刘达列 胡潇毅

(浙江农林大学光机电工程学院 浙江杭州 311300)

金属波纹管具有位移补偿、连接、密封、减震等重要作用，作为基础元件在机械密封系统、管道系统、冷却系统、船舶和电力等领域广泛应用[1]。金属波纹管的力学性能对整个系统的安全运行具有重要意义，研究人员对金属波纹管的刚度、强度、稳定性、疲劳寿命及振动特性等做了大量研究[2-10]。尤其是刚度作为波纹管设计的主要性能参数，是波纹管力学性能研究的热点。有限元分析技术在刚度特性研究中的应用非常普遍。姜宏春等[2]利用ANSYS对挤压成型波纹管的轴向刚度进行了计算，并与EJMA经验公式计算结果进行了对比。万宏强和汪亮[3]通过对计算经验公式的温度修正，应用有限元软件计算了低温环境下的波纹管轴向刚度。占丰朝等[4]采用有限元方法对不等壁厚的U形波纹管刚度进行了非线性分析，并通过实验结果进行了验证。谭金等人[5]利用有限元研究了波纹管波片波形直线段、圆弧段几何尺寸对其刚度的影响。修筑等人[6]对工业上常用波纹管的轴向刚度进行了仿真计算，分析了壁厚变化对轴向刚度的影响，并与实测数据进行了对比。在这些研究中，主要采用实体壳单元或者轴对称单元来模拟波纹管，但由于波纹管特殊的几何形状，通常需要生成大量单元来进行分析。尤其当波纹管仅仅是大型模型的一部分，而需要对整个模型进行分析，或者需要研究波纹管参数对整个系统的影响时，采用实体壳单元等建模较为耗时，效率较低。

本文作者利用ANSYS软件的Matrix27刚度单元建立波纹管简化模型，对不同试件的轴向刚度和扭转刚度进行有限元计算，并与实体有限元模型计算结果及EJMA工程实际经验公式计算值进行了对比，从而验证该简化模型的可靠性。同时应用该简化模型对含有波纹管的整体系统的结构分析进行了研究。

1 Matrix27刚度单元模型理论

对于金属波纹管，尤其是作为位移补偿件的波纹管来说，在使用过程中的刚度属性是它最主要的特性。按照不同的载荷及位移性质，波纹管刚度又可分为轴向刚度、弯曲刚度、扭转刚度等。文中利用ANSYS软件[11]的Matrix27刚度单元来模拟波纹管的刚度特性，同时满足结构静态平衡的要求。该单元无需定义波纹管本身的几何尺寸，只由矩阵中的各个系数来反映单元总体的弹性运动响应特性。假设波纹管两端的变形较小，满足经典梁理论的平面截面条件，则波纹管两端的变形模式完全可以由两端横截面中心处的3个平移和3个转动分量确定。Matrix27刚度单元是通过2个节点构成的一种有限元单元，每个节点具有6个自由度，即3个线位移和3个角位移。该单元由12×12刚度矩阵K表示，即

该矩阵为对称矩阵，共有78个独立的系数，即k1，k2，…，k78，这些系数与波纹管的刚度属性直接相关。计算出矩阵中的78个独立系数，即可在ANSYS中定义Matrix27单元的78个实常数，从而创建波纹管简化模型。由Matrix27单元的刚度矩阵属性可得[12]

(1)

其中K11的含义为：当Matrix27单元2个节点中其中一个节点i固定时，只需要考虑另一个节点j的6个自由度，即矩阵K可简化为一个6×6的刚度矩阵来描述节点j处的力和变形之间的关系:

(2)

其中kxx为X方向或轴向的线刚度；kyy、kzz为Y方向和Z方向的线刚度；kφφ为绕X轴的转动刚度即扭转刚度；kθθy和kθθz为绕Y轴和Z轴转动刚度；kθy、kθz为节点处弯矩与沿Y轴、Z轴的线位移之间的弯曲刚度。刚度矩阵K可用于描述不同形式的波纹管如矩形和U形波纹管的刚度属性。文中主要研究U形波纹管。对于U形波纹管，由于周向对称性，可得kyy=kzz，kθθy=kθθz=kθθ和kθy=kθz。

同理，K22描述另一个节点j固定时，节点i处的力和变形之间的关系。由于波纹管结构的对称性，可知

K22=K11

K矩阵中的另外2个分矩阵为

K12=DK22

及

其中D为平衡转换矩阵：

(3)

式中：Lb为波纹管总长度。

综上可得，要想在ANSYS中创建Matrix27刚度单元来准确模拟波纹管，必须先通过理论计算或者实验测试确定各刚度值，其中采用EJMA标准提供的工程近似法是一种较为简便的刚度计算方法[13]。EJMA给出U形波纹管轴向刚度的经验计算公式为

(4)

式中：Dm为波纹管平均直径；t为波纹管壁厚；n为波纹管的波数；w为波高；Eb为波纹管材料在室温下的弹性模量；Cf为系数，也可由EJMA标准查到。

Y方向和Z方向的线刚度为

(5)

式中：L为波纹管总长度。

U形波纹管绕X轴的转动刚度即扭转刚度的计算公式为

(6)

绕Y轴和Z轴的转动刚度为

(7)

节点处弯矩引起Y轴和Z轴线位移的弯曲刚度为

(8)

通过以上各式计算波纹管的刚度分量并代入刚度矩阵K，即可在ANSYS中创建基于Matrix27刚度单元的简化模型来模拟波纹管。以上公式主要针对U形波纹管给出，如对矩阵K里面的刚度系数略作调整，也可模拟其他形式的波纹管，如矩形波纹管等。

2 波纹管有限元建模

文中采用U形波纹管作为算例，分别建立有限元实体模型和简化模型，计算2种不同有限元模型得到的轴向刚度和扭转刚度，并将简化模型的分析结果与实体有限元模型结果以及EJMA理论值进行比较。U形金属波纹管的几何结构如图1所示，do为波纹管外径，di为内径，q为波距，rh为波峰中线半径，rv为波谷中线半径。

图1 波纹管结构参数Fig.1 Structural parameters of bellows

下面共选用4个试件进行分析，其中试件1和2取自于文献[14-15]的实验模型，试件3和4取自于某密封系统的连接波纹管实物模型。试件的结构尺寸如表1所示。波纹管材料的弹性模量E=207 GPa，密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比ν=0.3。

表1 波纹管结构尺寸Table 1 Structural parameters of bellows samples

2.1 波纹管实体模型建模

首先基于有限元软件ANSYS建立波纹管实体模型，选择壳体单元shell63[11]进行模拟。由于波纹管属于薄壁结构，壳体单元shell63具有弯曲能力和薄膜效应，能承受面内载荷和法向载荷，同时具有分析塑性、应力硬化、大变形、大应力的能力，能较好地模拟波纹管结构。建立的有限元模型如图2所示，网格划分时在波纹管圆弧段及一些圆弧过渡处进行了网格细化处理。为分析波纹管的刚度属性，此处采用一端固定，另一端自由的约束条件来模拟波纹管的工作状态。

图2 波纹管有限元实体模型Fig.2 Solid FEA model of bellows

2.2 波纹管简化模型建模

再对4个波纹管试样利用Matrix27刚度单元建立有限元简化模型。首先根据波纹管结构参数计算刚度矩阵K的各个系数，用于定义Matrix27单元的78个实常数。然后在波纹管两端中心处创建2个节点，连接2个节点并生成Matrix27单元就完成了简化模型的建模。另外在两端中心节点处各生成一个质量单元Mass21来模拟波纹管本身的质量，即每个质量单元表示1/2的波纹管总质量。建立的有限元模型如图3所示，可以看到该模型非常简单。在模型两端节点施加与实体模型同样的载荷和约束条件即可计算其刚度结果，并与实体模型计算结果进行比较。

图3 波纹管简化有限元模型Fig.3 Simplified FEA model of bellows

3 波纹管刚度计算结果及分析

完成有限元建模后即可对波纹管的轴向刚度和扭转刚度进行计算。在自由端施加轴向载荷后可求得波纹管的轴向刚度为

kx=Fx/x

(9)

式中：Fx为轴向力；x为Fx作用下的轴向位移。

在弹性范围内，通过有限元模型求出波纹管受不同载荷后产生的轴向位移，将轴向位移x和轴向作用力Fx代入式(9)，即可求得波纹管的轴向刚度。

同样对有限元模型施加扭转载荷后即可求得波纹管的扭转刚度为

kφ=T/φ

(10)

式中：T为自由端施加的扭矩；φ为扭矩作用下的扭转角。

基于上述2种有限元模型计算的轴向刚度值、扭转刚度值与EJMA经验公式(4)、(6)的计算结果的对比如表2所示。可以看出，简化模型与EJMA经验公式的计算结果非常接近，其误差在1%以内。而实体模型所得结果与EJMA经验公式的计算结果的误差也基本在5%以内，与简化模型的轴向刚度和扭转刚度结果也基本一致。同时将文中试件1和试件2的简化模型计算结果与文献[14-15]中的有限元计算结果及实验测试值进行对比，如表3所示，其结果也同样保持一致。由简化模型的刚度计算结果与EJMA理论计算值、实体有限元模型计算结果以及实验测试结果的全面比较，说明文中采用的波纹管有限元简化模型准确可靠。因文献[14-15]并未进行波纹管扭转刚度测量，表3中仅给出轴向刚度实验测量结果。

表2 波纹管刚度值比较Table 2 Comparison of bellows stiffness results

表3 波纹管有限元计算结果与部分实验值[14-15]Table 3 FEA calculating results and part experimental values of bellows

从刚度矩阵K的推导过程可知，Matrix27刚度单元的实常数的物理意义就是波纹管的刚度属性，而建模时实常数就是直接由EJMA理论值给出的，因此简化模型的刚度计算结果与EJMA理论值完全吻合是符合预期的。同时也说明在建模时可以对Matrix27单元的刚度矩阵系数进行灵活的调整，如在波纹管介质压力、温度等工作状态发生变化时，可以根据实际情况改变刚度矩阵系数。因此该简化模型相比较于其他模型更容易进行修正。此外，也可以根据其他形式的波纹管比如矩形波纹管的刚度计算公式来建立刚度矩阵，从而创建适用于矩形波纹管的简化模型，让文中方法具有更广泛的应用场景。

此外，当波纹管仅仅是大型模型的一部分，而需要对整个模型进行结构分析，或者需要研究波纹管参数对整个系统的影响时，采用实体壳单元等进行波纹管建模较为耗时，效率较低。而基于Matrix27刚度单元创建波纹管简化模型则非常简便。文中也对波纹管作为整体模型一部分时的情况进行了进一步分析，例如使用波纹管连接2个大型金属密封箱体的场景。图4中给出了采用壳单元和Matrix27单元模拟波纹管来连接金属密封箱体的有限元整体模型和网格模型。对整体模型施加相同的载荷和边界条件，得到的应力和位移结果如图5所示。可见，采用2种波纹管模型的整体结构应力和变形分布都保持了一致，其最大等效应力均为72.3 MPa，最大总位移均为13.2 mm。虽然该结构整体并不复杂，但是从中可以发现基于简化波纹管模型进行整体建模的效率更高，在研究波纹管参数对整体系统的影响时也更为简便，并能应用于矩形波纹管和U形波纹管等不同结构，对基于整体系统响应的各类波纹管结构参数优化等研究具有通用意义。

图4 整体模型中的波纹管建模Fig.4 Modeling of bellows as a part of the whole system:(a)shell elements model of bellows in the system;(b)Matrix27model of bellows in the system;(c)shell elements model meshes;(d)Matrix27 element model meshes

图5 采用2种不同波纹管模型的整体结构应力和位移结果Fig.5 Stress and displacement results of the whole structure using two different bellows models:(a)stresscontour for shell elements model;(b)displacement contour for shell elements model;(c)stress contour for Matrix27 model;(d)displacement contour for Matrix27 model

4 结论

(1)基于Matrix27刚度单元对金属波纹管进行有限元建模，通过有限元分析计算了U形波纹管的轴向刚度和扭转刚度，计算结果和实体壳单元模型计算结果以及EJMA经验公式计算值吻合良好。该结果也与其他研究人员的实验结果保持一致。

(2)建立的波纹管简化模型相较于实体模型的规模大幅度缩减，在研究含有波纹管的整体系统时尤其方便。该模型可以根据波纹管工作状态如介质压力、温度等灵活调整模型自身的刚度属性，并能应用于矩形波纹管和U形波纹管等不同结构，相较于其他波纹管模型具有更好的通用性。该简化模型有助于有限元技术在波纹管设计工作中得到更好的应用。