耦合变分包含系统解的存在性

2022-06-21熊益英何家洪

北部湾大学学报 2022年2期

关键词：定义

熊益英, 何家洪

(北部湾大学理学院，广西钦州 535011)

0 引言

在文献[1-7]中引入一类耦合变分包含系统问题，求解(x0,y0)∈H1×H2，使得

(1)

其中,H1,H2为实Hilbert空间，F1∶H1→2H1；F2∶H2→2H2为给定的非空集值映射，f1∶H1×H2→H1；f2∶H1×H2→H2为给定的非空单值映射。

该问题的求解有以下几种特别的情形:

(a)如果H1=H2=H,η∶H×H→H,F1(x)=Δηg1(x),F2(y)=Δηg2(y),其中，Δηg1(·)和Δηg2(·)分别表示真η-次可微泛函g1∶H→∪{+∞}和g2∶H→∪{+∞}的η-次微分映射(参见文献[8])，那么问题(1)变为：求解(x0,y0)∈H×H，使得

(2)

问题(2)称为非线性似变分不等式系统问题。

(b)如果F1(x)=∂g1(x),F2(y)=∂g2(y),其中，∂g1(·)和∂g2(·)分别表示真凸下半连续泛函g1∶H1→∪{+∞}和g2∶H2→∪{+∞}的次微分映射，那么该问题退化为：求解(x0,y0)∈H1×H2,使得

(3)

问题(3)称为非线性变分不等式系统问题。文献[9-10]研究了该问题。

(4)

其中，K1,K2分别为H1,H2中的非空凸闭集。文献[11-12]研究了该问题。

(e)如果H1=H2=H,f1(x,y)=-g(x,y),f2(y,x)=-g(y,x),F1(x)=G(x),F2(y)=G(y),问题(4)退化为：求解(x0,y0)∈H×H，使得

g(x0,y0)∈G(x0),g(y0,x0)∈G(y0)。

(5)

由于G为多值映射，问题(5)也称为多值耦合重合点问题。特别地，如果G(x)={φ(x)}，问题(5)退化为：求解(x0,y0)∈H×H,使得

g(x0,y0)=φ(x0),g(y0,x0)=φ(y0)。

(6)

问题(6)也称为耦合重合点问题。文献[13]证明了它的解存在。如果φ是恒等映射，问题(6)退化为:存在(x0,y0)∈H×H,使得

g(x0,y0)=x0,g(y0,x0)=y0。

(7)

问题(7)也称为耦合不动点问题。文献[14]证明了它的解存在。

本文主要研究在赋范线性空间中，问题(1)的解的存在性及其相关问题。在文献[5-6]研究的问题中，集值映射要求的条件非常强，且并未给出实例，很难找到满足条件的映射。因此，本文在文献[5-6]的基础上，将集值凸映射的条件去掉，适当加强单值映射条件，利用KKM引理来研究问题(1)，改进了文献[5-6]的研究结果。