何 安 * 李健博 * 薛 存

* (长安大学理学院,西安 710064)

† (西北工业大学力学与土木建筑学院,西安 710072)

引言

大科学装置、未来能源变革性发展、先进医用设备等重大需求牵引下,对磁场强度的要求不断提高.得益于超导体的强大载流能力(超导载流能力是铜的100 倍以上),高场超导磁体是科学仪器、医疗、工业加工、电力装备和国防特种装备的核心技术.高磁场的超导磁体伴随着高电流密度,因此磁体会受到很大的洛伦兹力作用.大规模的超导磁体主要是由复合材料结构的超导线材或带材绕制加工装配而成,在运行过程中较大的电磁力可能会导致磁体产生塑性变形或者局部的机械破坏[1].超导磁体的电磁性能以及运转稳定性甚至失超均和磁体的力学变形密切相关,因此准确分析磁体运行时的应力/应变场至关重要[2-4].为了提高超导材料的力学性能,过去的几十年间,大量的实验和理论研究了不同形状和磁化过程中简单结构超导材料的磁弹性行为.1993 年Ikuta 等[5]首次观测到了Bi 系单晶超导体中磁通钉扎引起的磁致伸缩行为.Johansen[6-7]根据临界态模型理论研究了长方形和圆柱形块状超导体的磁弹性行为,接着根据Bean 模型和场相关的临界态模型Yong 等[8-9]探讨了块状超导体的断裂问题[10].另外考虑退磁效应,超导薄带和圆盘的磁弹性行为也被广泛报道[11-13].

Nb3Sn 超导材料因其良好的超导性能而被广泛应用于超导磁体线圈中,但是Nb3Sn 是典型的脆性材料,当对其施加约0.5%的拉伸应变时,就可能会发生力学失效行为.不仅如此,Nb3Sn 的超导性能对其所处的应力-应变状态很敏感,其临界电流密度会随着施加应变的增大而迅速减小,并且当所处磁场越强时,临界电流的退化行为越显著[14-16].对于理论分析力学变形对超导宏观临界性能的影响,杨绪佳等[17]建立从微观晶格结构到宏观Nb3Sn 复合超导线的多尺度模型,研究了Nb3Sn 复合超导体临界性能的力学应变效应.为了保证Nb3Sn 超导磁体线圈安全稳定运行,精确预测超导线圈的力学行为具有重要的科学意义.由于高场超导磁体结构复杂,大量的研究工作致力于分析超导磁体线圈的力学性能[18-22],Boso 等[23-25]利用均质化方法,考虑 Nb3Sn 超导股线的微观结构的有限元模型,研究了 Nb3Sn 超导线从制备到工作温度下所产生的热应变和等效力学性质.Zhu 等[26]和 Jia 等[27]先后利用离散单元法,分别建立了二维和三维的离散元模型,研究了 CICC 超导电缆在横向载荷作用下股线间的接触问题.Jing等[28]采用复合材料细观力学中的 Mori-Tanaka 方法建立了考虑绞钮效应的理论模型.该模型中将连续的超导芯丝束等效为无限多个取向不同的薄片,分析了超导股线在热应力和外加荷载作用下芯丝轴向的力学行为和临界电流的分布情况.Liu 等[29]采用变化局部坐标系下的离散单元方法模拟表征了绞纽的Nb3Sn 股线的力学行为.

由于超导磁体处于强磁场和大电流环境下,需要考虑电磁场对超导线圈的作用,许多研究者对超导磁体线圈在电磁体力作用下的力学行为展开了研究[30-31],Guan 等[32-33]使用有限元法计算了超导磁体的电磁应力.Wu 等[34-35]建立了超导离子源FECR的六极磁体以及装配结构的三维有限元模型,分析了大型超导磁体模型的电磁、力、热多场下的力学行为.Zhang 等[36]建立了超导螺线管详细有限元模型,采用均质化方法分析了线圈超导线直径变化引起的磁体应力变化.采用有限元均质化模型,文献[37]研究了含36 根MgB2芯丝的超导线绕制的MRI 超导磁体在电磁体力和热应力作用下的力学行为.

然而目前为止大多数针对超导线圈力学行为的理论研究仅仅将超导磁体作为各向异性均质化模型进行处理,得到的是超导线圈的平均应力-应变场,很难反映超导线圈内部各材料实际的应力-应变规律.由于超导磁体线圈按照其实际的复合结构建模计算量巨大,本文提出了一种精度高而且计算代价低的双向均质化建模方法,用来分析Nb3Sn 超导磁体内部各材料的应力-应变.与已有单向均质化方法相比,改进的方法具有双向和返回特征,能够更加精确地描述复合超导线圈结构的精细应力-应变场.本文的内容安排如下:首先基于代表性体积单元等效方法,建立超导磁体等效均质化有限元模型,将线圈在外加荷载下均质化有限元模型与小匝数真实线圈模型的结果进行对比,发现均质化模型与真实模型相比误差较大.本文提出的多尺度分析方法很好地解决了这个问题,为了验证该方法的有效性和准确性,将线圈匝数较小时计算的真实结构超导线的应力-应变场与该方法所得的结果进行对比,两者最大误差小于5%,最后基于提出的多尺度计算方法,详细研究了大尺寸多匝数的超导线圈不同位置处的应力-应变的变化规律.

1 等效均质化模型的局限性

1.1 均匀化等效参数计算方法

超导线圈一般是由微米级的超导芯丝复合成毫米级的超导线,再由超导线经过一匝一匝、一层一层绕制而成,跨越了多个数量级,最后形成复杂的复合结构体系.常见的超导线圈如图1(a)所示,通入环形电流I0,产生的感应磁场使得线圈受到径向洛伦兹力作用,图1(b)表示超导线圈横截面由1558 根超导线组成,线圈具有很强对称性和周期性,从横截面任意选取一个代表性单元如图1(c)所示.该单元由54 根Nb3Sn 超导芯丝(红色六边形)、铜基(浅绿色部分)和环氧树脂(最外层的深绿色部分)组成.研究线圈时若要从超导芯丝尺度开始建模,需要消耗大量的计算资源,并且需要大量的计算时间.为了避免大规模数值计算,人们提出了均质化模型,其主要思想是在结构复杂的区域中寻找一个代表性体积单元,使得该代表体元具有普遍的适用性,能够代表该单元所覆盖区域的所有材料集合的力学性质,对于选定的代表体元的性质可以通过均匀化方法计算得出.本文要研究的Nb3Sn 超导线线圈是由铜、环氧树脂、Nb3Sn 芯丝三种材料组成的复合结构.Nb3Sn超导线的性质是与其几何构型相关的,其性质表现为正交各向异性材料,不能只通过杨氏模量和泊松比这两个材料参数来确定.

图1 超导线圈电磁力示意图及其代表性体单元Fig.1 Schematic diagram of electromagnetic force and microscopic material composition of superconducting coil

一般材料的弹性本构关系可以写成

这里 σ 为应力张量,ε 为应变张量,D为四阶对称弹性张量.当材料的性质在任一点处关于三个正交平面对称时,该材料就是正交各向异性的.Nb3Sn 超导股线就可以看作是正交各向异性材料.此时,材料常数从各向异性材料的21 个常数减少到正交各向异性材料的9 个常数,在这种情况下,材料的线弹性更容易由给出材料的工程常数及与材料三个主方向的杨氏模量E1,E2,E3;泊松比 ν12,ν13,ν23,ν31,ν21,ν32和剪切模量G12,G13,G23来描述.这些常数可以给出材料的柔度矩阵,用柔度矩阵表示为

其中 νij和 νji有如下关系

本文目的是确定柔度矩阵中的材料参数,通常的方法是寻找平均场之间的本构关系以及与体积平均变量相关的本构关系.体积平均变量的关系由“代表性体积单元”确定,为了获得期望场的体积平均,需要在RVE 上施加一系列试验性的位移边界条件进而得到对应方向的平均应力状态.因此RVE 等效体的本构关系可以表示为.正交各向异性材料可以通过有限元方法施加六种单独的位移边界条件求解得到C进而得到等效材料参数

其中,由给定六个单独的单位应变,可以计算得到在RVE 上施加的位移大小: λi=εijxj,xj表示的是RVE沿着j方向上的长度.六个位移条件

上式的前三种情形为代表性单元施加的单轴应变边界条件,后三种情形为代表性单元施加的纯剪切应变边界条件.由有限元方法在RVE 积分点上计算得到平均应力,V 代表RVE 的体积,nj是沿着j方向的单位向量分量.一旦得到RVE 在六个位移条件下的平均应力,便可由刚度矩阵计算得到材料的等效参数.

如图1(c)所示便是本文研究的超导线圈的一个代表性体积单元,此单元包含三种材料组分,最外层的环氧树脂边长为1.4 mm,铜基直径1.3 mm,Nb3Sn六边形芯丝边长0.06 mm.为了消除材料参数的选取对计算结果的影响,本文选用了Nb3Sn、铜和环氧树脂三种材料的两组力学参数如表1 所示,使用RVE 方法计算出超导线圈的两组等效参数即工程常数如表2 所示(其中参数符号下标数字1,2 和3 分别对应超导线单元的径向、轴向和环向).值得注意的是文中表1 给出的两组材料参数中,第一组材料参数是对应实际工程材料的参数(见文献[38-39]).为了进一步验证所提计算方法的正确性,不是仅适用于特定某种材料,所以除了实际工程材料参数外,还随便选取了第二组材料参数进行验证.但是在验证计算方法正确性之后,均采用第一组材料参数(对应实际工程材料)进行有限元计算和分析.

表1 两组超导线各材料组分力学参数Table 1 Mechanical parameters of each material component for two kinds of superconductors

表2 两组超导线的等效力学参数Table 2 Equivalent mechanical parameters for two kinds of superconductors

本文在超导线圈结构和复合结构的单根超导线两个尺度上进行了力学分析,出发点是单根超导线,其复合结构包括多根超导芯丝、铜基材料和环氧树脂,这三种材料的力学属性(包括力学本构及力学参数)仍然建立在宏观尺度,没有涉及到晶格和晶粒尺度.每一种材料都认为是宏观各向同性的,例如对于多晶Nb3Sn 材料,尽管每个晶粒的晶格取向不同,但很多晶粒在宏观统计上认为是各向同性的,本构关系也是各向同性的.以单根超导线的一个扭距长度(大约13 mm)为基础,采用均质化方法得到超导线圈结构的各方向的等效力学参数,论文中表里面的各方向不同等效力学参数是由于单根超导线复合结构导致的.

1.2 等效均质化模型与真实线圈应力-应变结果对比

得到线圈等效力学参数后,借助有限元分析软件ABAQUS,计算超导线圈在施加电磁体力后的应力-应变 (为了方便,本文的线圈计算结果均仅展示一半线圈结构).首先检测等效均质化模型的准确性,将等效均质化模型与真实结构的线圈模型在相同荷载下的应力-应变结果进行对比分析.如图2(a)所示为直径100 mm 的线圈及其横截面 3 ×3 排布超导线的复合结构模型,图2(b)是图2(a)线圈的等效均质化模型.由于圆形线圈的对称结构,在半圆线圈的端面施加对称边界条件,计算结果与圆形线圈的结果相同,图2(a) 和图2(b) 两种模型均采用相同的C3D8R 单元网格,在线圈外侧施加同等大小的压强荷载.

图2 超导线 3 ×3 排布的复合线圈结构和等效均质化模型Fig.2 The actual structure and equivalent homogenization structure of 3×3superconducting coils

图3 分别给出了超导线 3 ×3 排布的线圈真实结构和等效均质化模型用第一组材料参数计算得到位移、应力和应变结果.通过图3(a)的位移场云图可以看出,相同荷载下两种结构的位移场吻合较好,数值相差在1%以内,分布规律相同.然而相比位移场结果,这两种模型的应力和应变的结果相差较大.从图3(b)可以看出等效均质化模型的米塞斯应力分布较为均匀,等效均质化模型的应力最大值分布于线圈的内侧.而复合材料线圈结构的应力由材料不同而分层分布,应力的最大值分布于铜基层,两者的应力最大值相差近30%,最小值相差近60%.从图3(c)可知两者的最大主应变数值相差近27%,说明等效均质化模型同样不能很好地反映出真实结构下线圈各层的应变场情况.由于复合材料中不同材料之间的弹性模量相差较大,等效均质化模型计算结果仅能反映整体结构的一个平均水平,无法评估不同材料的具体应力-应变水平是否达到屈服或者破坏.在对比了芯丝 3 ×3 的线圈模型以后,进一步对比了同一组参数下的超导线 3 ×5 以及 5 ×5 排布的真实线圈结构和等效均质化模型的计算结果(由于篇幅限制,本文不再展示),得出了均质化模型与真实线圈结构应力-应变场相差较大的结论.

图3 3 ×3 线圈模型(a)真实结构和(b)等效模型的位移场云图;(c)真实结构和(d)等效模型的Mises 应力云图;(e)真实结构和(f)等效模型的最大主应变云图Fig.3 Displacement distributions of (a) actual structure and (b) equivalent model of 3 ×3 superconducting coils;Mises stress distributions of (c)actual structure and (d) equivalent model;Maximum principal strain distributions of (e) actual structure and (f) equivalent model

因此,要想准确表征Nb3Sn 芯丝、铜基和环氧树脂各种材料的应力-应变,需要考虑包含这三种材料组分的精细有限元模型,但是随着线圈匝数和层数的增加,有的大型磁体的芯丝数量已经达到上万根,这对计算机的建模和计算是艰难的挑战,在上文进行 3 ×5 ,5 ×5 模型对比分析的过程中计算已经较为困难.尚且需要一种对计算资源要求低,且计算结果吻合度较高的方法.

2 多尺度计算方法及其精确性验证

等效均质化模型仅能反映超导线圈位移场,不能表征超导线圈内各材料精确的应力-应变分布.针对以上问题,本文对整个线圈采用均质化模型,通过提取精细化超导线单元的位移场,提出了一种计算精度高但是代价低的多尺度建模方法,用来计算超导线圈内各种材料的应力-应变场.由于等效均匀化模型能较好地反映出真实线圈的位移场,因此在从等效均质化模型得到位移场的基础上,把线圈中间部位约2°转角对应的弧段截取出来作为研究超导线单元如图4(a)所示.当线圈的直径较大,在线圈中提取的微小弧段可以近似看成是直超导线长方体超导线单元结构.通过分析可知在超导线单元结构的六个面上的每一个结点都有对应全局坐标系下的三个方向位移的分量.借助ABAQUS 的后处理模块,将六个面的所有结点位移导出,将对应的位移场数据处理作为新的位移荷载(共18 组),由于提取的超导线单元近似为长方体,因此仅需处理每个面对应法向的位移作为位移场荷载(共6 组).通过分析每个面法向的所有结点位移数据,发现所有结点的大小差距较小且分布均匀,采取求和取平均的方法即可得到每个面的对应方向的平均位移荷载大小.导入新建的对应尺寸的超导线单元模型(图4(b))进行分析计算,便可以得出线圈对应部位的各材料的应力-应变分布情况.

图4 复合超导线圈结构内部截取的微弧段和施加等效位移荷载的超导线单元示意图Fig.4 Schematic diagram of micro segment from the composite superconducting coil and the unit cell with equivalent displacement load

为了验证此方法对于分析线圈内部应力-应变场的准确性,计算了 3 ×3 排布线圈内部的真实应力-应变场与施加位移荷载的超导线单元结果,同时计算了不同材料参数下的 3 ×3 线圈的对比结果.图5(a)和图5(b)分别展示了线圈内部截取的微弧段和施加位移荷载的超导线单元的米塞斯应力云图,通过对比可以看出,施加位移荷载的超导线单元各处的应力分布和大小与真实线圈对应位置的结果较为吻合,且可以看出各层材料之间不同的应力分布,由于Nb3Sn 芯丝的弹性模量大于另外两种材料,因此应力最大值分布于Nb3Sn 芯丝中,两者应力数值相差近2%.从线圈内的微弧段和施加位移荷载的超导线单元的径向和轴向应变云图,可以看到应变的分布基本吻合,数值相差均在5%以内.由图6 的对比结果来看,尽管第二组材料参数中铜和Nb3Sn 的弹性模量差距较大,但是应力-应变的对比结果都较为吻合,因此材料参数的变化并不影响此方法计算结果的准确性.

图5 第一组材料参数下 3 ×3 线圈内部截取的(a)微弧段(实际结果)和(b)施加位移荷载的超导线单元的Mises 应力云;(c)微弧段和(d)超导线单元的径向应变云图;(e)微弧段和(f)超导线单元的轴向应变云图Fig.5 Mises stress distributions of micro segment from (a) the superconducting coil and (b) the unit cell;radial strain distributions of (c) segment and(d) the unit cell;axial strain distributions of (e) segment and (f) the unit cell for the first set of material parameters

图6 第二组材料参数下 3 ×3 超导线圈内部截取的(a)微弧段和(b)施加位移荷载的超导线单元的Mises 应力云图;(c)微弧段和(d)超导线单元的径向应变云图;(e)微弧段和(f)超导线单元的轴向应变云图Fig.6 Mises stress distributions of micro segment from (a) the superconducting coil and (b) the unit cell;radial strain distributions of (c) segment and(d) the unit cell;axial strain distributions of (e) segment and (f) the unit cell for the second set of material parameters

进一步,对比 3 ×5 线圈实际模型与多尺度模型的结果,如图7 所示,采用本文提出的方法得到超导线单元的米塞斯应力、径向应变和轴向应变均与真实线圈的结果吻合较好.Nb3Sn 芯丝和铜基部分的应力大于环氧树脂的数值,而环氧树脂的应变大于Nb3Sn 芯丝和铜基的.

图7 3 ×5 线圈内部截取的(a)微弧段和(b)施加位移荷载的超导线单元的Mises 应力云图;(c)微弧段和(d)超导线单元的径向应变云图;(e)微弧段和(f)超导线单元的轴向应变云图Fig.7 Mises stress distributions of micro segment from (a) superconducting coils and (b) the unit cell with displacement load;radial strain distributions in (c) micro segment and (d) the unit cell;axial strain distribution in (e) micro segment and (f) the unit cell

在此基础上图8 展示了微弧段和超导线单元中不同材料的米塞斯应力分布,由于施加的位移荷载均为各面法向的均匀荷载,在长方体超导线单元中各层材料应力分布具有明显的对称性.从图8 中可以看出环氧树脂层区域米塞斯应力最大值分布于中间部位的边缘位置,铜基和芯丝层应力最大值分布于材料的左右两侧较小的区域,而线圈对应的超导线单元应力受弯曲弧度的影响,体现出应力随着径向从内向外的递减趋势,应力最大值位于超导线单元内侧.从应力数值来看,铜层和芯丝层整体应力数值变化较小,相差不超过1%,并且两种模型的最大应力数值基本吻合一致.

图8 3 ×5 线圈截取(a)微弧段和(b)施加位移荷载的超导线单元内环氧树脂的Mises 应力云图;(c)微弧段和(d)超导线单元内铜基的Mises 应力云图;(e)微弧段和(f)超导线单元内Nb3Sn 芯丝的Mises 应力云图Fig.8 Mises stress distributions of epoxy resin in (a) micro segment and (b) the unit cell;cooper matrix in (c) micro segment and (d) the unit cell;Nb3Sn filaments in (e) micro segment and (f) the unit cell

3 电磁体力下超导线圈应力-应变规律

3.1 超导线圈电磁体力计算

超导磁体在通电运行时,磁体内部会受到巨大洛伦兹力的作用.根据毕奥-萨伐尔定律

其中,dl是微电流元,L是线圈环向的路径,er为电流元指向待求场点的单位向量,μ0为真空磁导率.式(7)和式(8)可以得到环形超导线圈通电运行下的磁场分布和大小.超导线圈受到的洛伦兹力可以由下面的计算式得到

本文研究的超导磁体具有很强的轴对称性,在柱坐标系下,磁体受到的洛伦兹力只有径向分量Fr和轴向分量Fz.图9 所示为输入700 A 电流下,超导线圈某个xz截面上的洛伦兹力大小以及方向,箭头所指为洛伦兹力的方向.可以看到洛伦兹力在线圈的外部区域较大,在线圈中心位置处较小,线圈的内侧表面洛伦兹力最大,洛伦兹力在线圈上下部分呈对称分布.

图9 超导线圈xz 截面上电磁体力大小及方向Fig.9 Electromagnetic force distributions in xz cross section of superconducting coil

3.2 超导线圈各层材料应力-应变随匝数/层数变化情况

基于以上双向均质化方法对超导线圈力学性质分析的准确性,采用该方法对超导线圈在电磁体力下的应力-应变进行分析,给出不同位置各材料的力学性质随匝数/层数的变化规律.线圈模型中Nb3Sn 超导线沿着径向排布38 层,沿着轴向排布41 匝,线圈的整体尺寸达到内径167.6 mm,外径215.75 mm,轴向高60 mm.图10 给出的是超导线圈横截面超导线的排布情况,为了简便计算,选取横截面中具有代表性的层数和匝数进行计算,例如选取线圈的上、中、下三匝(红色虚线)作为超导线单元提取路径,沿着z轴选取左、中、右三层(黄色虚线)作为超导线单元提取路径,其中每条线上的一个点是一个代表性单元.分别计算超导线单元内各材料的力学性质随层数和匝数变化情况.

图10 超导线圈横截面超导线的排布情况及提取超导线单元路径示意图Fig.10 Schematic diagram of the location of the unit cells in the superconducting coil

图11 给出了超导线圈第1,21 和41 匝位置处环氧树脂、铜基和Nb3Sn 芯丝的最大主应力随层数的变化规律,从图11 可知线圈上、下表面处的最大主应力相等(第1 匝和第41 匝的结果重合).这是由于电磁体力在线圈内关于z方向对称分布导致的,即电磁体力在线圈上下表面处数值相等且外部的电磁体力数值高于内部,所以线圈上下表面处的最大主应力基本上大于中间处的数值,在线圈中间第21 匝的端部主应力最大.比较这三种材料的应力值,环氧树脂区域的应力值最小,铜基居中而Nb3Sn 芯丝最大,这是因为环氧树脂、铜的弹性模量低于Nb3Sn.另外线圈上下边界处环氧树脂的应力随着层数的增加而略微增大但整体变化幅度不大,铜基和芯丝的应力数值远高于环氧树脂,而铜基和Nb3Sn芯丝的应力随着层数的增加而减少,由此可知线圈内侧的应力容易达到应力极限从而发生强度失效.

图11 超导线圈第1,21 和41 匝的最大主应力随层数的变化情况Fig.11 Variations of the maximum principal stress versus layer for the 1st,21st and 41st turn in superconducting coils

图12 和图13 展示了线圈第1,21 和41 匝位置处环氧树脂、铜基和Nb3Sn 芯丝的径向和轴向应变随层数的变化情况.这三种材料的径向和轴向应变均为压应变,第1 和第41 匝的径向和轴向应变数值基本重合,体现了电磁体力的对称性.径向应变数值沿着层数先增大后减小,所以径向应变在线圈的中间层最大.图13 展示的三种材料的轴向应变随着层数的增加而降低,即轴向应变在线圈内侧最大.线圈中间匝数的轴向应变均高于线圈其他区域,因此轴向应变在线圈第21 匝最大,在线圈上下表面最小.环氧树脂的轴向压应变在线圈中间达到了1.9%,而铜基和芯丝的轴向压应变最大仅有0.38%.根据线圈不同匝数下的径向和轴向应变分布情况,径向应变在线圈的第19 层最大,轴向应变在线圈内侧中间匝数处即第1 层和第21 匝相交处最大,线圈环氧树脂区域的应变相较于其他材料的数值更大.

图12 超导线圈不同匝数的径向应变随层数的变化情况Fig.12 Variations of radial strain as a function of layer in superconducting coils

图13 超导线圈不同匝数的轴向应变随层数的变化情况Fig.13 Variations of axial strain versus layer in superconducting coils

为了分析线圈的力学性质沿着z方向的变化情况,图14 给出了线圈第1,19 和38 层的各材料的最大主应力随着匝数的变化情况.这三种材料在线圈内侧第1 层的主应力最大,在线圈中间层次之,在线圈外侧最小,这是因为电磁体力在线圈内侧最大.最内侧和最外侧的应力数值随着z轴方向变化不明显,然而线圈中间层的主应力在中间匝处最小,在上下两端处最大,且这些应力随匝数的变化关于第21 匝呈对称分布,这是由于电磁体力的对称性造成的.

图14 超导线圈不同层数的最大主应力随匝数的变化情况Fig.14 Variations of the maximum principal stress versus turn in superconducting coils

图15 和图16 分别展示超导线圈第1,19 和38 层处三种材料的径向和轴向应变随着匝数变化的情况曲线.线圈的径向和轴向应变均为压应变且关于第21 匝位置对称.从图15 可以看出,超导线圈中间即第19 层的径向压应变最大,线圈内侧径向应变次之,线圈外侧应变最小,可以发现线圈内部的径向应变大于线圈外部,这是由于线圈截面整体是一个受压变形的状态,内部区域的变形大于外部的变形,径向应变随着匝数的变化幅度不大,环氧树脂区域的径向应变数值高于铜基和芯丝区域.图16 给出超导线圈轴向应变随着匝数先增大后减小,在线圈中间第21 匝处达到最大值.轴向应变数值随着层数的增加逐层减小,在线圈的内层轴向应变最大,轴向应变的这个变化规律与图13 一致.相比于铜基和Nb3Sn 芯丝,环氧树脂区域产生的轴向和径向应变最大.

图15 超导线圈不同层数的径向应变随匝数的变化情况Fig.15 Variations of radial strain as a function of turn in superconducting coils

图16 超导线圈不同层数的轴向应变随匝数的变化情况Fig.16 Variations of axial strain versus turn in superconducting coils

4 总结

针对复杂的多尺度超导线圈结构,采用等效均质化模型计算的超导线圈应力-应变与实际结果存在较大差距,等效均质化模型仅能反应超导线圈整体的平均应力-应变情况.为了改进均质化模型,提高精确性,本文提出双向均质化方法分析超导线圈在电磁力作用下内部各材料的应力-应变规律.相比均质化模型,本文提出的方法计算的应力-应变结果与线圈实际的结果误差控制在5%以内.在满足精确性需求的同时,多尺度分析方法是在均质化模型的基础上,根据位移荷载计算超导线单元内各材料的力学行为,简化了复合线圈模型的复杂建模过程同时不失准确性,因此本文提出的多尺度分析方法计算精度高且计算代价低.依据此方法计算超导线圈运行过程中电磁力作用下的应力-应变结果并得到如下结论,超导线圈内侧的应力高于线圈其他区域,即内侧容易发生强度失效破坏.组成线圈的这三种材料中环氧树脂的最大主应力数值最低,Nb3Sn 芯丝的最大主应力数值最大.最大主应力数值随着层数的增加逐渐减小,随着匝数的变化呈对称分布.从超导线圈不同位置的径向和轴向应变曲线可知,线圈内侧中间处的轴向应变最大,线圈中间层的径向应变较大.根据这些结果可以准确预测超导线圈在电磁体力作用下的危险位置和力学失效行为,为超导磁体的安全稳定运行提供理论依据.