湿-热-机耦合梯度多孔材料梁的非线性力学行为

2022-06-08李清禄王思瑶张靖华

航空材料学报 2022年3期

李清禄,王思瑶,张靖华

（兰州理工大学理学院,兰州 730050）

多孔材料是一种兼具功能和结构双重属性的工程材料，其综合性能优异，可应用于航空、航天、航海等诸多领域[1-2]。为适应航空、航天、航海等在轻量化、多功能、高强度等方面的需要，制造了集功能梯度材料和多孔材料两者特点于一身的新型工程材料——梯度多孔材料。梯度多孔材料是一类轻质材料，其材料性能的变化是连续的，即这些性能随结构一个或多个方向的位置变化而变化，以达到所需的目的。梯度多孔材料结构由于其独特的优点，在航空、航天、海洋等领域得到广泛的应用。近二十年来，由于梯度多孔材料的应用，使得人们对这些材料力学行为进行了大量的研究[3-5]。飞机起飞后进入大气层，跟大气层的摩擦温度会急剧增加，另外会遇到雷雨等极端湿度环境，其湿-热环境下的力学行为是科技工作者关注的问题。从工程实际考虑，机械结构的很多连接部分在力学角度都简化为铰接，因此研究简支梁的力学行为更符合工程实际问题。

多孔梯度材料的研究主要集中在材料的制备方面。杨保军等[6]对梯度多孔金属材料制备工艺和研究应用概况做了详细报道。李元伟等[7]介绍纳米多孔金属材料的几种制备方法，指出其应用及其力学性能的研究现状。郭亚周等[8]研究闭孔泡沫金属的单轴压缩性能，基于 LS-DYNA 软件分析闭孔泡沫金属压缩力学性能。刘培生等[9-11]运用自行提出的“八面体模型”，比较全面地研究网状泡沫金属的系列力学性能，包括拉伸强度、弹性模量、双向拉伸、多向拉压、疲劳指标及其弯曲、扭转、剪切等方面。梁结构是工程中常见的结构之一，因此有必要对梯度多孔梁在机械或其他环境下的力学行为进行研究。

Magnucki 等[12]利用总势能的稳态原理，计算轴向受压多孔梁的临界屈曲荷载，并给出了两种孔隙率分布多孔材料。Jasion 等[13]对三层泡沫夹芯梁进行分析、数值和实验研究，比较不同方法得到的临界屈曲荷载值。Chen 等[14]采用Ritz 方法研究功能梯度多孔Timoshenko 梁的屈曲和静态弯曲行为。李丽等[15]基于多孔介质理论，分析大挠度弹性梁在微观不可压饱和情况下的拟静态响应解，但在研究中没有考虑梁的轴线伸长。Navvab 等[16]对二维梯度多孔锥形Euler-Bernoulli 梁的屈曲行为进行详尽的分析。

工程中存在一种随结构的变形而方向发生变化的随从力。例如，航空航天的火箭和喷气式飞机均引起随从力，这种非保守的随从力将引起机翼的颤振。另外机箱储油罐内液体的压力也属于这类力。因此研究这类载荷下的力学行为具有现实的工程背景。李清禄等[17]研究热环境下非对称FGM 梁受到随从载荷的非线性力学响应，指出均匀和非均匀升温对梁弯曲和屈曲行为有较大的影响。正如文献[18]指出，梯度材料的力学性能是制约其应用的一个重要因素，梯度多孔结构力学行为的研究是目前国内外研究的热点问题之一，但大都集中在综述和制备方面。从文献的调研来看，关于梯度多孔梁在外载荷下的力学行为的研究不多，而随从载荷下的力学行为的文献报道十分鲜见。

本研究精确考虑梁的轴线伸长，研究湿-热-机(特指航空飞机上受到的随从载荷)梯度多孔材料简支梁的非线性力学行为，假设材料性质只沿材料厚度变化，考虑两种孔隙率分布的梯度多孔梁，建立湿-热-机多变量耦合梯度多孔材料简支梁的大变形数学模型，采用打靶法将多变量耦合的控制微分方程进行数值求解，获得简支多孔梁的在湿/热环境下弯曲或屈曲的平衡路径曲线和平衡构形图，分析对称和非对称模型下梁的非线性力学行为的不同。

1 梯度多孔材料梁

考虑处于湿热环境中的梯度多孔材料梁，其长、宽、高分别为l×b×h。轴线方向为x轴，厚度方向为z轴，坐标原点置于梁左侧且xoz位于几何中面上。温度T和湿度C沿厚度方向稳态分布，且梁上作用沿轴线均匀分布的随从载荷q如图1 所示。

图1 梯度多孔简支梁的变形示意图Fig.1 Deformation diagram of gradient porous simply supported beam

1.1 梯度多孔材料

图2 所示为两种非均匀孔隙率分布或FG 孔隙率分布模型，分别是由Beam-Ⅰ和Beam-Ⅱ定义的模型。

图2 两种孔隙分布模式（a）对称模型；（b）非对称模型Fig.2 Two patterns of porosity distributions（a）symmetric model；（b）asymmetric model

假设多孔材料的力学性能沿厚度方向连续变化，材料属性即杨氏模量E(z)、热膨胀系数α(z)和湿膨胀系数β(z)，如下式所示[14]：

Beam-Ⅰ为关于几何中面对称模型

Beam-Ⅱ为关于几何中面不对称模型

式中：e0为材料的孔隙率系数，e0=1−E2/E1(0

1.2 温度场和湿度场

记上表面的温度和湿度记为Tt和Ct，下表面的温度和湿度记为Tb和Cb，Tr=Tt/Tb，Cr=Ct/Cb；且梁两侧温度和湿度都均匀分布。

对于线性湿热上升，温度和湿度特性可写为：

当多孔材料处于正弦湿热上升时，温度和湿度呈非线性变化：

取基础温度T0=300 K，湿度C0=0%(质量分数/%，下同)。

文献[19]指出：对多孔材料，取非均匀线性变化的温度和湿度场就能描述工程中湿热带来的影响。因此，本工作考虑只沿厚度方向呈线性变化的情况。

2 控制微分方程

式中：弹性应变；温度应变为εT=α(z)·(T−T0)；湿度应变为εC=β(z)·(C−C0)。θ为梁变形后挠曲线的切线与x轴正向夹角；η为轴线伸长率。

结合文献[17]，[20] 可给出无量纲形式的非线性控制微分方程如下：

式中：S为梁轴线弧长；U和W分别为轴线上的点在x，z方向的位移；PH和PV代表横截面内沿x，z方向的内力分量；M为弯矩。

上述方程的无量纲变换如下：

热轴力和热弯矩为：

湿轴力和湿弯矩为：

式中：τ=12δ2α1Tb，τ′=12δ2β1Cb。

对Beam Ⅰ模型：

对Beam Ⅱ模型：

相应的量纲一边界条件为：

式中：β为梁的左端转角。这样，梯度多孔简支梁在湿-热-机(随从载荷) 下的非线性力学问题就归结为方程(12)～(14) 在边界条件(26) 和（27）下的两点边值问题。

3 数值结果及讨论

方程(12)～(14)是多变量相互耦合的强非线性方程组，只能通过数值方法求其数值解。常用的数值方法有插值法、利兹法、微分求积法等。而打靶法在求两点边值微分方程中具有不可比拟的优势，计算结果不依赖于前面几种方法需要依赖网格的划分，计算耗时少且精度高，本研究采用打靶法进行数值模拟。其原理可参考文献[21]的描述。

对钢做成的开孔泡沫金属梁，其E0=200 GPa，α1=1.2×10−5/K−1，β1=5×10−4。为了分析湿-热条件下的多孔材料梁的力学行为与非湿-热环境下有何不同，只考虑随从载荷的情况下(T=0，C=0)，绘制出了图3 和图4。

图3 不同孔隙率下β-Q 的关系曲线（Beam Ⅰ）Fig.3 β vs Q for different porosity e0（Beam Ⅰ）

图4 不同孔隙率下β-Q 的关系曲线（Beam Ⅱ）Fig.4 β vs Q for different porosity e0（Beam Ⅱ）

图3 和图4 给出了左端转角随载荷Q的变化情况。显然，Beam I 模型下梯度多孔梁会发生屈曲失稳，而Beam II 模型梁则不会出现屈曲，而是在外力影响下产生弯曲变形。同时，图3 中反映出孔隙率越大，梁发生失稳时的临界载荷越小，其临界载荷随孔隙率变化的关系曲线单独在图5 中给出，可以看出，临界载荷随孔隙率的变化是线性递减的，特别地，e0=0时，梯度多孔梁退化成了均匀材料梁，其相应发生屈曲的临界载荷Qcr=18.97。这个结果和文献[22]中的解析解完全吻合，说明打靶法在该问题中的适用性，以及计算结果的可靠性。另外，图3 和图4 表明：梁屈曲和弯曲之后，同一个载荷会对应两个屈曲和弯曲构形图，这个问题工程上需要引起重视。

图5 e0-Q 的关系曲线（Beam Ⅰ）Fig.5 Realationship curves of e0-Q（Beam Ⅰ）

给定非均匀温度和非均匀湿度条件下，图6 和图7 分别为Beam Ⅰ和Beam Ⅱ模型梁在不同孔隙率系数下的非线性力学行为。显然Beam Ⅰ和Beam Ⅱ下，多孔梯度梁的力学行为存在显著的差异。首先从图6 和图3 比较来看，湿-热环境下多孔梁和非湿-热环境下的多孔梁力学行为是不同的，湿-热环境下梁也不会表现出屈曲，而是弯曲行为。刚开始随随从载荷的增加，梁的变形几乎为零，说明机械载荷作用的初始，梁具有很大的抗弯曲变形的能力。之后，随着变形的增加，需要的机械载荷减小，然后随变形增加所需随从载荷又增加，大约在β=125°，随从载荷出现极值，之后载荷再次减小。说明非湿-热条件下，梁发生屈曲后，屈曲构形对应着两种平衡路径，而湿-热环境中，梁的弯曲构形是三种平衡路径。其他载荷(保守载荷)下对应着单构形是不同的力学现象。

图6 湿-热条件下Beam Ⅰ梁在不同孔隙率下β-Q 的关系曲线Fig.6 β vs Q of Beam Ⅰfor different porosity under wet-heat condition

图7 湿-热条件下 Beam Ⅱ 梁在不同孔隙率下β-Q 的关系曲线Fig.7 β vs Q of Beam Ⅱ for different porosity under wet-heat condition

图7 中反映出，Beam Ⅱ模型下的非线性力学行为和Beam Ⅰ下的巨大差异。数值计算表明：e0<0.48时BeamⅡ模型下的力学行为和BeamⅠ模型下的力学行为相似，即一个随从载荷对应三个弯曲构形；当e0接近0.45时，逐渐过渡到一个随从载荷对应两个弯曲构形的趋势；当e0=0.48时的这一时刻，梁发生弯曲时的左端转角随载荷的增加非线性单调增加。另外，将图7 和图4 比较发现，同样是Beam Ⅱ梁，如果没有湿-热条件的影响，各种e0下的力学行为曲线具有相似的变化规律。而湿-热环境下，e0>0.48时弯曲又是单构形的，即一个载荷只对应一个转角。因此，e0=0.48是一个阀值，在这个值前后Beam Ⅱ梁的力学行为会出现突变。

图8 为Beam Ⅰ梁的孔隙率一定(e0=0.2)，给定湿度Cb=1%，Ct=2%情况下，不同非均匀温度场中的非线性力学响应。图8 中可见不同非均匀升温下的多孔梁弯曲变形规律相似，且同一个外载荷仍然对应着三个弯曲构形，随着非均匀升温的增加，在三个构形内梁的变形交替增大或减小。从数据分析可知，不同湿度下的第一和第三弯曲构形几乎相同，而第二构形(指中间的构形)是显著不同，这和图8 给出的情况是一致的。

图8 不同非均匀升温下，梯度多孔Beam Ⅰ梁的U −Q关系曲线Fig.8 U -Q curves of graded porous Beam Ⅰ under different non-uniform temperature rises

为了进一步说明图8 中刻画出的力学响应，图9 给出了温度一定(Td=300 K，Tt=600 K)，Q=20，非均匀湿度下，Beam I 梁的弯曲构形图。比如实线代表∆C=1时的三种构形，即相同载荷、相同湿热条件下有β=1.8°、42.8°、173.2°三种弯曲状态(这里称为第一、第二和第三弯曲构形)。由图9 可见，不同湿度下，第一和第三弯曲构形几乎重合，而第二弯曲构形差异较大，随着湿度的增加，梁的变形减小。图9 的弯曲构形图和图8 的平衡路径曲线是相一致的。