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一次有趣的探究之旅

2022-06-06史子集

初中生世界·七年级 2022年8期
关键词:符合条件钻研线段

史子集

一天,我遇到一道看似平淡无奇,但是探究起来非常有趣的题目:

已知线段AB的长为10cm,点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm,则符合条件的l的条数为( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解答这类题目,画出图形是关键。

我从A、B两点与直线l的位置关系入手进行分类讨论。

因为AB=10,在线段AB上刚好存在点C,满足AC=6,BC=4,过点C作线段AB的垂线l。这种情况A、B两点在直线两侧。A、B两点还可以在直线同侧,如图1中的l1和l2。所以符合条件的直线总共有3条。

我注意到题目中的三个数字有非常巧的等量关系:10=6+4。如果改变一下条件会得到什么结果呢?假如AB=9,其他条件不变,符合条件的直线会有几条呢?

如图2所示,因为9<6+4,所以与AB垂直的直线不符合条件。此时只有l1和l2两条。

假如AB=11,其他条件不变,又会有几条直线呢?

如图3所示,A、B两点在直线l同侧的情况仍然有两条,即l1和l2;而A、B两点在直线l两侧的情况也存在,而且存在两条,即l3和l4。所以共有4条。

综合以上情况,我得出结论:已知AB=d,A、B两点到直线l的距离分别为m和n,则

(1)当d=m+n时,符合条件的直线存在3条;

(2)当d

(3)当d>m+n时,符合条件的直线存在4条。

我兴高采烈地把这个结论拿给老师看,老师微微一笑说:“AB=2时呢?”

经过分析,原来符合条件的直线只有1条了,如图4所示。

我把以上各种情况連贯起来看,发现当A、B两点之间的距离逐渐减小时,l1和l2两条直线逐渐合并成一条,最后一条都不存在了。

我重新总结结论如下:已知AB=d,A、B两点到直线l的距离分别为m和n,假设m>n。

(1)当d>m+n时,符合条件的直线存在4条;

(2)当d=m+n时,符合条件的直线存在3条;

(3)当m-n

(4)当d=m-n时,符合条件的直线存在1条;

(5)当d

我再一次拿给老师看时,老师表扬了我的钻研精神,同时,建议我找找九年级上册的教材,自学圆的内容,学完后会对上面总结的结论有更深刻的理解。小伙伴们,我们一起继续探究吧。

教师点评

小作者对这道题目的探究之旅达到了“做一题,通一类”的效果。此次探究过程不仅培养了他分类讨论等严谨的数学思维,更锻炼了他锲而不舍的钻研精神。相信自学到“圆和圆的位置关系”时,小作者会有豁然开朗的亲切感受。

(指导教师:苏冠男)

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