求解强伪单调拟均衡问题的动力系统方法

2022-06-06冯世强

西华师范大学学报（自然科学版） 2022年2期

常浩，冯世强，李军

(西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637009)

均衡问题是一个非常普遍的数学模型，包括最优化问题、变分不等式问题、鞍点问题、非合作博弈Nash均衡问题、不动点问题等[1-4]，它以一种简便的方式将所有这些特殊的问题统一起来。现有研究有很多关于均衡点的存在性和寻找均衡点的求解方法。由于均衡问题是一个通用模型，解决特定问题的方法通常可以扩展到均衡问题。这些方法的思想来源于求解变分不等式的邻近点方法和投影类方法。其中，不动点方法由于其形式简单、实用性强等优点，发挥着重要的作用。不动点方法能有效地求解一类强单调均衡问题，并且收敛速度是线性的。近年来，动力系统在求解不动点问题、变分不等式和单调性等方面得到了广泛的研究。为了研究脉冲控制问题，Bensoussan和Lions[5]引入了拟变分不等式。如今，拟变分不等式已经成为一种强有力的数学工具，用于解决在不同领域出现的各种复杂均衡问题，如广义纳什对策、经济和金融、力学、交通、统计学和生物学等。

2006年，Hu和Wang[6-7]研究了求解伪单调变分不等式的投影动力系统的收敛性，他们将凸优化问题的结果推广到伪凸优化问题，然而，为了得到全局指数稳定性，他们必须在强伪单调系数和相应算子的Lipschitz系数之间施加一些限制条件，但是强单调和Lipschitz连续变分不等式永远不满足这些条件。2018年，Ha等[8]研究了没有在强伪单调系数和相应算子的Lipschitz连续系数之间施加任何条件的基础上动力系统的全局指数稳定性。2020年，Nguyen和Qin[9]研究了强伪单调拟变分不等式投影动力系统的全局指数稳定性。Vuong和Strodiot[10]研究了强伪单调均衡问题动力系统的全局指数稳定性。结合以上研究，作为一种自然的延伸，对拟均衡问题的研究更具普遍意义。

由于求解拟均衡问题需要同时求解一个均衡问题和一个不动点问题，因此均衡问题解的存在性理论不能适用于拟均衡问题。本文研究了在强伪单调性和Lipschitz型连续性假设下，具有一般可变集A(·)且满足某种压缩性质的强伪单调拟均衡问题解存在唯一的充分条件。本文考虑了一个动力系统来求解拟均衡问题，并研究了动力系统均衡解的全局指数稳定性。

1 预备知识

令F：Rn×Rn→R是一个二元函数，A：Rn→2Rn是具有非空闭凸值的集值映射(对于每个x∈Rn，A(x)是Rn的非空闭凸子集)，F(x,x)=0，且函数F(x,·)在Rn上是凸下半连续的。与F相关的拟均衡问题由QEP(F,A)表示：找到一点x*∈A(x*)，使得

F(x*,y)≥0，

(1)

对所有的y∈A(x*)都成立，QEP(F,A)的解集表示为Sol(F,A)。

当F(x*,y)=〈f(x*),y-x*〉时，拟均衡问题QEP(F,A)退化为拟变分不等式问题QVI(f,A)，找到一个点x*∈A(x*)使得〈f(x*),y-x*〉≥0对任意的y∈A(x*)都成立，其中，f:Rn→Rn是一个连续映射。

当A(x*)≡A是一个非空闭凸集时，拟均衡问题QEP(F,A)退化为经典的均衡问题EP(F,A)，找到一个点x*∈A，使得F(x*,y)≥0对所有的y∈A都成立。

回顾一些在结果中有用的定义。

定义1 令X为Rn的一个非空闭凸子集，称映射F:X×X→R

(a)在X上关于系数γ>0强单调，如果F(x,y)+F(y,x)≤-γ‖x-y‖2对任意的x,y∈X都成立；

(b)在X上单调，如果F(x,y)+F(y,x)≤0对任意的x,y∈X都成立；

(c)在X上关于系数γ>0强伪单调，如果F(x,y)≥0⟹F(y,x)≤-γ‖x-y‖2对所有的x,y∈X都成立；

(d)在X上伪单调，如果F(x,y)≥0⟹F(y,x)≤0对所有的x,y∈X都成立。

备注1 (a)⟹(b),(a)⟹(c),(c)⟹(d)和(b)⟹(d)是显然的。还要注意的是，由文献[10]知，定义(c)保证EP(F,A)不可能有多解。

定义2[10]令X为Rn的一个非空子集，称映射F:X×X→R为X上关于系数L的Lipschitz型连续，如果存在L>0，使得

F(x,y)+F(y,z)≥F(x,z)-L‖x-y‖‖y-z‖,∀x,y,z∈X。

(2)

引理1[11]对于正常凸函数f∶Rn→(-∞,+∞]与任意实数λ>0必有

∂(λf)(x)=λ∂f(x),x∈Rn。

(3)

此外，给定正常凸函数fi∶Rn→(-∞,+∞](i=1,…,m)，则有

∂(f1+…+fm)(x)⊇∂f1(x)+…+∂fm(x),x∈Rn。

(4)

若进一步还有ri domf1∩…∩ri domfm(x)≠∅，则(4)式中的反包含关系成立。

容易证明如下结论成立：

引理2 若ø≠S⊆Rn为凸集，x0∈S，则必有∂δS(x0)=NS(x0)。

2 解的存在性和唯一性

令x*∈Rn，对于每个λ>0，x∈A(x)，考虑下面这个问题

(5)

由于F(x,·)是凸的，问题(5)是一个强凸问题，因此它有唯一的解。

(6)

其中iA(x*)(y)是A(x*)上的示性函数。由问题(5)的性质可知，函数ΨA(x*)(x)良定的，且在A(x*)上只有一个值。

命题1 令x*∈Rn，对于任意的λ>0，x*∈Sol(F,A)当且仅当x*=ΨA(x*)(x*)。

证明充分性：令x*=ΨA(x*)(x*)，则x*是问题(6)的一个解，则x*∈A(x*)且由引理1和引理2可得0∈λ∂F(x*,x*)+x*-x*+NA(x*)(x*)，即0∈λ∂F(x*,x*)+NA(x*)(x*)。所以，存在z*∈∂F(x*,x*)，使得0∈λz*+NA(x*)(x*)。因此，由法锥的定义，对于任意的y∈A(x*)，〈-λz*,y-x*〉≤0，即

〈z*,y-x*〉≥0，∀y∈A(x*)。

(7)

又由于z*∈∂F(x*,x*)，则对于任意的y∈A(x*)，

F(x*,y)≥F(x*,x*)+〈z*,y-x*〉。

(8)

结合(7)式和(8)式，对于任意的y∈A(x*)，F(x*,y)≥0，即x*是QEP(F,A)的一个解。

必要性：假设x*∈Sol(F,A)。令y*=ΨA(x*)(x*)，则y*是问题(6)的一个解，则0∈λ∂F(x*,y*)+y*-x*+NA(x*)(y*)，则存在z*∈∂F(x*,y*)，使得0∈λz*+y*-x*+NA(x*)(y*)。因此，〈z*,x*-y*〉≤F(x*,x*)-F(x*,y*)，且由法锥的定义，对于任意的y∈A(x*)，〈x*-y*-λz*,y-y*〉≤0。因为x*∈A(x*)，令y=x*，可得‖x*-y*‖2-〈λz*,x*-y*〉=〈x*-y*-λz*,x*-y*〉≤0，即‖x*-y*‖2≤〈λz*,x*-y*〉≤λF(x*,x*)-λF(x*,y*)，因为x*∈Sol(F,A)，所以x*∈A(x*)，F(x*,y*)≥0。又因为F(x*,x*)=0，所以‖x*-y*‖2≤0，因此x*=y*=ΨA(x*)(x*)。

备注2 如果F(x,y)=〈f(x),y-x〉，其中，f：Rn→Rn是一个映射，则(6)式变为

=PA(x*)(x-λf(x))。

当F为强伪单调时，本文给出了它有唯一解的充分条件，结果如下：

(i)存在k>0，使得

‖ΨA(x1)(x)-ΨA(x2)(x)‖≤k‖x1-x2‖,∀x1,x2,x∈X；

(9)

(ii)存在γ>0，使得对所有的x∈X，F在A(x)上是关于系数γ强伪单调的。

此外，如果

(10)

那么拟均衡问题QEP(F,A)就有唯一解。

证明固定x∈Rn，考虑如下均衡问题：找到x*∈A(x)，使得

F(x*,y)≥0，∀y∈A(x)。

(11)

由于F是A(x)上关于系数γ>0的强伪单调映射，显然(11)式有唯一解(见文献[10])。因此，可以定义一个映射S(z)=z*,∀z∈Rn，其中S：Rn→Rn，z*是(11)的唯一解，即对于任意x∈Rn，S(x)是A(x)中唯一点使得下式成立：

F(S(x),y)≥0，∀y∈A(x)。

显然拟均衡问题(1)等价于映射S的不动点问题。下面证明若映射S是压缩映射，则拟均衡问题(1)有唯一解。对于任意x1,x2∈Rn，由命题1有S(x1)=ΨA(x1)(S(x1))，S(x2)=ΨA(x2)(S(x2))。令y2=ΨA(x2)(S(x1))。由(6)可得0∈λ∂F(S(x1),y2)+y2-S(x1)+NA(x2)(y2)，则存在z*∈∂F(S(x1),y2)，使得0∈λz*+y2-S(x1)+NA(x2)(y2)。

因此，由法锥的定义，对于任意y∈A(x2)，〈S(x1)-y2-λz*,y-y2〉≤0，即〈S(x1)-y2,y-y2〉≤〈λz*,y-y2〉。由于z*∈∂F(S(x1),y2)，则对于任意的y∈A(x2)，F(S(x1),y)≥F(S(x1),y2)+〈z*,y-y2〉，即λF(S(x1),y)≥λF(S(x1),y2)+〈λz*,y-y2〉。从而，λF(S(x1),y)≥λF(S(x1),y2)+〈S(x1)-y2,y-y2〉。又由于S(x2)∈A(x2)，则在上式中令y=S(x2)，可得

〈S(x1)-y2,S(x2)-y2〉≤λ(F(S(x1),S(x2))-F(S(x1),y2))。

(12)

因为S(x2)=ΨA(x2)(S(x2))和y2=ΨA(x2)(S(x1))，所以y2∈A(x2)，由命题1可得F(S(x2),y2)≥0，由于F是关于系数γ强伪单调的，有

F(y2,S(x2))≤-γ‖S(x2)-y2‖2。

(13)

又因为F是Lipschitz连续映射，由(2)(12)(13)式可得

2〈S(x1)-y2,S(x2)-y2〉≤2λ(F(S(x1),S(x2))-F(S(x1),y2))

≤2λF(y2,S(x2))+2λL‖S(x1)-y2‖‖S(x2)-y2‖

≤-2λγ‖S(x2)-y2‖2+2λL‖S(x1)-y2‖‖S(x2)-y2‖

≤-2λγ‖S(x2)-y2‖2+λ2L2‖S(x1)-y2‖2+‖S(x2)-y2‖2

≤-2λγ‖[S(x2)-S(x1)]-[y2-S(x1)]‖2+λ2L2‖S(x1)-y2‖2+

‖S(x2)-S(x1)‖2+‖S(x1)-y2‖2+2〈S(x2)-S(x1),S(x1)-y2〉，