刘 娇，李中平

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

近年来，许多学者研究了关于肿瘤细胞侵入正常组织再生过程的数学模型[1-6]，Chaplain和Lolas[7]研究了如下恒定灵敏度的趋化-趋触模型：

(1)

(2)

其中Ω是Rn(n≥3)中的一个有界光滑区域，υ是单位外法向量，ξ>0，μ>0，χ(v)是信号依赖灵敏度函数，u(x,t)、v(x,t)、w(x,t)分别代表了肿瘤细胞浓度、基质降解酶浓度、细胞外基质浓度。当χ满足如下条件

(3)

其中αp0是一个正常数，文献[11]得到了模型(2)在n≥3时解的全局存在性和有界性。本文在此基础上进一步研究当χ(v)满足条件

(4)

(5)

接下来给出本文的主要结论：

1 基本引理

引理1 假设(u,v,w)是模型(2)的有界解，且(u0,v0,w0)满足(5)，那么对于所有的t∈(0，T)都有

证明由模型(2)的第三个方程可得

(6)

其中x∈Ω,t∈(0,T)。所以有

(7)

根据不等式(x-y)2≤2(x2+y2)和应用分部积分得

(8)

根据文献[9]中推论3.3相同的方法得到了模型(2)中解的第二个分量v的下界估计。

引理3 假设(u,v,w)是模型(2)的解，对于任意的ε>0，当t≥t1时，有

(9)

证明将模型(2)中第一个方程在Ω上积分并利用Hölder不等式得到

(10)

(11)

(12)

(13)

2 定理的证明

(14)

根据(8)(9)(12)得

因为lnu(·,t)≤u(·,t)，所以有

由(11)得

(15)

(16)

证明根据引理2和引理4得

(17)

根据(6)和(17)得

‖w(x,t)‖L∞(Ω)≤‖w0‖L∞(Ω)e-Γβt+ΓC′+C*=C3‖w0‖L∞(Ω)e-Γβt，

(18)

‖∇w(x,t)‖L∞(Ω)≤‖∇w0‖L∞(Ω)e-Γβt+ΓC′+C*+‖w0‖L∞(Ω)e-Γβt+ΓC′+C*Bt

(19)

‖w(·,t)‖W1,∞(Ω)≤Ce-γt。