高玉明，张天瑞，张 赛

(1.沈阳大学机械工程学院，沈阳 110044；2.沈阳水清环境工程有限公司，沈阳 110136)

0 引言

随着消费者个性化定制需求日益增长，制造行业中的大批量生产方式开始向小批量定制逐步转化。此类生产方式因其产品价值高、生产工艺复杂等特点对企业提出更高要求[1]。产品质量的有效把控在能满足消费者对产品质量要求的同时也为企业赢得市场竞争力。

针对多品种小批量产品质量问题，国内外学者开展了大量相关研究。LIU等[2]针对订单驱动的多品种、小批量产品生产，设计了一种面向离散制造的实时车间数字化双调度平台。CHEN等[3]提出了一种将控制图模式识别应用于异常检测的集成模型，在小样本情况下比其他方法具有更高的分类准确率。YANG等[4]针对小批量定制化混合模型装配生产问题，构建了一种集在线数据采集、自动归并排序(MS)和自适应均衡(AE)算法于一体的多目标、多约束调度优化模型。陈鑫等[5]针对多品种小批量生产模式下工序质量控制问题，基于共轭贝叶斯理论建模作单值-移动极差控制图，实现对生产过程的动态控制。SUN等[6]为解决多品种小批量生产模式下工艺路线灵活、车间调度方案变化频繁等问题，建立了以碳排放和成本为多目标的多工艺路线调度优化模型。上述文献在一定程度上解决了产品质量问题，但在多品种小批量产品质量控制等方面还有待提高。

当前最小二乘支持向量机(least squares support vector machine，LSSVM)因其求解速度较快而被广泛应用于各种领域的预测问题。AHANGARI等[7]使用LSSVM和自适应神经模糊推理系统算法与粒子群优化结合作为一种合适的方法来增加预测地球化学因素的精度。ZHAO、WU等[8-12]分别将最小二乘支持向量机与主成分分析、灰狼算法、遗传算法等人工智能算法相结合，应用于工程造价、故障诊断、天气预测和环境监测等领域，预测结果对生产生活均有良好的指导作用。然而，LSSVM在预测过程中易陷入局部最优解。基于此，本文采用梯度优化(gradient-based optimizer，GBO)理论对LSSVM初始参数进行寻优处理，以提高其预测精度，并基于实例构建轴套类零件GBO-LSSVM质量预测模型，通过仿真对比验证该模型的可行性和优越性。

1 算法理论

1.1 梯度优化算法

GBO是AHMADIANFAR等[13]提出的一种基于梯度和种群方法相结合的元启发式优化算法。GBO算法通过牛顿法确定搜索方向，利用向量集和两个主要算子(梯度搜索规则和局部转义算子)探索搜索域。相比其他算法，GBO提供更多最优结果能够利用具有挑战性和未知搜索领域优化现实世界问题，且该算法具有较强的运算能力。GBO结合使用两个主要运算符：梯度搜索规则(gradient search rule，GSR)和局部逃逸算子(local escaping operator，LEO)，共同使用一组向量探索搜索空间。GSR采用坡度算法达到更优位置搜索空间，搜索引擎在GSR和LEO之间实现了两个阶段之间的探索和开发，两个阶段同时运行使该算法达到最优性能。因此，在GSR和LEO之间创造一个适当的平衡过程至关重要。目前，GBO已经通过在两阶段间建立适当平衡，使优化算法杂交性能得到更好探索和开发[14]。在优化问题中考虑了目标函数的最小化问题，且GBO具有较优全局收敛能力。

GBO控制参数包括从探索到开发的转换参数与概率，种群内每个成员都用向量表示。通常，GBO的初始向量是在D维搜索域中随机生成的，可定义为：

Xn=Xmin+rand(0,1)×(Xmax-Xmin)

(1)

式中，Xmax和Xmin分别是决策变量X的上界和下界，是取值于[0,1]的随机数。

GSR是GBO算法最为核心的部分。在梯度搜索规则中，为了获得更好的位置控制向量运动，增强GBO的勘探趋势，加速GBO的收敛，以便在可行域中更好地搜索，因此基于梯度算法的概念提出了GSR。鉴于许多优化问题不可微，因此采用数值梯度方法代替函数直接推导。通常，梯度搜索方法从一个猜测初始解开始，并沿着梯度指定方向向下一个位置移动，根据等式导出GSR。利用泰勒级数计算一阶导函数f(x+Δx)和f(x-Δx)可以分别表示为：

(2)

(3)

由式(2)和式(3)与中心差分公式可得出以下一阶导数：

(4)

基于式(4)更新位置：

(5)

GSR的职责是在搜索空间中寻找更佳位置，提高收敛速度加速，GSR表示如下：

(6)

因此，更新当前向量位置表达式为：

(7)

(8)

(9)

(10)

式中，ra和rb是[0,1]中两个随机数值。图1为GBO主要模型的结构。

图1 GBO主要结构图

可以看出，GBO从随机设置初始参数开始到最终解位置，根据梯度指定的方向更新每个位置向量。为保证显著搜索空间区域探索与开发之间的平衡，采用显著因子ρ1使其接近全局最优点。为了更好利用算法，添加使用最佳向量的运动方向(DM)，这个过程创造一个适合局部搜索趋势来提升GBO算法的收敛速度。

LEO算法能够解决GBO算法中的复杂问题，有效避免了陷入局部最优，提高了GBO算法的收敛速度。LEO包括最佳位置解、两个随机最佳解和一个随机生成解，LEO的最佳位置解如下：

当rand<0.5时，

(11)

当rand≥0.5时，

(12)

式中，f1为[-1,1]范围内的均匀随机数；f2为均值等于0，标准差等于1的正态分布的随机数；ρ1为小于0.5的随机概率；u1、u2、u3是三个随机数。

1.2 最小二乘支持向量机

LSSVM是支持向量机的一个实现，用于分类和模式识别、回归分析和学习排序函数的问题，适用于多品种小批量研究。LSSVM的优点包括高精度、数学可处理性和直接的几何注释。该算法将输入和输出之间的非线性关系转换为线性关系。LSSVM使用下面的方程来表示输入和输出之间的关系：

(13)

式中，M为输出值；αi为输入数据加权系数；b代表偏置；k(x)为非线性映射函数。

LSSVM尽量减小测量数据和估计数据之间的差异，参数αi和b的计算方式如下：

(14)

(15)

用径向基函数作为核函数，如式(16)所示：

(16)

根据LSSVM的基本特点，构建图2所示多品种小批量产品质量预测输出结构示意图。

图2 LSSVM单输出结构图

图中，第一层为输入层，向其中输入n个支持向量；第二层为隐藏层，代表核运算过程，本文所选函数为径向基核函数；第三层为输出层，在预测权值b影响下，得到最终质量预测函数。

通过上述模型以及公式分析，在LSSVM预测模型中，最为重要的是影响模型复杂度和精度的惩罚函数γ和核函数δ，因此采用合适的算法寻找参数势在必行。

2 基于GBO-LSSVM质量预测模型

针对轴套类零件复杂度高，样本量小等特点，本文提出GBO-LSSVM模型。GBO用于轴套类零件参数提取，集合技术需要一个目标函数来评估候选解决方案。优化问题在有界空间内定义，具体形式如表1所示。

表1 参数定义

该轴套类产品难点在于尺寸公差以及对内孔直径加工时变形控制难以保证，通常在加工时会产生形变，故选取参数K为估计变量，利用本文所提出的GBO-LSSVM建模方法，建立该变量的预测模型。

惩罚函数γ和核函数δ对LSSVM模型精度有显著影响，γ影响模型拟合程度以及泛化能力；而δ决定着计算能力大小与多寡。本文将采用GBO算法对LSSVM参数寻优。在LSSVM和GBO混合算法中，将LSSVM参数取值作为决策变量。GBO-LSSVM的伪代码如表2所示。

表2 GBO伪代码

LSSVM的预测模型中要提高搜索精度以及预测准确度，可以合理选择惩罚函数γ和核函数δ，若预测结果不尽人意，则需考虑重新选择参数。梯度优化算法能够利用具有挑战性和未知的搜索领域优化现实世界的问题，致使其能够以极快的速度参与寻优以及收敛。GBO-LSSVM算法用于多品种、小批量基本的步骤描述如下：

(1)从现有数据中随机选取测试和训练数据；

(2)初始参数迭代次数和总体规模随机确定；

(3)初始化LSSVM参数，GBO算法在搜索空间中找到最优参数γ和δ；

(4)在得到LSSVM参数最优解后，利用训练数据和测试数据得到LSSVM优化模型，并对LSSSVM优化模型预测能力进行评价。

3 数值仿真分析

3.1 参数设置

轴套类作为多品种、小批量生产的主要生产类型，其零件种类丰富，根据用途有不同材料和规格可供选择，常见于航空、汽车、泵阀等机械制造行业中。随着国内质量要求提高，质量控制与预测方面的需求受到广泛重视。对控制来说，质量预测能更好地将生产过程中的不确定因素排查清楚。本文选用某机加工车间精车某轴类零件左端外圆直径尺寸作为观测数据，预测其左端外圆直径加工精度变化。每隔1个单位时间记录1次当前直径数据，连续观测30个单位时间，拟采用25组数据为训练集，5组数据为样本集数目。

本实验采用Intel(R) Core(TM) i5-5200U CPU @ 2.20 GHz 2.20 GHz处理器，软件环境为Windows 10的实验设备。根据文献[13]利用MATLAB R2018a设置各参数如下：种群大小为N=30，最大迭代次数为tmax=100，惩罚函数γ的取值范围为[0.01,100],核函数δ的取值范围为[0.01,1000]，概率pr=0.5，浮点数绝对值FADs=0.2，所有实验独立运行30次。当迭代次数t达到100时，迭代计算停止。

3.2 算法对比

根据实际测得的30组精加工外圆左端直径数据为样本，将训练集数据样本输入LSSVM训练，采用GBO优化寻求最优参数分别为：γ=103.54，δ=5.11，从而建立该零件质量预测模型。而后将测试集样本数据输入模型中，得到图3预测对比曲线图与图4预测偏差统计图，并且为验证GBO-LSSVM算法在多品种小批量质量预测的性能，将与GWO-LSSVM、PSO-LSSVM、GA-LSSVM算法进行仿真比较。

图3 4种算法预测模型对比图 图4 4种算法预测偏差统计图

通过图3可以看出4种预测模型的拟合程度，所采用4种质量预测模型均可预测出结果，但在预测中，对比其他3种模型，本文所采用GBO-LSSVM模型在预测开始就有了另外3种不具备的优势，其预测结果大幅领先。

通过图4可以清晰看出本文所采用GBO-LSSVM模型大致在误差为零的区域内徘徊，相比本模型，其他3种模型的误差要大于本模型的误差。这也证明了应用LSSVM模型具有更好的泛化能力，尤其针对多品种小批量生产过程中零件群体的分析与处理。而其他3种算法相对来讲滞后于GBO-LSSVM模型的原因则是GBO利用搜索引擎在GSR和LEO之间实现了两个阶段之间的探索和开发，两个阶段同时运行使该算法达到最优性能，从而获得了比GWO、PSO和GSA更好的参数寻优效果。

判断算法收敛速度与精度最直观的方法就是迭代曲线图，从图5中可以看出整个优化过程中，4种模型分类器仿真的收敛过程。

图5 迭代曲线图

GBO-LSSVM模型在第40次迭代就得到最优解，而 GWO-LSSVM、GSA-LSSVM和PSO-LSSVM分别在150、470和770次敛得到最优解。可以看出，其他3种模型收敛速度远不及本文采用的GBO-LSSVM模型。因为相比于其他算法，GBO能够在保持不同难度和复杂性的优化环境中执行有效搜索，生成的优化解决方案具有比原始方法和其他各种竞争对手方法更好的适应度值，从而得到收敛速度与搜索精度的极大提升。

3.3 结果分析

为量化多品种小批量生产质量预测模型效果，使得各模型之间可以比较，本文使用均方根误差(root mean square error，RMSE)、平均误差百分比(mean percentage error，MAPE)和平均绝对误差(mean absolute deviation，MAD)衡量产品质量输出与实际值的差距。若3种误差过小，会出现过拟合状态，导致预测失效；若3种误差过大，则表明预测精度不高，而GBO能够平衡这两者之间程度。RMSE是目标函数，必须通过算法技术最小化。每次运行GBO时都会提取X个决策变量。计算RMSE、MAPE和MAD的数学表达式定义如下：

(17)

(18)

(19)

式中，N为样本量；ji为预测值；Ji为实际值。利用RMSE衡量预测值与观测值之间的误差，目的是减少陷入局部最优概率，并加快求解过程。图7为轴套类零件观测值与模拟值之间的误差。

图6 轴套类零件预测值的RMSE、MAPE、MAD箱线图

为了更直观地表达观测值与模拟值之间的误差，表3给出了误差均值和波动情况的数值对比。

表3 4种模型的误差值

由表3可知，GBO-LSSVM模型的MAPE为2.4%，MAD为1.3%，这表明该模型的真值与预测值之间的误差非常小，并且前文提到，GBO算法能够平衡过拟合与误差较大之间的关系，这说明该模型预测精度与准度非常高。其余3种模型MAPE均大于10%，MAD均大于5%，表明误差值与真值相差较大，预测精度较本文所构建的模型较低。GBO-LSSVM模型的RMSE为13.54，而其他模型的RMSE均大于30，这说明GBO-LSSVM模型的真值与预测值离散程度较其他3种模型低，拟合程度更高。由上述分析可知，GBO-LSSVM有较强的预测性能。

4 结论

本文以轴套类零件左端外圆直径尺寸作为分析数据，采用GBO-LSSVM预测模型解决多品种小批量质量预测问题，分析研究得到以下结论：

(1)梯度优化算法能够通过GSR和LEO运算符梯度显著搜索空间区域探索与开发之间的平衡，GSR的全局搜索项保证了GBO的全局搜索能力；LEO能够有效避免陷入局部最优的问题，提高GBO算法的收敛速度。两个阶段之间的平衡有效搜索支持向量机两个重要参数，并提高预测精度。

(2)与GWO-LSSVM、PSO-LSSVM、GA-LSSVM模型相比，本文采用GBO-LSSVM模型在进行预测分析时具有更佳的全局寻优能力和稳定性。GBO-LSSVM模型具有精度高、平衡探索与开发、收敛速度快、全局求解能力强、易于实现等优点。

(3)针对轴套类零件加工问题，通过模型、预测图与预测偏差图分析对比，表明本文采用方法误差小于其他3种模型，预测值与真值曲线较为接近，验证了本文模型的有效性。另本文数据量较少，也是多品种、小批量生产的一个特点，下一步可以考虑再增加一部分数据，以达到更有效的预测效果。