基提出APOS理论的初衷是寻求一个刻画概念理解水平的一般框架。从当前应用研究来看，基于APOS理论考察特定概念的理解水平是主流方向。

濮安山等基于APOS理论编制函数概念测评工具，考察了两所学校高中生对函数概念的理解情况。结果显示，学生在做“对象”水平的题目中正确率较低（最高仅为47.6%），他们对函数概念的理解大多停留在初步认识、机械解题的水平。该研究还以APOS理论为标准比较了中美教材中函数概念编写方式的差异，发现国内教材在“活动”和“程序”阶段设计较好，但针对“对象”阶段的设计则较少[6]。秦德生基于APOS理论建立导数概念的理解层次模型，通过问卷调查等考察了东北地区高中与大学学生的理解水平。结果显示，高三和大一年级学生对“瞬时变化率”的理解水平不存在显著性差异（p=0.15），对“极限”形式化定义的理解水平存在显著性差异（p<0.05）;大一和大四年级学生对“导数”形式化定义的理解水平存在显著性差异（p<0.05）。鉴于以上结果，该研究建议：将导数内容放到高中阶段具备可行性;高中阶段导数概念的教学尚不能建立在抽象的极限、连续概念之上，而应该借助直观的物理背景加以描述;导数形式化定义的理解需要建立在大学阶段的长期教学之上[7]。熊丙章基于APOS理论建立算法理解的评价标准，通过问卷调查考察了高中生算法概念的理解水平。结果显示，学生对算法结构、算法语句的理解水平偏低，对于循环语句、条件语句的理解也不太理想。由此建议：算法内容的设计应借助实例将其转化成计算机语言加以表述，教学应以上机验证学生的算法为主[8]。除基础教育阶段外，APOS理论在高等数学教学研究中的应用也较广泛[9-10]，在此不做赘述。

综上所述，基于APOS理论刻画概念理解水平的一般流程是：首先，基于APOS理论构建特定概念的理解层级模型;其次，以该模型为依据编制测量工具;最后，基于测量工具开展调查研究，统计学生在各理解层级上的分布情况。

（二）基于APOS理论开展阶段化教学

在回答“学生是如何学习数学的”之后，“制订什么样的教学计划”就成为APOS理论关注的另一个问题[5]96。因此，基于APOS理论开展阶段化教学是另一个主要研究方向。

张中发以数列概念为例，通过实验研究考察了基于APOS理论的阶段化教学对学生学业成绩、问题解决能力及非认知因素的影响。结果显示，实验班在学业成绩和非认知因素方面均显著优于对照班（p<0.05），在处理复杂问题时的表现也优于对照班，而且题目越综合、难度越大，上述差异就越明显，这说明基于APOS理论的阶段化教学能有效促进学生全面发展[11]。江春莲等基于APOS理论设计了“二次函数图象平移”的教学，采用动态几何软件作为教学辅助，通过准实验研究考察了该教学方式对于学生概念理解的影响。结果显示：实验组学生在二次函数图象的平移、点的平移等任务上的表现均显著优于对照组。该研究还指出，基于APOS的教学设计还可以推广到三角函数图象变换的教学中，显示了该理论在指导教学实践方面的优越性[12]。潘春娥等基于APOS理论设计了“指数函数及其性质”的教学阶段，采用皓骏（Hawgent）动态数学软件作为教学辅助，引导学生先后经历了五个关键学习环节。学习过程的设计适应了学生的思维发展特征，因此学生不仅能够收获“鱼”（知识和技能）和“渔”（思想和方法），还能获得极大的“欲”（动机和兴趣）[13]。张云辉等基于APOS理论设计了函数概念的起始课教学，构建了创设情境“话”函数→实例分析“生”函数→剖析概念“辨”函数→经历实践“用”函数→总结反思“悟”函数→感悟哲思“赏”函数的阶段化教学流程，以初中阶段的“变量说”观点为暗线，以高中阶段的“对应说”观点为明线，实现了函数概念教学的连贯性和整体性[14]。李彩红等在分析学生对于“函数”概念理解困难的基础上，融合APOS理论、多元表征理论及变式教学理论进行了阶段化的教学设计，证实了APOS在促进学生概念学习方面的优势，指出阶段化教学有助于学生深化概念理解，把握概念建构的过程，有助于提升教学质量和效果[15]。吴华等基于APOS理论设计了“导数”概念的教学阶段，采用GeoGebra软件作为教学辅助，引导学生先后经历了活动操作、主动探究、构造概念及建立图式四个学习阶段，相继实现了感悟平均速度、理解导数概念、掌握运算性质及形成概念体系四个学习目标[16]。8047C9C7-6FA2-4B4B-AD64-F7EF1998FAA6

综上所述，基于APOS理论开展阶段化教学的一般研究流程是：首先，基于APOS理论对特定概念的教学进行再设计;其次，根据该教学设计开展教学实验和调查研究;最后，基于实验数据、课堂记录和课后访谈等，验证上述阶段化教学的有效性。

（三）基于APOS理论的教师知识研究

除上述两个主要应用方向的研究外，还有基于APOS理论开展教师知识方面的研究。例如，有研究基于APOS理论考察教师的学科知识水平。顾庆梅基于该理论考察了数学教师对“位值”等概念的理解水平。结果显示，教师的数学本体知识大都处于中段的程序和对象水平，而达到图式水平的教师比例较低。再如，在退位减法问题中，教师活动、程序、对象及图式水平的比例分别为5%、45%、40%及10%;在两位数乘两位数问题中，上述四个水平的比例分别为5%、46.67%、40%及8.33%。研究指出：教师应加强学科本体知识的学习，在教学活动中将学科本体知识与教学知识相结合[17]。又如，戴锡莹基于该理论构建了数学教师教育技术知识（TPMK）的结构体系[18]。刘晓静基于APOS理论，通过课堂观察等方法考察了职初教师与专家型教师教学过程的差异及由此产生的影响。结果显示，当教师在程序、对象阶段的教学差异较大，所教学生的学业成绩也存在显著性差异（p<0.05）[19]。由此可见，APOS理论可作为衡量教师本体知识、教学知识的参考框架。新课改后，教师对于“以学定教”理念大都是“高度赞同、低效落实”，原因在于其分析学情的方法不合理、教学过程的设计无依据。当前，有关教师基于APOS理论（包括但不限于）开展阶段化教学能力的研究相对较少，建议未来研究可对此展开更深入的探索。

三、APOS理论应用研究的反思

综上所述，已有研究显示，APOS理论的本土化应用对于数学的教与学产生了积极影响，基于该理论构建的概念理解层级模型清晰地刻画了学生的学习过程，基于该理论构建的阶段化教学对数学学业成就、问题解决能力、非智力因素均有积极影响。除此之外，该理论在本土化过程中尚面临诸多问题或挑战。当前研究对此有哪些有益经验？笔者对此进行了以下反思。

（一）情境是“活动”的手段而非目的

根据APOS理论，活动是概念学习的第一步，即接觸感性材料、实施具体操作，以获得概念的初步印象。在该阶段，为概念学习创设适切的现实情境尤其重要。但值得注意的是，创设情境是手段而非目标，当学生通过现实情境达到活动水平、初步感知数学后，应引导他们往更高的理解水平发展，而不要在情境本身周旋过多。概念教学不可流于情境、不能陷于活动，否则容易顾此失彼。在概念教学过程中，创设情境是必要的，但应注意量和度。相较之下，基于学生概念学习的层级模型设计阶段化教学更为关键。

（二）“程序”阶段具有不可跨越性

“程序”作为“活动”和“对象”的中间阶段，既是对前一阶段的内化，又是后一阶段的基础。不经由“程序”阶段，学生难以通过“活动”直接实现概念的对象化。在实际教学中，若只依靠教师的快速抽象或替代体验，会导致学生的学习过程不连贯、概念建构不完整。基于APOS理论开展阶段化教学应让学生在操作中感受知识的形成过程，帮助他们建构新的知识结构。学生将数学问题从现实情境中抽离出来后，还需亲历反思和内化的阶段，即摆脱外部操作的束缚，实现内部的程序化理解。相应地，教师在教学中需要引导学生自我反思，有意识地将操作经验内化为心理程序。

（三）“对象”的建立不能一蹴而就

建立数学概念对象性理解需建立在反复操作、不断内化的基础之上，其过程具有曲折性，因此不能一蹴而就。正是因为这样的曲折性，学生往往会产生各种认知偏差。在实际教学中，教师可以通过概念辨析纠正学生的认知偏差，通过活动操作、程序内化加深学生对知识的理解。

例如，在初步接触函数的概念时，学生往往难以将定义与图象建立联系。因此，在遇到判断图形是否表示函数关系的问题时，有部分学生认为：因为它们都无法用式子表示出来或者图形没有变化规律，所以不是函数。

例如图1，下列图形是否表示y是x的函数？

根据函数的定义，对于每一个确定的x，都有唯一确定的y与之对应，即任意的直线x=a与函数图象都有一个交点。因此要判断图形是否表示函数关系，可作一条垂直于x轴的直线（x=a）并将其左右移动，若不论移动到任何位置，其与图形都只有一个交点，那么这个图形中的两个变量就有函数关系。通过这样的直观操作，教师能帮助学生内化概念，使学生进一步理解函数的概念。

（四）四个阶段并非严格线性递进

概念的对象性理解是程序性理解之后的更高水平，概念的图式则是操作性理解（即“活动”水平）、程序性理解和对象性理解的综合（即认知结构），但上述水平的关系并非严格线性递进的。换言之，概念学习并非一定要经历完前面所有阶段才能够进入“图式”阶段。这是因为“图式”阶段的达成度不仅受前三个阶段教学的影响，还受学生对其他相关概念理解水平的影响。因此，“图式”水平一般是在较长一段时间内逐步达成的，而前三阶段的教学并非唯一的决定因素。在实际教学中，教师应在遵循阶段化教学的基础上，加强学生对知识体系的认识，帮助学生在头脑中建立完整的心理图式。

（五）划分层级时应关注群体差异

基于APOS理论构建的理解层次模型在一定程度上揭示了特定概念的学习过程规律，但上述模型常常因忽视群体差异而指导作用有限。例如，尽管学生对某个概念的理解能够达到“图式”水平，但不同群体学生在该水平上的占比可能存在较大差异。究其原因，每个学生的知识基础、生活经验、思维方式、学习能力等存在差异，这使得他们对特定概念的学习过程也会产生差异。例如学生对导数概念的理解存在性别差异，学生的算法能力在不同学校间存在差异[8-9]。由此可见，在揭示特定概念的理解层次模型后，教师需对不同群体进行更细致的研究，如此才能构建既普适又具体、既宏观又微观的概念理解层次模型。8047C9C7-6FA2-4B4B-AD64-F7EF1998FAA6

四、未来研究展望

近十余年来，国内数学教育领域应用APOS理论对概念理解、教学阶段、教师知识方面开展的研究日渐增多，由此形成了三个鲜明的应用方向。值得注意的是，当前的应用研究主要有两个来源：一是硕士或者博士学位论文，二是一线教学案例。内容选取还不够全面、方法设计还不够系统、实验周期还不够充分，尚未有专门从事该理论应用研究的核心团队。在学生认知水平的测评方面，建议加强系统设计并开展调查研究;在课堂教学阶段的设计方面，建议关注实践检验并开展实验研究;在教师知识研究方面，目前以硕士学位论文为主。基于以上分析，笔者对未来研究提出以下展望。

第一，宏观的理解层级模型有助于教师整体把握教学的关键环节，微观的理解层级模型则聚焦特定概念，是教师精准诊断学情、设计阶段教学的行动指南。对此，笔者建议从宏观和微观层面系统构建数学概念的理解层级模型，既揭示特定概念学习的一般规律，又具体刻画特定群体的学习特征。

第二，当前有关应用APOS开展的案例设计和教学实施虽多，但对其实践效果进行实验验证鲜有研究，基于实验验证对案例设计进行优化更鲜有研究。笔者建议应系统开展基于APOS理论的阶段化教学循证实践，形成一系列标准化、可操作、可推广的教学案例。

第三，根据已有研究的内容，APOS理论在本土化实践过程中有出现“水土不服”的情况。为此，笔者建议应系统研究该理论本土化实践过程中面临的问题，提出阶段化教学模式的可行性方案。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[3]毛耀忠，李海，张锐.高中数学教学设计中的学情分析现状调查[J].数学教育学报，2018（5）：33-36，87.

[4]DUBINSKY E，WILSON R. High school studentsunderstanding of the function concept[J]. Journal of Mathematical Behavior，2013（1）：83-101.

[5]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[6]濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007（2）：48-50.

[7]秦德生.學生对导数的理解水平及其发展规律研究[D].长春：东北师范大学，2007.

[8]熊丙章.高中生的算法理解水平及其教学策略研究[D].重庆：西南大学，2013.