杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510800)

纵览2021年高考数学卷，细细品读，一道新高考Ⅰ卷第19题解三角形试题引起笔者的注意，冥思苦想的解答过程，感受着不一样的数学味道.

1 展示考题，绽放别样的解法

题目(2021年新高考Ⅰ卷19)如图1，记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

图1

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析主要考查三角形正、余弦定理的综合运用.第(1)问与传统设问不同，依托已知条件，要么从正弦定理入手，要么作辅助线入手，利用三角形相似即可；第(2)问设问常规，方法较多，入口容易.要么列方程组，利用余弦定理，要么利用三角形相似找到边角关系等即可.

1.1 第(1)问解析

解法1(边角互化公式)由正弦定理，得

b=2RsinB,c=2RsinC.

代入BDsin∠ABC=asinC,得BD·b=ac，且b2=ac,所以BD=b.

解法3(三角形相似)如图2，过点B作BH⊥AC交于点H，则BH=BDsin∠BDA=asinC.

图2

因为BDsin∠ABC=asinC,

所以sin∠BDA=sin∠ABC.

经检验，若∠ABC,∠BDA为一个锐角一个钝角时，则AD

所以∠BDA=∠ABC(同为锐角)，∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以b·BD=ac且b2=ac,

所以BD=b.

解法4(正弦定理公式)如图2，过点B作BH⊥AC交于点H，则BH=BDsin∠BDA=asinC.

因为BDsin∠ABC=asinC.

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

经检验，∠ABC,∠BDA为一个锐角一个钝角或同为钝角时，都与已知条件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA(同为锐角)，∠ABD=∠C.

所以b·BD=ac且b2=ac,

所以BD=b.

1.2 第(2)问解析

①

②

因为b2=ac,

③

由①②③,得6a2-11ac+3c2=0.

即9b2=c2+4a2+4accos∠ABC

④

⑤

因为b2=ac,

⑥

由④⑤⑥,得6a2-11ac+3c2=0.

下面部分与解法1后面部分相同.

若∠B为钝角，b为最大，与b2=ac矛盾，舍去.

因为BH=BDsin∠BDA=ainC,

又因为BDsin∠ABC=asinC,

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

经检验，若∠ABC,∠BDA为一个锐角一个钝角时，则AD

所以∠ABC=∠BDA(同为锐角)，∠ABD=∠C.

又因为∠ABC=∠BDA,BDsin∠ABC=asinC,

⑦

⑧

解法4(作辅助线)如图2，过点B作BH⊥AC交于点H，则BH=BDsin∠BDA=asinC.

因为BDsin∠ABC=asinC,

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

经检验，∠ABC,∠BDA为一个锐角一个钝角或同为钝角时，都与已知条件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA(同为锐角)，∠ABD=∠C.

下面部分有几种思路：

(1)正弦定理+余弦定理.

(2)相似三角形+余弦定理.

所以∠ABC=∠BDA(锐角)，∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

(3)相似三角形+方程组.

所以∠ABC=∠BDA(锐角)，∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

由三角形射影定理,得a=ccosB+bcosC,

⑨

bsinB=asinC.

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2 解后反思，紧扣数学核心素养

解三角形常常涉及到有关角度、长度、周长、面积等问题,主要运用正、余弦定理，试题入手容易、难度不大，但在解题中用到的公式、定理多、变化大，对计算能力、思维能力的要求比较高，学生稍有不慎，就容易出错.为改变这种“会而不对，对而不全”的局面，学生必须做到：(1)要树立做对的信心，对相关题目不能满足会做，更不能满足“似曾相识”；(2)对典型的例题、做过的高考题进行分析总结，找出规律，掌握方法；(3)关注细节，对解题过程中暴露的问题精准定位，弄清楚哪一个环节出问题，及时有效地解决.

新教材不再将《解三角形》作为一章，安排在人教版高中数学第二册第六章向量应用之后，成了一线教师对新教材新教学的热门话题，其作用和地位是否减弱？今年新高考第19题的出现正好回答了一线教师的疑云，一切水落石出、烟消云散.具体如下：(1)题号顺序靠后，以前是容易题，一般放在解答题的第17题，而这次安排在第19题；(2)题设条件全部用字母形式，设问的问法也不同.传统的题设条件一般有数值表示，第一问常常是求角的大小(常常30°,45°,60°中取舍)或长度.

新高考新在哪？命题专家们结合《深化新时代教育评价改革总体方案》考查学生关键能力，紧紧围绕数学核心素养做文章，走开放创新之路.目的是避免刷题、套路，改变相对固化的试题形式，减少死记硬背和“机械刷题”现象，让学生真正理解数学、体验和探索数学问题的过程.

3 变式题组， 拓展主体框架体系

当前有一种比较认可的有效课堂，那就是变更条件、编写变式题组，然后进行题组化训练. 其目的是让学生熟悉考试题型，在短时间内记住题型的解题方法，对提高学生数学素养很有帮助.

3.1 变更题设条件，结论不变

变式1(2021年高考Ⅰ卷19改编)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c分别成等比数列，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

变式2(2021年高考Ⅰ卷19改编)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且它们分别成等比数列，点D在边AC上，AC边上的高为BDsin∠ABC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

变式3(2021年高考Ⅰ卷19改编)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，b2=λac(λ≠0为常数)，点D在边AC上，∠ABC=∠BDA.

(2)若AD=2DC时， 求cos∠ABC.

3.2 变更题设条件、结论

变式4(2021年高考Ⅰ卷19改编)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，点D在边AC上，且边AC上的高为bsin∠ABC.

(1)求证：b2=ac；

(2)若AD=λDC(λ为常数)，BD=b，求cosC.

变式5(2021年高考Ⅰ卷19改编)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=3,c=2，点D在边AC上，且边AC上的高为bsin∠ABC.

(1)求AC的长度；

(2)若AD=2DC，求BD的长度.

4 链接高考，拓宽解题视野

链接高考，寻找似曾相识题，比对感悟，触类旁通，归纳出一类题，形成一个系统块，进而拓宽解题视野.

图3

(1)求BD的长；

(2)求△ABC的面积．